官邦貴，高海濤，左緒忠，郭明磊，董 杰

（安徽科技學(xué)院 電氣與電子工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

測(cè)量重力加速度的新方法有很多種，文獻(xiàn)［1］對(duì)傳統(tǒng)平衡法進(jìn)行改進(jìn)提出了一種基于平衡法的新計(jì)算方法，文獻(xiàn)［2］利用智能手機(jī)對(duì)單擺法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)使得單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期更為精確，文獻(xiàn)［3］提出了一種利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀測(cè)量重力加速度的新方法，文獻(xiàn)［4］利用智能手機(jī)中的壓力傳感器來(lái)測(cè)量重力加速度，文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［6］分別用干涉法和激光反射法測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?在眾多的重力加速度的測(cè)量方法中，利用單擺或者彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法因其裝置簡(jiǎn)易，原理簡(jiǎn)單，測(cè)量精度較高而被廣泛應(yīng)用.本文利用彈簧振子在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)量本地的重力加速度，為了消除測(cè)量彈簧振子周期時(shí)人工計(jì)時(shí)誤差較大的缺點(diǎn)，提高重力加速度的測(cè)量精度，實(shí)驗(yàn)中利用了智能手機(jī)中的光線傳感器軟件獲得做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子下端小光源照射到光線傳感器上的光照度實(shí)時(shí)變化的數(shù)據(jù)及光照度隨時(shí)間的變化圖像，根據(jù)該圖像得到彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期.

1 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)彈簧振子在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，彈簧振子的周期可用下列公式進(jìn)行計(jì)算：

式中k為彈簧振子的彈性系數(shù)，m為彈簧振子的質(zhì)量，m'為彈簧的質(zhì)量，T為彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期.

由（1）式可得彈簧的彈性系數(shù)k與彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T的關(guān)系為：

當(dāng)彈簧振子懸掛于豎直方向放置的彈簧下方并且處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，由胡克定律與牛頓第三定律可得：

式中k為彈簧振子的彈性系數(shù)，m為彈簧振子的質(zhì)量，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，△l為彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的伸長(zhǎng)量.由（2）式和（3）式可得重力加速度g與彈簧的伸長(zhǎng)量△l、彈簧振子的質(zhì)量m及彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T的關(guān)系為：

從（4）式可以看出，要測(cè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭，并不需要知道彈簧的彈性系數(shù)k，只需要測(cè)出彈簧振子的質(zhì)量m，彈簧的質(zhì)量m'，彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的伸長(zhǎng)量△l，彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T就可以計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)彈簧振子的質(zhì)量m發(fā)生改變時(shí)，彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的伸長(zhǎng)量△l也要發(fā)生改變，彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T亦隨之變化.實(shí)驗(yàn)中利用電子秤測(cè)出彈簧振子的質(zhì)量m，彈簧的質(zhì)量m'，利用固定在裝置上的刻度尺測(cè)出彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的伸長(zhǎng)量△l，利用智能手機(jī)中的光線傳感器軟件獲得做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子下端小光源照射到手機(jī)光線傳感器上的光照度實(shí)時(shí)變化的數(shù)據(jù)及光照度隨時(shí)間的變化圖像，根據(jù)該圖像得到彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T.進(jìn)而可以求出當(dāng)?shù)刂亓铀俣?

2 實(shí)驗(yàn)裝置

圖1為實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)示意圖，在鐵架臺(tái)上沿豎直方向安裝有刻度尺，彈簧的長(zhǎng)度可以直接通過(guò)刻度尺讀出來(lái).在鐵架臺(tái)頂端掛上彈簧并在其下方掛上勾碼，勾碼的下方安裝小光源，為了安裝的方便，小光源可以做成扁平圓柱體，將發(fā)光體嵌入圓柱體下端表面內(nèi)，發(fā)光體能夠持續(xù)均勻發(fā)光，在發(fā)光體的正下方放置智能手機(jī)并且讓發(fā)光體對(duì)準(zhǔn)智能手機(jī)上的光線傳感器，手機(jī)中的光線傳感器可以采集光照度實(shí)時(shí)變化的數(shù)據(jù)并輸出光照度隨時(shí)間變化的圖像，通過(guò)該圖像可得到彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)示意圖

3 實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容

（1）彈簧振子的質(zhì)量和彈簧的質(zhì)量的測(cè)量

利用電子秤測(cè)出彈簧的質(zhì)量m'、彈簧振子（包括勾碼與小光源）的質(zhì)量m.

（2）彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)伸長(zhǎng)量的測(cè)量

將彈簧豎直放置，測(cè)出彈簧原長(zhǎng)l，在彈簧下方掛懸掛彈簧振子，測(cè)出彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)彈簧的長(zhǎng)度l'，則彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)伸長(zhǎng)量為△l=l'-l.

（3）彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的測(cè)量

在手機(jī)上打開(kāi)光線傳感器軟件，按下運(yùn)行按鈕；打開(kāi)小光源，給彈簧20.0 mm的初始振幅，使彈簧在豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此時(shí)手機(jī)中的光線傳感器可以采集光照度實(shí)時(shí)變化的數(shù)據(jù)并輸出光照度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線（如圖2所示）.從采集的光照度實(shí)時(shí)變化數(shù)據(jù)中可以求得彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T，也可以從輸出光照度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線中求得彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T.

方法一：從采集的光照度實(shí)時(shí)變化數(shù)據(jù)中可以求得彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T.

表1 采集的光照度實(shí)時(shí)變化數(shù)據(jù)（彈簧振子質(zhì)量為m=210.18 g）

因?yàn)閿?shù)據(jù)太多，此表省略了部分?jǐn)?shù)據(jù)，彈簧振子振動(dòng)穩(wěn)定后找到一個(gè)光照度最大值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間（此次實(shí)驗(yàn)找到了光照度為218 lx時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為1.680 020 312 s），依次向后找，找到第51個(gè)光照度最大值此次實(shí)驗(yàn)找到了光照度為201 lx時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為30.720 012 52 s），可以得出其周期為：

方法二：從光照度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線中求得彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T.

圖2（a）和（b）為彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)光照度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線，圖2（a）為從關(guān)系曲線上找到某一個(gè)光照度最大值及其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間（此次實(shí)驗(yàn)找到了光照度為255 lx時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為2.039 982 8 s），為了較精確地找到光照度的最大值，需要將鼠標(biāo)放在光照度最大值附近，左右移動(dòng)鼠標(biāo)光照度的數(shù)值和對(duì)應(yīng)的時(shí)間都能實(shí)時(shí)顯示出來(lái)，從而找到光照度的最大值和對(duì)應(yīng)的時(shí)間，依次找到第51個(gè)光照度最大值，見(jiàn)圖2（b），此次實(shí)驗(yàn)找到了光照度為229 lx時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為31.079 975 s，可以得出其周期為：

圖2 光照度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線

本實(shí)驗(yàn)方法二相比方法一，除了初始振幅不一樣外，其它參數(shù)均相同，得到的周期與方法一得到的周期也相同（所用結(jié)果為小數(shù)點(diǎn)后取四位的結(jié)果），因此用方法二得到的彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期是比較準(zhǔn)確的.

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

（1）表2為彈簧振子質(zhì)量保持不變，改變彈簧振子初始振幅△x時(shí)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果，實(shí)驗(yàn)中所用彈簧振子的質(zhì)量為130.18 g （包括鉤碼和小光源的質(zhì)量），利用光照度實(shí)時(shí)變化數(shù)據(jù)得到彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期.

表2 改變彈簧振子初始振幅△x時(shí)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果（量程：10 N）

與蚌埠當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎礸=9.795 4比較，求出相對(duì)誤差為：

（2）表3為初始振幅△x時(shí)保持不變，改變彈簧振子質(zhì)量時(shí)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果，實(shí)驗(yàn)中初始振幅△x=20.0mm，利用光照度隨時(shí)間的變化關(guān)系圖像得到彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期.

表3 改變彈簧振子質(zhì)量時(shí)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果（量程：10 N）

與蚌埠當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎礸=9.795 4比較，求出相對(duì)誤差為：

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

（1）彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)周期與彈簧振子的初始振幅無(wú)關(guān).

（2）彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其周期與彈簧振子的質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，振動(dòng)周期越大.

（3）利用智能手機(jī)來(lái)測(cè)量彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期可以減小人工計(jì)時(shí)測(cè)量時(shí)誤差較大的缺陷，提高重力加速度的測(cè)量精度.

（4）兩組實(shí)驗(yàn)測(cè)得的重力加速度與蚌埠當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣认啾认嗖疃疾淮?，說(shuō)明這種測(cè)量方法是比較精確的.