左權(quán)（江西科技學(xué)院）

■引言

組合證券投資指的是將手頭資金分別投在多種證券，實(shí)現(xiàn)最大化利益的一種投資方法。在當(dāng)今的投資證券的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)分為兩種：第一種是投資收益的平均值R，第二種是投資收益率的方差值σ2。其中評(píng)估證券是否盈利的指標(biāo)為R，其也是證券風(fēng)險(xiǎn)程度的指標(biāo)。有相關(guān)的研究表明，在給定預(yù)設(shè)的收益率條件下，選擇組合投資證券的方法，能夠最大化地實(shí)現(xiàn)盈利。但是該研究并未研究投資比例系數(shù)符號(hào)這一重點(diǎn)問(wèn)題。出現(xiàn)負(fù)值的比例系數(shù)，代表著需要賣出相關(guān)的證券，這種方式在某些情況下是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此研究比例系數(shù)為非負(fù)的投資證券的方法，是很有必要的。因此本文在該研究的基礎(chǔ)上建立了模型，計(jì)算相關(guān)的投資系數(shù)比例，從而實(shí)現(xiàn)在非負(fù)的條件下，使獲得的利益最大化。

■關(guān)于組合證券投資相關(guān)模型

Markowitz 曾建立相關(guān)的組合投資決策模型，為現(xiàn)代的組合證券投資理論的形成打下了良好的基礎(chǔ)。在相聯(lián)系的理論中，評(píng)價(jià)證券的指標(biāo)主要有兩種，投資收益的平均值R 為第一種指標(biāo)，第二種是收益率的平方差值σ2。其中R 的大小能夠評(píng)判證券的盈利程度，σ2的大小能夠評(píng)判證券的風(fēng)險(xiǎn)程度。證券投資人確定證券投資策略的模型如下。

模型中X=(x1,x2…xn)T 為投資選定的投資證券的投資比例的系數(shù)，An 則為這幾種證券的收益方差陣（此時(shí)需要假設(shè)改矩陣為正定矩陣），μ(μ1,μ2…μn)T 為證券的收益率的向量，en是矩陣中的元素，假設(shè)都是數(shù)字1 且為n 維向量，m0是證券的預(yù)設(shè)的收益率。有相關(guān)的研究將該模型進(jìn)行了進(jìn)一步優(yōu)化，表示為如下形式：

相對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)值可以簡(jiǎn)化為：

該模型存在一定的缺陷，在現(xiàn)實(shí)中的某些情況下，這種現(xiàn)象很難實(shí)現(xiàn)，因此有相關(guān)研究將該模型進(jìn)一步優(yōu)化。

該模型添加限定條件即不允許出現(xiàn)賣空證券，研究表明該模型存在最優(yōu)解，且最優(yōu)解具有唯一性，并且計(jì)算出了該模型的最優(yōu)解的樹形算法。

■優(yōu)化模型需要滿足的相關(guān)定律和最優(yōu)解過(guò)程

優(yōu)化模型的最優(yōu)解假設(shè)為XB，基礎(chǔ)模型的最優(yōu)解假設(shè)為XA，兩個(gè)最優(yōu)解之間的相互關(guān)系可以總結(jié)為以下定律。

定律1：當(dāng)基礎(chǔ)模型的最優(yōu)解XA≥0 的情況下，XA和XB二者相等；當(dāng)XA出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況下，XB中必定存在分量是0 的情況，表明在先前選定的相關(guān)證券當(dāng)中存在不符合該模型的證券，需要將該證券拋棄。拋棄掉該證券后最優(yōu)解的XB再次與XA相等。

定律2：在不允許賣空并將多余的證券拋棄后，該模型中的向量數(shù)值是確定證券組合是否為多余證券的唯一標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)向量的數(shù)值為0 時(shí)對(duì)應(yīng)的證券為多余證券需要拋棄。

進(jìn)一步驗(yàn)證多余證券的存在性，建立模型，模型表示方式如下：

假設(shè)第三個(gè)模型存在最優(yōu)解Zc，并且最優(yōu)解Zc 滿足以下條件：Zc=XB-XA

將模型進(jìn)行優(yōu)化處理可以得到如下結(jié)果：

有最終得到的結(jié)果表明，Z0+XA是優(yōu)化模型的可行解，但這一結(jié)果又和XB作為優(yōu)化模型的最優(yōu)解產(chǎn)生沖突。因此表明當(dāng)Z0為0 時(shí)，同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件，驗(yàn)證出當(dāng)多余證券拋棄后，最優(yōu)解XB再次與XA相等，這一定律存在。

定律3：不妨設(shè)局部的證券組合為經(jīng)過(guò)篩選過(guò)的、從全部組合中舍棄部分多余的組合而組成的組合，那么在局部中多余的證券在全部組合中也是多余證券。同時(shí)，局部證券在全部證券的組合中也是多余的。因此，該證券在局部證券組合中仍是多余的。

由定律可知，全部證券組合拋棄幾條多余組合后可組成局部證券組合，結(jié)合定律2 所述向量為0 時(shí)該證券為多余證券需要拋棄。

有相關(guān)的研究根據(jù)定律1 為相關(guān)的理論基礎(chǔ)，得到了求解的樹形算法。該算法的實(shí)質(zhì)是枚舉法，一步一步地將多余的證券進(jìn)行拋棄。

根據(jù)定律2 和定律3 可以進(jìn)一步地優(yōu)化樹形計(jì)算法，不再需要在組合中的全部證券選擇多余證券，只需要在比例系數(shù)為負(fù)數(shù)的相關(guān)證券中選擇就可以了，這樣大幅地降低了人工，減少了相關(guān)搜索的計(jì)算量，從而能夠快速地分析出最佳的投資證券的組合方式。

■改進(jìn)的分析方法

改進(jìn)的樹形計(jì)算方法的具體過(guò)程如下：

根據(jù)模型的形式出發(fā)，最重要的找出模型中的非約束條件下最優(yōu)的一種投資比例的向量值。例：當(dāng)不存在負(fù)分量時(shí)不分枝；存在R 個(gè)負(fù)分量，就從原來(lái)的組合結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)地剔除一種負(fù)分量證券。當(dāng)拋棄掉一種負(fù)分量證券后，整個(gè)模型中就只存在R 種可能性，同樣也標(biāo)志只能形成R 個(gè)n-1 種證券組合。分別作為根節(jié)點(diǎn)的分枝，成為根節(jié)點(diǎn)后的第一層節(jié)點(diǎn)。第二層節(jié)點(diǎn)的形成和第一層相同。然后再按照之前的步驟依次地展開下去，直到不再出現(xiàn)新的分支結(jié)點(diǎn)為止。

當(dāng)沒(méi)有非負(fù)約束最優(yōu)投資比例向量出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)，可對(duì)節(jié)點(diǎn)處的證券組合進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，由于模型經(jīng)過(guò)了優(yōu)化，得到的最低值的節(jié)點(diǎn)就是證券在非負(fù)條件約束下的最優(yōu)組合方式。

定律2 和定律3 可以進(jìn)一步地確保上述的樹形計(jì)算方法中肯定有一條最優(yōu)的組合方式，這種改進(jìn)方式的基本實(shí)現(xiàn)方式就是根據(jù)相關(guān)的限定構(gòu)建出一棵樹形的結(jié)構(gòu)。

定律4：當(dāng)證券組合中的證券數(shù)量減少時(shí)，最優(yōu)的證券組合方式的風(fēng)險(xiǎn)趨于平穩(wěn)或者逐漸增大。

層最優(yōu)解：某一層中當(dāng)滿足投資比例系數(shù)向量不是負(fù)數(shù)時(shí)，最優(yōu)證券組合也就是風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。

按照分析樹形結(jié)構(gòu)的過(guò)程：逐層分析樹形結(jié)構(gòu)和之前改進(jìn)樹形結(jié)構(gòu)的基本實(shí)現(xiàn)過(guò)程相同，只是對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)還需要帶入到優(yōu)化模型中進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)完成每一層的樹形結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)及時(shí)找出對(duì)應(yīng)層的最優(yōu)解和該層風(fēng)險(xiǎn)最小的證券組合方式，并且根據(jù)以下進(jìn)行進(jìn)一步的判斷。

分析到樹狀結(jié)構(gòu)的某一層時(shí)，當(dāng)該層的最優(yōu)組合方式的風(fēng)險(xiǎn)為該層節(jié)點(diǎn)中風(fēng)險(xiǎn)最小的節(jié)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)停止分析、或當(dāng)分析到樹狀結(jié)構(gòu)的某一層時(shí)，該層所有節(jié)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)值仍大于已分析出的各層最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)，也應(yīng)停止分析。

分析出來(lái)的最小節(jié)點(diǎn)，即為最佳的投資方式，根據(jù)該投資方式可以有效地實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化及利益最大化。

■選取相關(guān)實(shí)例進(jìn)行計(jì)算分析

假定該實(shí)例為一個(gè)四元證券組合，該證券的收益率分別為0.13、0.055、0.14 和0.19，根據(jù)相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)率可以得到如下的方差矩陣：

假設(shè)此時(shí)的投資人想要的收益率為0.18，將該組合帶入優(yōu)化模型中，可以計(jì)算得到

根據(jù)該計(jì)算的結(jié)果可以得知，假如投資人想要獲得0.18 的收益率，那么他將要在證券1 中投入將近17%的投資比例，在證券4 中投進(jìn)入83%的投資比例，而證券2 和證券3 在該實(shí)例中為多余證券，因此不在這兩種證券中投入任何的資金。按照這種方式進(jìn)行投資可以實(shí)現(xiàn)收益率為0.18 并且該方式投資的風(fēng)險(xiǎn)值最小。

■結(jié)束語(yǔ)

本文在Markowitz 建立的模型基礎(chǔ)上和相關(guān)證券研究人員優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了進(jìn)一步的關(guān)系推進(jìn)。分析并得出在允許賣空的最優(yōu)投資比例向量和不允許賣空的非負(fù)投資比例約束條件下，最優(yōu)投資比例向量的優(yōu)化樹形算法。該算法能夠快速地得出最優(yōu)的投資方式，同時(shí)還指出了在案例中哪些為多余證券，并分析該如何投資實(shí)現(xiàn)最大化的盈利。本文還盡可能地簡(jiǎn)化了構(gòu)建模型所需的工作量，這對(duì)于組合證券優(yōu)化決策具有理論和實(shí)踐意義。