朱廣平 王 成 門 偉 趙宿辰

(哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

0 引言

笙是中國傳統(tǒng)民間樂器，在中國古代樂器家族中占有重要的一席之地。不僅如此，17世紀(jì)笙等簧管樂器傳入歐洲，為西方音樂家、樂器制造家改進(jìn)簧管類樂器，尤其是對簧管樂器的關(guān)鍵部件--簧片的改進(jìn)起到了積極的作用，從而為創(chuàng)制、改進(jìn)風(fēng)琴、口琴等新的簧管樂器做出了重要貢獻(xiàn)[1]。笙的音高除與管長有關(guān)外[2]，還主要與簧片尺寸、厚度以及點(diǎn)簧技術(shù)有關(guān)。中國古人早期制作簧片常采用蘆葦或竹片，由于此類材料耐用性差，后期主要采用銅等其他金屬材料制作簧片，如漢代馬王堆出土的多枚兩千多年前的金屬簧片至今保存完好[3]。古代金屬簧片的制作技藝之高，還體現(xiàn)在對簧片的點(diǎn)簧(又作典簧、點(diǎn)綠)技術(shù)上。點(diǎn)簧就是在簧片某些位置上或多或少的點(diǎn)蠟或錫，以便調(diào)整其音高。從曾侯乙墓出土的戰(zhàn)國初年的笙來看，古人通過實(shí)踐已經(jīng)掌握了嫻熟的點(diǎn)簧技術(shù)，雖然他們并未清楚其中的物理原理[1]?；善幕l，即第一階固有頻率，決定簧片振動(dòng)發(fā)聲的音高，而各階共振頻率決定其音色。因此簧片的點(diǎn)簧工藝中，點(diǎn)簧的位置及質(zhì)量的大小等因素對簧片的固有頻率有重要影響，這也是中國傳統(tǒng)樂器制作家通過大量實(shí)踐沉淀得到的關(guān)鍵技藝[4]。然而遺憾的是，到目前為止，點(diǎn)簧過程是精通制笙匠人通過大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整，極少專門的定量分析點(diǎn)簧簧片振動(dòng)問題。因此，研究點(diǎn)簧簧片振動(dòng)規(guī)律對科學(xué)認(rèn)識(shí)及制作、復(fù)原笙等中國傳統(tǒng)簧管類樂器具有實(shí)際意義。

一般地，簧片近似瘦長的楔形，厚度遠(yuǎn)小于其長度，其截面面積沿長度方向變小。簧片的振動(dòng)可近似為非均勻截面的懸臂梁振動(dòng)問題[5]。對于非均勻梁的振動(dòng)問題一直以來都受到了廣泛關(guān)注[6-8]。當(dāng)考慮到經(jīng)過點(diǎn)簧處理后，簧片的質(zhì)量存在突變，需要將點(diǎn)簧后的金屬簧片建模為具有質(zhì)量負(fù)載的非均勻梁振動(dòng)模型。此模型類似在橋梁動(dòng)力學(xué)中具有質(zhì)量負(fù)載的非均勻梁振動(dòng)模型，對此閆維明等[9]基于Bernoulli-Euler 梁理論建立了帶任意附加質(zhì)量的變截面彈性支承梁動(dòng)力特性的簡化計(jì)算模型，該模型能夠?qū)⒘旱淖兿禂?shù)微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的形式，進(jìn)而求得解析解。然而，從數(shù)學(xué)的角度看，非均勻截面梁的振動(dòng)通常為復(fù)雜的變系數(shù)微分方程形式，其中僅有個(gè)別結(jié)構(gòu)是可以獲得振動(dòng)方程的解析解形式，而絕大部分情況均是無法獲得其精確的解析解，因此計(jì)算中常采用數(shù)值解法[10-11]。近年來工業(yè)中對功率超聲源簧片[12]的振動(dòng)問題，采用有限元分析方法[13-14]進(jìn)行數(shù)值分析，這對精確定量分析傳統(tǒng)簧管類樂器的點(diǎn)簧簧片的振動(dòng)問題也具有借鑒意義。

本文針對非均勻截面的點(diǎn)簧金屬簧片振動(dòng)問題開展研究，對其建立非均勻截面并具有質(zhì)量負(fù)載的振動(dòng)模型。由于該模型的非均勻性，難以獲得解析解形式，為了精確定量分析，采用有限元方法對模型進(jìn)行數(shù)值求解，通過算例定量分析點(diǎn)簧位置及質(zhì)量、邊界條件對簧片振動(dòng)特性的影響，揭示點(diǎn)簧簧片振動(dòng)規(guī)律，為制作、復(fù)原中國傳統(tǒng)簧管類樂器提供物理依據(jù)。

1 點(diǎn)簧金屬簧片的振動(dòng)方程及邊界條件

1.1 振動(dòng)方程

對實(shí)際模型進(jìn)行抽象：(1)由于簧片形狀較為狹長，點(diǎn)簧區(qū)域尺度相較于簧片寬度相近而相較于簧片長度方向很小，因此點(diǎn)簧物質(zhì)可抽象為簧片上的集中質(zhì)量負(fù)載；(2)考慮到金屬簧片厚度相對于長度很薄，由振動(dòng)理論可知，波長遠(yuǎn)大于厚度，且截面面積沿長度方向變化，因此，采用集中質(zhì)量負(fù)載的變截面Bernoulli-Euler 梁模型描述點(diǎn)簧金屬簧片的振動(dòng)。振動(dòng)方程為

式(1)中，E為楊氏模量，I(x)是沿著x軸變化的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，δ(x)為狄拉克函數(shù)，m0δ(x-x0)表示在x0位置有一集中質(zhì)量，A(x)為梁在x位置的橫截面積，ρ為密度。

設(shè)方程解的形式為η(x，t)=u(x)T(t)，分離變量得

式(3)中，ω2為該方程的固有角頻率。

一般的典型簧片呈狹長的楔形。因此，設(shè)簧片寬度沿長度(x方向)的變化為

其中，b0是初始寬度，γ是斜邊的變化斜率?；善孛媸蔷匦?，所以式(3)中A(x)=h·b(x)，h為簧片的厚度。

u為垂直梁的中性面方向上的位移，y為梁厚度方向的坐標(biāo)。非均勻截面上力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

該方程為變系數(shù)微分方程，除I(x)、A(x)為幾種比較特殊的函數(shù)形式外，方程的解很難得到解析解形式。因此，下面采用有限元方法對上述振動(dòng)方程描述的有質(zhì)量加載的變截面點(diǎn)簧金屬簧片的振動(dòng)模型，通過算例求解并分析其固有頻率隨點(diǎn)簧位置、點(diǎn)簧質(zhì)量以及不同邊界條件下的變化規(guī)律。

1.2 邊界條件

簧片一般固定在簧管端口，理想情況下可認(rèn)為簧片一端固定不動(dòng)，另一端自由，其邊界條件為

然而，在實(shí)際中使用的材料并非能做到嚴(yán)格固定，因此不能當(dāng)作固定不動(dòng)邊界，而應(yīng)近似認(rèn)為是彈簧支撐邊界，其邊界條件為

其中，kp和kθ為剛度系數(shù)。

將簧片上的點(diǎn)簧質(zhì)量看作為質(zhì)量負(fù)載條件，其對簧片的力和力矩作用可描述為

其中，αdm為損耗系數(shù)，m0為點(diǎn)簧質(zhì)量。由于點(diǎn)簧質(zhì)量相對于整個(gè)狹長簧片只占很小一段，可以看作集中質(zhì)量負(fù)載，此時(shí)力矩可為0；當(dāng)不考慮質(zhì)量負(fù)載與金屬簧片之間的能量損耗時(shí)，點(diǎn)簧質(zhì)量負(fù)載可簡化為F=-mω2u，M=0。

2 點(diǎn)簧簧片振動(dòng)固有頻率計(jì)算

采用有限元方法建立非均勻截面點(diǎn)簧簧片振動(dòng)模型并求解其固有頻率方程。將簧片離散化，在單元上位移可由形函數(shù)及節(jié)點(diǎn)位移近似u=NU，其中N為形函數(shù)向量，U為單元節(jié)點(diǎn)位移向量，速度為為單元節(jié)點(diǎn)速度向量。

采用拉格朗日方程進(jìn)行單元分析，整合所有單元后建立點(diǎn)簧簧片的運(yùn)動(dòng)方程組，從而得到其固有方程進(jìn)而計(jì)算固有頻率?；善^小較薄不計(jì)損耗，認(rèn)為是無損耗的自由振動(dòng)，拉格朗日方程為

其中，T為動(dòng)能，Λ為勢能，˙u為速度。

梁單元的動(dòng)能為

其中，A(x)=h·b(x)。

將各個(gè)單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣整合并帶入到拉格朗日方程中，并考慮到簧片上點(diǎn)簧的集中質(zhì)量負(fù)載，得到整個(gè)簧片的運(yùn)動(dòng)方程：

從而得到特征方程為

由于λ=ω2，進(jìn)而可求解出各階固有角頻率ωi(i=1，2，3，···)。

3 算例分析

3.1 點(diǎn)簧對簧片振動(dòng)基頻和諧頻的影響

古人常采用熟銅作為金屬簧片的材料，因此算例中取楊氏模量E= 1110Pa，密度ρ=8700 kg/m3。算例中取簧片長23.5 mm，寬度變化曲線為7.5-0.016x，x為長度坐標(biāo)，厚0.7 mm，點(diǎn)簧質(zhì)量0.2 g，點(diǎn)簧位置在簧片的自由端。計(jì)算前6階固有頻率如表1所示，并與未點(diǎn)簧的簧片進(jìn)行了對比。

表1 點(diǎn)簧與未點(diǎn)簧簧片固有頻率對比Table 1 The natural frequency of the reed has an added mass versus no added mass(單位：Hz)

由表1可知，點(diǎn)簧簧片的各階固有頻率均小于未點(diǎn)簧簧片，并且隨著階數(shù)的增加，頻率差從幾赫茲變化到上百赫茲，兩者之間的頻率差距越發(fā)顯著?？梢婞c(diǎn)簧后降低了簧片的基頻，尤其對簧片高階諧頻的影響更加顯著。由此可知，若與管腔聲耦合后，點(diǎn)簧工藝的差異、優(yōu)劣將對管樂器的音高、音色、音質(zhì)產(chǎn)生重要影響。

3.2 點(diǎn)簧位置及質(zhì)量的影響

簧片的基頻(第1階固有頻率)決定簧片振動(dòng)發(fā)聲的音高，而各階共振頻率影響其音色。而點(diǎn)簧的位置及質(zhì)量的大小等因素對簧片的固有頻率有重要的決定性作用，影響整個(gè)樂器品質(zhì)的優(yōu)劣。下面通過算例來定量分析點(diǎn)簧位置及質(zhì)量對簧片的振動(dòng)特性的影響。

算例中簧片的幾何形狀與尺寸同3.1 節(jié)中的模型，通過改變點(diǎn)簧位置及質(zhì)量大小計(jì)算各階固有頻率，改變點(diǎn)簧位置從簧片的固定端(0 mm)到自由端(23.5 mm)，其步長1 mm；改變點(diǎn)簧質(zhì)量，范圍從0.05～0.3 g，步長0.01 g。計(jì)算結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1為在不同點(diǎn)簧質(zhì)量及位置下計(jì)算得到的第1 階固有頻率。偽彩圖中的色彩對應(yīng)計(jì)算得到的頻率值。由圖1可知，高頻區(qū)在左下角而低頻區(qū)在右上角，其含義為點(diǎn)簧質(zhì)量越輕或位置越靠近固定端，簧片的振動(dòng)基頻越高。相反的，點(diǎn)簧質(zhì)量越重或位置越靠近自由端則簧片的振動(dòng)基頻越低。

圖2為不同點(diǎn)簧質(zhì)量時(shí)的第1 階固有頻率隨點(diǎn)簧位置變化的計(jì)算結(jié)果，其更清晰地反映出圖1中的變化規(guī)律。比較圖2中各曲線可知，當(dāng)點(diǎn)簧質(zhì)量較大時(shí)可調(diào)整基頻的范圍較大。因此，在需要較大調(diào)整簧片基頻的場合，建議采用密度較大的材料作為點(diǎn)簧材料，通過選擇合適的點(diǎn)簧位置，從而方便達(dá)到調(diào)音目的。

圖1 不同點(diǎn)簧質(zhì)量和位置下的第1 階頻率Fig.1 The first frequency under different mass and position case

圖2 不同點(diǎn)簧質(zhì)量的第1 階頻率隨點(diǎn)簧位置變化Fig.2 The first frequency of the different mass at varies with the position

為了認(rèn)識(shí)不同位置處點(diǎn)簧質(zhì)量對基頻的影響，計(jì)算不同位置處點(diǎn)簧第1 階頻率隨點(diǎn)簧質(zhì)量變化，結(jié)果如圖3所示。圖中位置1、位置2 和位置3 分別對應(yīng)自由端、距自由端1/4和1/2處。由圖3可知，在同一位置處頻率隨點(diǎn)簧質(zhì)量近似為線性關(guān)系，并且點(diǎn)簧位置越靠近自由端其斜率越大。因此在靠近自由端對簧片進(jìn)行點(diǎn)簧不但可調(diào)頻率范圍大，而且可以通過點(diǎn)簧質(zhì)量與頻率簡單的線性關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，使得調(diào)整頻率更加方便。

圖3 不同位置處點(diǎn)簧第1 階頻率隨點(diǎn)簧質(zhì)量變化Fig.3 The first frequency of the different position at varies with the mass

下面分析點(diǎn)簧對高階諧頻的影響，它對樂器的音色有重要影響。計(jì)算中的簧片模型與上例同，計(jì)算得到第2 階和第3 階的固有頻率隨點(diǎn)簧位置和質(zhì)量的變化結(jié)果。圖4、圖5與圖1中的基頻相比，高階諧頻的變化具備兩個(gè)顯著特點(diǎn)：一是諧頻隨點(diǎn)簧位置和質(zhì)量的變化呈現(xiàn)類周期性的變化規(guī)律；二是簧片在高階振動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)，即在該點(diǎn)處振動(dòng)位移為零靜止不動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)簧到該位置時(shí)對該階諧頻無影響。由此可見，當(dāng)點(diǎn)簧調(diào)整基頻頻率時(shí)，也需兼顧其高階諧頻的變化，否則可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)樂器音色的變化。因此，在點(diǎn)簧過程中對點(diǎn)簧質(zhì)量和位置可進(jìn)行優(yōu)化或采用多處點(diǎn)簧得方法，從而使樂器簧片達(dá)到最佳的聲音效果。

圖4 不同點(diǎn)簧質(zhì)量和位置下的第2 階頻率Fig.4 The second frequency under different mass and position case

圖5 不同點(diǎn)簧質(zhì)量和位置下的第3 階頻率Fig.5 The third frequency under different mass and position

進(jìn)一步計(jì)算了不同點(diǎn)簧質(zhì)量和位置下的第4階到第9階的頻率結(jié)果，如圖6所示。其特點(diǎn)與第2、第3 階頻率相似，諧頻隨點(diǎn)簧位置和質(zhì)量的變化呈現(xiàn)類周期性的變化規(guī)律，并且隨著階數(shù)的增加振動(dòng)節(jié)點(diǎn)增多。

圖6 不同點(diǎn)簧質(zhì)量和位置下的第4 階到第9 階頻率Fig.6 The 4th to 9th frequency under different mass and position case

由振動(dòng)理論可知，對于某階振動(dòng)模式若增加等效質(zhì)量，將導(dǎo)致其等效機(jī)械品質(zhì)因數(shù)變大，其振幅值變大。然而，由于點(diǎn)簧物質(zhì)質(zhì)量相比于簧片很小，當(dāng)點(diǎn)簧位置處于簧片某階模式的節(jié)點(diǎn)位置時(shí)，將不會(huì)改變該階模式的等效質(zhì)量，因此不會(huì)改變其幅值。因此，當(dāng)點(diǎn)簧調(diào)整簧片的頻率時(shí)，只需合理選擇點(diǎn)簧位置，例如將點(diǎn)簧位置選擇在某階模式的節(jié)點(diǎn)附近，即可不會(huì)增強(qiáng)該階頻率的振動(dòng)強(qiáng)度，起到間接的抑制作用。

3.3 不同邊界條件下點(diǎn)簧簧片振動(dòng)特性

古樂器在固定簧片時(shí)，采用插入凹槽并用細(xì)繩固定的方法，在實(shí)際中具有一定的柔性，并非能達(dá)到理想固定情況，因此實(shí)際中的邊界條件應(yīng)是具有一定剛度系數(shù)的彈性的邊界條件。由振動(dòng)理論可知，邊界條件的改變對點(diǎn)簧簧片的振動(dòng)特性也有顯著的影響，因此有必要了解其對簧片振動(dòng)特性的作用，從而為實(shí)際的簧片調(diào)音提供理論依據(jù)。

下面算例模型與3.1 節(jié)相同，但邊界條件變?yōu)閺椥赃吔鐥l件，并與剛性邊界條件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，計(jì)算結(jié)果如圖7所示，其中k1、k2是式(8)中的剛度系數(shù)kp和kθ。由圖7可知，與固定邊界這種理想情況相比，彈性邊界時(shí)簧片固有頻率降低，并且隨著彈性系數(shù)減小固有頻率將變得更低。可見，固定簧片的材料與方式會(huì)影響點(diǎn)簧簧片的固有頻率，固定材料和方式柔性越大越降低其固有頻率。此外，對已固定好的簧片進(jìn)行點(diǎn)簧工藝時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)簧片的固定方式及松緊程度，點(diǎn)簧位置應(yīng)盡量向固定端靠近，才能達(dá)到預(yù)期頻率調(diào)整的目的，例如在本算例中要將簧片調(diào)整到236.9 Hz 振動(dòng)頻率，理想邊界條件時(shí)點(diǎn)簧在簧片14.9 mm，而彈性邊界時(shí)為13.1 mm和6.2 mm。

圖7 不同邊界條件下點(diǎn)簧簧片的基頻Fig.7 The fundamental frequency of metallic reed with mass under different boundary conditions

3.4 不同斜率簧片振動(dòng)特性及點(diǎn)簧的影響

簧片近似為瘦長楔形，不同斜率的簧片點(diǎn)簧后的影響也不相同。在這里通過算例進(jìn)一步了解不同斜率簧片對點(diǎn)簧后固有振動(dòng)的特點(diǎn)。算例模型同3.1 節(jié)，改變式(4)中的斜率γ，計(jì)算得到不同斜率下的點(diǎn)簧簧片的基頻，如圖8所示。由圖8可知，斜率變大，即簧片削尖后固有頻率有所提高，但是固有頻率隨點(diǎn)簧位置變化的曲線趨勢基本相同，由此可見，即便是在不同斜率簧片上點(diǎn)簧，通過改變點(diǎn)簧位置調(diào)整頻率的規(guī)律是基本一致的，也就是說雖然形狀斜率不同但是調(diào)整點(diǎn)簧位置改變頻率的規(guī)律基本不變，即3.2節(jié)中的規(guī)律仍然是適用的。

圖8 不同斜率下的點(diǎn)簧簧片的基頻Fig.8 The fundamental frequency of metallic reed with mass at different slopes

4 結(jié)論

針對非均勻截面的點(diǎn)簧金屬簧片的振動(dòng)問題，建立了非均勻截面并具有質(zhì)量負(fù)載的振動(dòng)模型，采用有限元方法對模型固有頻率進(jìn)行求解，通過算例定量分析了點(diǎn)簧質(zhì)量、位置及邊界條件對點(diǎn)換簧片振動(dòng)的影響?？偨Y(jié)算例結(jié)果，得到如下結(jié)論：

(1)若需要調(diào)整的頻率較大時(shí)，可采用密度較大的材料作為點(diǎn)簧材料，并且點(diǎn)簧位置應(yīng)向簧片自由端靠近。

(2)點(diǎn)簧位置不變時(shí)，頻率隨點(diǎn)簧質(zhì)量近似為線性關(guān)系。因此可以通過點(diǎn)簧質(zhì)量與頻率簡單的線性關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，使得調(diào)整頻率更加方便。

(3)當(dāng)點(diǎn)簧調(diào)整基頻頻率時(shí)，需兼顧其高階諧頻的變化，因此點(diǎn)簧過程中對點(diǎn)簧質(zhì)量和位置進(jìn)行優(yōu)化或采用多處點(diǎn)簧方法，從而使樂器簧片達(dá)到最佳的聲音效果。此外，將點(diǎn)簧位置選擇在某階模式的節(jié)點(diǎn)附近，可不會(huì)增強(qiáng)該階頻率的振動(dòng)強(qiáng)度，起到間接的抑制作用。

(4)依據(jù)簧片的固定方式及松緊程度，調(diào)整點(diǎn)簧位置時(shí)應(yīng)盡量向固定端靠近，才能達(dá)到預(yù)期頻率調(diào)整的目的。

本文只分析了點(diǎn)簧簧片的固有振動(dòng)特性，然而管樂器腔體中的空氣振動(dòng)對簧片具有耦合作用，后續(xù)將進(jìn)一步分析受管腔的耦合作用下點(diǎn)簧簧片的振動(dòng)特性。此外，由于簧片各高次振動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)幅度大小直接影響簧片振動(dòng)樂器的“音色”與“和聲的純潔性”，因此如何控制簧片各高次振動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)幅度也是后續(xù)研究的一個(gè)重要方向。