于曉明， 紀燕霞， 周克元

(1.宿遷學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 宿遷 223800; 2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

張拉整體結(jié)構(gòu)(tensegrity)是由R.B.富勒在1962年的專利中明確提出的新型結(jié)構(gòu)體系[1]，隨后的研究也對其提出了不同的定義[1—5]，該類型的結(jié)構(gòu)是由連續(xù)受拉的索和間斷受壓的桿組成的自平衡結(jié)構(gòu)體系，具有高水平的幾何、結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟效率.

過去的幾十年里，在建筑、土木工程、生物學(xué)、機器人和航空航天等領(lǐng)域，張拉整體結(jié)構(gòu)的概念受到科學(xué)家和工程師的極大關(guān)注，但張拉整體結(jié)構(gòu)在土木工程的實際工程應(yīng)用卻很少.這些極少數(shù)的著名工程案例主要有：Parnesso和Passera為2002年瑞士在伊弗頓舉辦的國家展覽會提出的張拉整體的平臺[6]和艾格爾的賽車場設(shè)計的張拉整體式屋頂[7]；建于2003年的由Klimke和Stephan[8]設(shè)計的Rostock塔等.隨后，越來越多的研究開始探索將張拉整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用于工程：Motro發(fā)起了雙層張拉整體網(wǎng)格的研究[9]；Hanaor[10]介紹了雙層張拉整體網(wǎng)格方面的設(shè)計； Quirant等[11]研究了張拉整體結(jié)構(gòu)設(shè)計的不同階段，提出了一種雙層張拉整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法，并將其應(yīng)用于81 m2的雙層張拉整體結(jié)構(gòu)；陳志華[12—16]和羅堯治[17—18]等通過實驗研究了張拉整體結(jié)構(gòu)的靜、動力特性.

張拉整體結(jié)構(gòu)由壓桿和拉索組成，壓桿的失穩(wěn)或拉索斷裂均可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的失效[19]，Palumbo[20]及 Ingber[21]對不同尺度上受壓桿的后屈曲行為做了分析，包括宏觀尺度上的空間結(jié)構(gòu)，微觀尺度上的細胞骨架結(jié)構(gòu).張拉整體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析大多是基于這樣一個假設(shè)，即所有結(jié)構(gòu)構(gòu)件都是理想的彈性體，能夠按照胡克定律線性的拉伸和壓縮[22].例如：Kondoh和 Atluri建議使用“彈性”解直接考慮壓桿的后屈曲[23]；Coughlin和 Stamenovi采用6根細長桿與24根線彈性索相互連接的擴展八面體研究壓桿可在受壓下發(fā)生屈曲，其后屈曲行為由經(jīng)典的兩端鉸接承受軸向荷載的歐拉方程確定[24]；Volokh提出了一種用高精度多項式逼近的“彈性”問題解來描述細長壓桿的后屈曲行為的方法[25]；Rimoli直接將壓桿假設(shè)為非剛性的彈性構(gòu)件，采用基于物理的降階模型對張拉整體結(jié)構(gòu)進行了研究[26].

上述研究中，對面向工程應(yīng)用的基于壓桿失穩(wěn)的張拉整體結(jié)構(gòu)的極限承載力如何求解涉及很少.本文以“X”型二維張拉整體結(jié)構(gòu)為例，分析其在靜力荷載作用下受力狀態(tài)，得到基于壓桿在不同受力狀態(tài)下發(fā)生失穩(wěn)的極限荷載的解析解，以期為相關(guān)的研究和工程實踐提供理論依據(jù).

1 基本假設(shè)

1)假設(shè)結(jié)構(gòu)所使用的材料均為線彈性.

2)結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的自重與其承載力相比較小，為方便計算，在此次分析中忽略構(gòu)件的自重.

3)假設(shè)結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點為光滑無摩擦的理想鉸節(jié)點.

2 計算模型

張拉整體結(jié)構(gòu)存在兩種失效模式：①隨著外荷載的增大，索達到破壞荷載而破斷,從而使整個結(jié)構(gòu)喪失承載能力；②壓桿達到其臨界荷載,造成壓桿的屈曲破壞,從而使整個結(jié)構(gòu)喪失承載能力.本文只討論桿與張拉整體結(jié)構(gòu)的極限承載力的關(guān)系.

本文選取Snelson提出的“X”型二維張拉整體結(jié)構(gòu)，見圖1.圖1中，細實線表示受拉索，粗實線表示受壓桿.當索為連續(xù)張拉，且兩個受壓桿長相

圖1 計算模型簡圖

3 模型的受力分析及極限承載力的求解

A點的集中力F從0開始以靜力荷載形式緩慢增加時，該結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)可以分為3個階段.第1階段：AB和AO的內(nèi)力逐漸增加，而由于A點向下的位移導(dǎo)致AC拉索出現(xiàn)松弛，預(yù)應(yīng)力逐漸減小直至內(nèi)力為0.在此階段，拉索AC出現(xiàn)松弛，但未退出工作.第2階段：AC退出工作，集中力F繼續(xù)增大，AB和AO的內(nèi)力繼續(xù)增加，直至AO發(fā)生失穩(wěn).第3階段：F數(shù)值繼續(xù)增加，AO發(fā)生失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)失效.

本文主要分析前2個階段，通過分析過程可以了解張拉整體結(jié)構(gòu)的工作機理和破壞狀態(tài)，并可求解特定受力狀態(tài)的極限荷載.為了方便計算出最終結(jié)果，以下以小變形理論為基礎(chǔ)以簡化分析過程.

3.1 第1階段

AC出現(xiàn)松弛，但參與工作，此時A點受豎直向下的力為F，取節(jié)點A為研究對象(圖2)，可列平衡方程：

圖2 結(jié)點A受力分析圖

(1)

由自應(yīng)力平衡狀態(tài)平衡方程有

(2)

將(2)式帶入(1)式經(jīng)簡化得

(3)

式中：T1，T2，T3和N1，N2，N3分別表示AB，AO和AC的預(yù)應(yīng)力和F作用下的軸力，為求解上述方程需要引入變形協(xié)調(diào)條件，即3個構(gòu)件在A點具有相同的位移.當A點未受到約束時，受壓桿AO在A產(chǎn)生位移的原因有2種，即剛體轉(zhuǎn)動和壓縮變形.

當考慮AO的剛體轉(zhuǎn)動時，分析圖見圖3，可建立如下方程：

圖3 壓桿發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動示意圖

(4)

(5)

聯(lián)立(4)式和(5)式，得

(6)

式中：x，y，x′，y′分別為以O(shè)點為圓心A和A′點的坐標;L和α分別為AO的原始長度及其與x軸的角度;Δx，Δy分別為A點水平位移和豎向位移，即水平索AB和豎直索AC長度的增量;Δα為AO的發(fā)生剛體位移轉(zhuǎn)動微小的角度.

利用(6)式可得

將α=45°帶入上式并進行化簡可得

通過上式容易得到水平索AB和豎直索AC的應(yīng)變關(guān)系為ε1=-ε3.當考慮壓桿AO只發(fā)生壓縮變形而非剛體轉(zhuǎn)動時可得ε1=ε2=ε3.實際結(jié)構(gòu)中需要將AO的剛體轉(zhuǎn)動和壓縮變形同時考慮，如果引入拉索和壓桿等具體參數(shù)即可將上述問題利用疊加法解決.

在實際應(yīng)用中，圖1所示“X”型二維張拉整體結(jié)構(gòu)若只作為結(jié)構(gòu)中的一個單元(圖4)，A點受到約束只存在豎向位移，因此，基于上述分析過程并化簡可得ε3=2ε2.由于本文目的在于說明此種類型結(jié)構(gòu)的極限荷載的計算方法，為簡單起見，可假設(shè)拉索和壓桿具有相同的彈性模量和截面積，由此可得

圖4 “X”型組合的結(jié)構(gòu)示意圖

N3=2N2，

(7)

由(7)式和(3)式可得到

(8)

則“X”型張拉整體的極限承載力為

(9)

式中：Fcr為極限承載力；Ncr為基于穩(wěn)定的壓桿的極限荷載.由于壓桿的兩端為拉索，壓桿屬于兩端具有彈性支撐的情況，結(jié)合文獻[18]的相關(guān)結(jié)論：當壓桿兩端的彈性支撐剛度超過某一閥值時，壓桿的屈曲荷載與兩端剛性鉸支桿的相同，假設(shè)拉索的彈性支撐的剛度滿足閥值要求，Ncr可視為兩端鉸支的壓桿，其數(shù)值可由歐拉公式計算，即

(10)

式中:S為安全系數(shù)，一般取值為2.5～3.0.

至此，AC出現(xiàn)松弛，但未退出工作階段的極限荷已經(jīng)計算完畢.

3.2 第2階段

若壓桿在第1階段沒有出現(xiàn)失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)受力進入第2階段.拉索AC由于松弛而退出工作，原等代結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)(圖5).仍然取A點為研究對象可列方程為

圖5 拉索AC退出工作示意圖

(11)

容易解得

(12)

此時“X”型張拉整體結(jié)構(gòu)的極限承載力為

(13)

至此，AC出現(xiàn)松弛并退出工作，“X”型張拉整體結(jié)構(gòu)的極限承載力計算完畢.

3.3 外力與和構(gòu)件的內(nèi)力關(guān)系

若壓桿在第2階段出現(xiàn)失穩(wěn)，則可以繪制出F與N2關(guān)系函數(shù)圖像，見圖6.由圖6可以看出：若壓桿承載能力能夠保證結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)進入第2階段，其軸力在第1階段會隨外力F的增長較快，而在第2階段出現(xiàn)放緩.其原因可解釋為，豎直拉索預(yù)應(yīng)力在第1階段隨著F的增加逐漸減小，壓桿AO增加相同的內(nèi)力時，F(xiàn)還需補充拉索對A點減少的力；而在第2階段豎直拉索預(yù)應(yīng)力減小為0而退出工作，F(xiàn)已在第1階段對預(yù)應(yīng)力補充完畢，因而相對于第2階段，其在第1階段的曲線斜率較小.

圖6 荷載F與壓桿內(nèi)力N2關(guān)系曲線

4 結(jié)語

本文提出“X”型二維張拉整體結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下受力狀態(tài)可以分為3個階段，并在基本假設(shè)前提下對前2個階段進行理論分析，得到基于壓桿在不同階段發(fā)生失穩(wěn)的極限荷載的解析解.通過分析可以理解此種二維張拉整體結(jié)構(gòu)的受力機理和結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)，求解出的極限荷載的解析解，為此種結(jié)構(gòu)的設(shè)計和施工提供理論依據(jù).然而，由于上述求解過程建立在基本假設(shè)的前提下，實際上節(jié)點連接并非光滑無摩擦的理想鉸節(jié)點，結(jié)構(gòu)受力體系存在幾何非線性等，因此此種張拉整體結(jié)構(gòu)的承載力仍需進一步研究.