常萬(wàn)里 李曉東 張艷碩

北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

1 引言

德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”[1]，數(shù)論是一個(gè)具有千年歷史的經(jīng)典學(xué)科，是一門完全以初等的方法研究整數(shù)性質(zhì)的古老數(shù)學(xué)分支。 《初等數(shù)論》課程主要研究整數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，要求學(xué)生熟練掌握初等數(shù)論的基本內(nèi)容(如整除理論、同余知識(shí)、不定方程、素?cái)?shù)分布與數(shù)論函數(shù)等)、基本思想與基本方法，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)整數(shù)性質(zhì)的深入理解，強(qiáng)化分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，有效擴(kuò)充知識(shí)的廣度，培養(yǎng)發(fā)散邏輯思維，為學(xué)生學(xué)習(xí)《離散數(shù)學(xué)》、《近世代數(shù)》、《代數(shù)幾何》、《密碼學(xué)》和《密碼應(yīng)用技術(shù)》等課程奠定必要基礎(chǔ)[2]。

數(shù)論被譽(yù)為數(shù)學(xué)的皇冠，而數(shù)論中一些懸而未決的基本數(shù)論問(wèn)題則被譽(yù)為“皇冠上的明珠”。 一直以來(lái)，對(duì)古老的若干數(shù)論問(wèn)題的深入研究成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力之一[3]。 基本數(shù)論問(wèn)題主要有哥德巴赫猜想、歐拉猜想、費(fèi)馬猜想、丟番圖猜想和素?cái)?shù)無(wú)限定理等等。

基本數(shù)論問(wèn)題例證教學(xué)主要以基本數(shù)論問(wèn)題及其擴(kuò)展問(wèn)題為引導(dǎo)，教學(xué)目的明確，將抽象的數(shù)論概念和基礎(chǔ)理論，融入到例證化數(shù)論猜想探究中。 我們?cè)趯?shí)際教育教學(xué)過(guò)程中，重在啟發(fā)學(xué)員積極探索，有效化解了數(shù)學(xué)知識(shí)枯燥且難以理解的問(wèn)題，教學(xué)效果極大提升。 學(xué)生可以直觀清楚地將初等數(shù)論知識(shí)與理論應(yīng)用緊密結(jié)合，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授帶來(lái)了實(shí)際應(yīng)用的支撐。

在學(xué)習(xí)和研究基本數(shù)論問(wèn)題的過(guò)程中，我們提出了“任何自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行各位數(shù)字求和后平方加2 的變換，都會(huì)收斂到123。”的猜想。 通過(guò)例證教學(xué)方法對(duì)此猜想進(jìn)行實(shí)踐教學(xué)，盡可能形象、清晰并直觀地展現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生利用數(shù)論猜想形成問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力[4]。

根據(jù)基本數(shù)論問(wèn)題整數(shù)性質(zhì)的不同，我們將例證教學(xué)方法在實(shí)際教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整、在課程交流與實(shí)踐中進(jìn)行理論推廣，在反思總結(jié)中不斷融入新的創(chuàng)新點(diǎn)。 通過(guò)例證教學(xué)方法，幫助學(xué)生理解基本數(shù)論問(wèn)題所內(nèi)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力、觀察力與注意力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力與想象能力。

2 基本數(shù)論問(wèn)題

基本數(shù)論問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的研究。 數(shù)論的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是難題眾多，并且不少難題都是千百年來(lái)懸而未決，其真假性無(wú)人知曉。 在《Fundamental number theory with applications， 2d ed.》一書中[5]，縱觀了歷史上的一些著名數(shù)論猜想，如哥德巴赫猜想、歐拉猜想、費(fèi)馬猜想、丟番圖猜想和孿生素?cái)?shù)猜想等等，這些基本數(shù)論問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，起了積極的推動(dòng)作用，正是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家們的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展到當(dāng)今的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)猜想是現(xiàn)代教學(xué)的必然要求。

2.1 哥德巴赫猜想[6]

德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫(Goldbach C.)在1742年給歐拉的信中提出了這一猜想:“任何一個(gè)大于2 的整數(shù)都可以寫成3 個(gè)素?cái)?shù)之和”。 當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉也無(wú)法證明這一猜想，直到19 世紀(jì)末都沒(méi)有取得任何進(jìn)展。 今日的哥德巴赫猜想被描述為歐拉的版本，即:任何一個(gè)大于2 的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。 我國(guó)著名數(shù)論專家陳景潤(rùn)在1966 年證明出:任何一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)再加上兩個(gè)素?cái)?shù)之積，即所謂的1＋2，在國(guó)際上被稱為陳氏定理。

2.2 歐拉猜想[7]

歐拉(Leonhard Euler)是世界著名的大數(shù)學(xué)家。 他在數(shù)學(xué)研究中常常使用大膽的猜測(cè)和巧妙的證明而得出了許多重要的發(fā)現(xiàn)。 他有一個(gè)著名猜想:任何可以寫成8n＋3 的整數(shù)是一個(gè)平方數(shù)與一個(gè)素?cái)?shù)的兩倍之和，即8n＋3＝x2＋y(n為自然數(shù)，x為整數(shù)，y為素?cái)?shù))。

2.3 費(fèi)馬猜想[8]

1637 年， 法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬( Pierre de Fermat)提出:“當(dāng)自然數(shù)n大于2 時(shí)，方程xn＋yn＝zn沒(méi)有正整數(shù)解。”1760 年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了n＝3 的情形；1823 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒朗德證明了n ＝5 的情形；1839 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅證明了n＝7 的情形；1978 年，瓦格斯塔夫在大型計(jì)算機(jī)的幫助下證明當(dāng)2

2.4 丟番圖猜想[9]

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus)提出:“一個(gè)正整數(shù)可以寫成4 個(gè)平方數(shù)的和?！崩?1＝12＋02＋02＋02，2＝12＋12＋02＋02，3＝12＋12＋12＋02，…，這個(gè)猜想于1770 年被法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日證明。 1773 年，歐拉給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的證明。

2.5 三素?cái)?shù)定理[10]

三素?cái)?shù)定理為每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。 該定理首先由維諾格拉多夫(Vinogradov) 于 1937 年證明， 他利用Hardy-Littlewood圓法以及自己所創(chuàng)的三角和估計(jì)方法證明了上述結(jié)論。

2.6 孿生素?cái)?shù)猜想[11]

孿生素?cái)?shù)猜想是數(shù)論中的著名未解決問(wèn)題。這個(gè)猜想產(chǎn)生已久；在數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特(David Hilbert)在1900 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的著名報(bào)告中，它位列23 個(gè)“希爾伯特問(wèn)題”中的第8 個(gè)問(wèn)題，可以被描述為“存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，并且對(duì)每個(gè)p而言，有p＋2 這個(gè)數(shù)也是素?cái)?shù)”。例如3 和5，5 和7， 11 和13， …， 10016957 和10016959 等等都是孿生素?cái)?shù)。

素?cái)?shù)定理說(shuō)明了素?cái)?shù)在趨于無(wú)窮大時(shí)變得稀少的趨勢(shì)。 而孿生素?cái)?shù)與素?cái)?shù)一樣，也有相同的趨勢(shì)，并且這種趨勢(shì)比素?cái)?shù)更為明顯。

新罕布什爾大學(xué)( University of New Hampshire，UNH)任教的華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素?cái)?shù)研究方面所取得了突破性進(jìn)展，他證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。 在最新研究中，張益唐在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，發(fā)現(xiàn)存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000 萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)，這一研究被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問(wèn)題上取得了重大突破。

2.7 Wilson 定理

威爾遜定理是以英格蘭數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·華林(Edward Waring)的學(xué)生約翰·威爾遜(John Wilson)命名的，盡管這對(duì)師生都未能給出證明。 華林于1770 年提出該定理，1773 年由拉格朗日首次證明。 在初等數(shù)論中，Wilson定理給出了判定一個(gè)自然數(shù)是否為素?cái)?shù)的充分必要條件，即:當(dāng)且僅當(dāng)p為素?cái)?shù)時(shí):(p－1) ! ≡－1(modp) ，但是由于階乘是呈爆炸增長(zhǎng)的，其結(jié)論對(duì)于實(shí)際操作意義不大，但借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力有廣泛的應(yīng)用，也可以輔助數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

2.8 Mordell 猜想[12]

莫德?tīng)柌孪?Mordell conjecture)是關(guān)于算術(shù)曲線的有理點(diǎn)的重要猜想。 具體地，數(shù)域K(有理數(shù)域的有限次擴(kuò)域)上任何虧格g≥2 的代數(shù)曲線均只有有限多個(gè)K－點(diǎn)(有理點(diǎn))。 該猜想由德國(guó)數(shù)學(xué)家G. Faltings 于1983 年證明。

2.9 Weil 猜想

Weil 猜想是安德雷·韋依(André Weil)提出的一個(gè)重要猜想，在這個(gè)猜想的研究過(guò)程中發(fā)展和完善了現(xiàn)代代數(shù)幾何和數(shù)論的框架。

A. Weil 本人證明了該命題。 高維Weil 猜想(代數(shù)簇情形)證明起來(lái)更為困難，為證明該猜想，A. Gr?thendieck 創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)幾何(概型語(yǔ)言)。 B. Dwork，M. Artin 和A. Gr?thendieck等對(duì)于證明高維Weil 猜想均做出重要貢獻(xiàn)。 高維Weil 猜想最困難的部分被P. Deligne 利用代數(shù)幾何中的Etale Cohomology(平展上同調(diào))﹑Rankin 的估計(jì)等工具于1973 年證明。

2.10 其他數(shù)論問(wèn)題

其他基本數(shù)論問(wèn)題有二次剩余理論、同態(tài)基本定理、離散對(duì)數(shù)問(wèn)題、格上的最短向量問(wèn)題等等，這些數(shù)論問(wèn)題在公鑰密碼學(xué)研究中有著廣泛深遠(yuǎn)的影響。 公鑰密碼的安全性理論基礎(chǔ)是計(jì)算復(fù)雜性理論，通常是基于特定數(shù)學(xué)難題的計(jì)算困難性而設(shè)計(jì)的，主要有大整數(shù)因子分解的困難性，有限域上離散對(duì)數(shù)的難解性，橢圓曲線加法群上離散對(duì)數(shù)的難解性等。

這些基本數(shù)論問(wèn)題在實(shí)際教育教學(xué)中，具有抽象、復(fù)雜、難以理解等特性。 在傳統(tǒng)教學(xué)中，重結(jié)果、輕過(guò)程、重演繹、輕猜想，極大地妨礙對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，減少了對(duì)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展?jié)摿Φ耐诰騕13]。 日常授課的困難主要在于學(xué)生難以將數(shù)論知識(shí)充分理解，并加以實(shí)踐應(yīng)用。 為此，我們提出了對(duì)于基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法理論，將基本數(shù)論問(wèn)題通過(guò)例證化進(jìn)行深入探究，極大提升教學(xué)效果。

3 例證教學(xué)方法理論

基本數(shù)論問(wèn)題例證教學(xué)方法以基本數(shù)論問(wèn)題及其擴(kuò)展問(wèn)題為引導(dǎo)，教學(xué)目的明確，重在啟發(fā)學(xué)員積極探索，有效的化解了數(shù)學(xué)知識(shí)枯燥并難以理解的問(wèn)題，教學(xué)效果極大提升。 學(xué)生可以直觀清楚地認(rèn)識(shí)到所學(xué)習(xí)的初等數(shù)論知識(shí)和理論應(yīng)用緊密結(jié)合[14]。 例證教學(xué)方法突出對(duì)學(xué)員數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，利用基本數(shù)論問(wèn)題例證知識(shí)，將數(shù)論基本概念和基本理論的抽象性和復(fù)雜性以及難以理解性，盡可能形象、清晰并直觀地展現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值。

3.1 例證教學(xué)內(nèi)容

《初等數(shù)論》課程的教學(xué)，一方面對(duì)培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力，以及學(xué)生今后從事科學(xué)研究和實(shí)踐都起到重要作用。 《初等數(shù)論》課程中基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法主要以基本數(shù)論問(wèn)題及其擴(kuò)展問(wèn)題為引導(dǎo)，對(duì)課程中基本數(shù)論問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)模式改革，通過(guò)實(shí)例來(lái)系統(tǒng)覆蓋數(shù)論知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)適應(yīng)《初等數(shù)論》不斷發(fā)展的教學(xué)新模式，將抽象的概念和基礎(chǔ)理論融入例證化數(shù)論猜想探究中，解決《初等數(shù)論》課程中理論與實(shí)際應(yīng)用的矛盾，滿足人才培養(yǎng)特色的需求，適合學(xué)院人才培養(yǎng)的體制機(jī)制[15]。 這樣形成的重點(diǎn)突出，適應(yīng)發(fā)展、結(jié)合實(shí)際、深入淺出的教學(xué)新模式，更好地激發(fā)學(xué)生對(duì)于課程的興趣與理解。

3.2 例證教學(xué)方法

基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法以基本數(shù)論問(wèn)題及其擴(kuò)展問(wèn)題為引導(dǎo)，是一種以基本數(shù)論問(wèn)題和應(yīng)用實(shí)例為基礎(chǔ)的教學(xué)法，主要是指以應(yīng)用實(shí)例為背景，組織《初等數(shù)論》教學(xué)，起到對(duì)數(shù)論問(wèn)題概念從個(gè)體到一般、從具體到抽象的思維轉(zhuǎn)換過(guò)程，并在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，以教學(xué)實(shí)例為牽引，探究《初等數(shù)論》理論教學(xué)。 例證教學(xué)方法一方面能在極大程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 激發(fā)學(xué)習(xí)積極性。 另一方面，傳授給學(xué)生新的思想方法，以開(kāi)闊思路， 發(fā)揮教學(xué)應(yīng)有的作用。

例證教學(xué)方法的具體實(shí)施步驟主要分為分析問(wèn)題、簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)、推導(dǎo)問(wèn)題、驗(yàn)證猜想、得出推論五個(gè)部分，盡可能形象、清晰并直觀地展現(xiàn)數(shù)論基本概念和基本理論的抽象性和復(fù)雜性，合理組織其教學(xué)過(guò)程，選擇具有針對(duì)性的基本數(shù)論例證材料和方法，制定合理、高效、寓教于樂(lè)的教學(xué)方式。

在對(duì)諸如哥德巴赫猜想、歐拉猜想、費(fèi)馬猜想、三素?cái)?shù)定理等基本數(shù)論問(wèn)題的實(shí)際教育教學(xué)過(guò)程中，我們采取例證教學(xué)方法，配以多媒體教學(xué)手段，讓學(xué)生系統(tǒng)完整地理解和學(xué)習(xí)數(shù)論問(wèn)題的理論與應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)哥德巴赫猜想時(shí)，我們通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生積極思考，進(jìn)行以基于“素?cái)?shù)生成”為中心的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)素?cái)?shù)查找的案例展開(kāi)討論和探究，以培養(yǎng)學(xué)生的研究能力[16]。

在學(xué)習(xí)三素?cái)?shù)定理時(shí)，我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)置不同的前置性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出多樣性的素?cái)?shù)生成方案，再由教師進(jìn)行指導(dǎo)，對(duì)素?cái)?shù)生成方案進(jìn)行不斷改進(jìn)，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新能力。

在素?cái)?shù)無(wú)限定理、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題時(shí)，我們通過(guò)在多媒體中運(yùn)用豐富的數(shù)學(xué)模型和物理模型進(jìn)行講解，更加直觀具體的表現(xiàn)出不同素?cái)?shù)生成方案在實(shí)際應(yīng)用時(shí)的差別，提升學(xué)生對(duì)于數(shù)論理論與素?cái)?shù)實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合，增加學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考與理解[17]。

3.3 例證教學(xué)意義

例證教學(xué)方法區(qū)別于經(jīng)常提到的題例或案例教學(xué)，例證教學(xué)方法更加貼近專業(yè)背景，例證的選取能夠可以有效的服務(wù)于理論知識(shí)[18]。 例證教學(xué)方法突出對(duì)學(xué)員數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，利用基本數(shù)論問(wèn)題例證知識(shí)，將數(shù)論基本概念和基本理論的抽象性和復(fù)雜性以及難以理解性，盡可能形象、清晰并直觀的展現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高了學(xué)生利用數(shù)論猜想形成問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力[19]。

例證教學(xué)方法具有聯(lián)想性，追本溯源等特點(diǎn)。 教學(xué)中艱深難懂的知識(shí)點(diǎn)，利用基本數(shù)論問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)發(fā)展史說(shuō)明，解釋相關(guān)數(shù)論概念的提出動(dòng)機(jī)，產(chǎn)生背景。 激發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是與實(shí)際問(wèn)題緊密相連的，幫助學(xué)生克服對(duì)理解抽象概念的恐懼心理，提高學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)興趣[20]。 從教學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生充分掌握了將實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題概括為基本數(shù)論問(wèn)題的方法，切實(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新思維能力。

在新一輪的課程改革中，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)提出了明確要求[21]。 數(shù)學(xué)猜想是一種創(chuàng)造性思維方法，若平時(shí)能有意識(shí)地加強(qiáng)對(duì)于基本數(shù)論問(wèn)題例證教學(xué)活動(dòng)，則能使創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)真正落到實(shí)處，應(yīng)該讓例證教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中成為一種常態(tài)。

3.4 例證教學(xué)舉例

素?cái)?shù)無(wú)限定理[22]:素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)。 一個(gè)大于1 的自然數(shù)，除了1 和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)；否則稱為合數(shù)(規(guī)定1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù))。 關(guān)于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的證明，早期經(jīng)典的證明可以追溯到歐幾里德(Euclid)的《幾何原本》。 這也用到了數(shù)學(xué)中的反證法，被認(rèn)為是經(jīng)典之作，以后又出現(xiàn)十幾種證明方法。

在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，我們應(yīng)用例證教學(xué)方法對(duì)素?cái)?shù)無(wú)限定理給出了以下證明:

假設(shè)素?cái)?shù)為有限的n個(gè)，其中最大的素?cái)?shù)是p。 設(shè)q為所有素?cái)?shù)之積加上1，那么，如果q＝(2× 3× 5× ……×p)＋1 是素?cái)?shù)，則q>p成立，q為比p大的素?cái)?shù)，與假設(shè)矛盾。 如果q為合數(shù)，則q一定不能被小于p的任何一個(gè)素?cái)?shù)整除，那么q的最小素因子m，一定大于p，即大于p的素?cái)?shù)存在，與假設(shè)矛盾。

綜上可知素?cái)?shù)是無(wú)限的。

關(guān)于是否存在上述第二種可能，下面利用編程給出演示:

圖1 程序演示

由上圖可知2× 3× 5× 7× 11× 13＋1＝30031 為合數(shù)，唯一的分解為59×509；雖然在開(kāi)始的幾行中結(jié)果為素?cái)?shù)的居多，但隨著q的平方根逐漸增大，使得在p與q的平方根之間的整數(shù)增大，在這個(gè)整數(shù)空間中包含q的素因子幾率增多，以至于q為素?cái)?shù)的情況越來(lái)越少。

以現(xiàn)有計(jì)算機(jī)的條件下，我們可以找出比較大的素?cái)?shù)p，如圖二所示:

圖2 素?cái)?shù)p

4 例證教學(xué)方法應(yīng)用實(shí)踐

在實(shí)際教育教學(xué)過(guò)程中，我們提出了一個(gè)關(guān)于自然數(shù)數(shù)位相加的數(shù)論猜想，下面我們應(yīng)用基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法對(duì)此數(shù)論猜想進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

4.1 教學(xué)方法應(yīng)用實(shí)例

在學(xué)習(xí)和研究哥德巴赫猜想的有關(guān)問(wèn)題過(guò)程中，我們提出了一個(gè)關(guān)于自然數(shù)數(shù)位相加的數(shù)論猜想:任何自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行各位數(shù)字求和后平方加2 的變換，都會(huì)收斂到123。 即:對(duì)任意k∈N＋，將k的各數(shù)位數(shù)字求和得到M，進(jìn)一步得到k＝M2＋2，重復(fù)以上運(yùn)算，k最后收斂到123。進(jìn)一步使用C語(yǔ)言編程，利用計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)了20億以內(nèi)的自然數(shù)都滿足猜想[23]。

當(dāng)1 ≤k≤16 時(shí)，得到結(jié)果如表1 所示:

表1 1 ≤k ≤16 時(shí)猜想驗(yàn)證

(1)數(shù)論猜想歸納證明

在對(duì)數(shù)論問(wèn)題的研究過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著多種多樣的數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)證明方法有構(gòu)造性證明、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，在實(shí)際應(yīng)用這些方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有的只會(huì)應(yīng)用到其中的一種數(shù)學(xué)證明方法，而有的則需要結(jié)合幾種數(shù)學(xué)證明方法才能夠很好地將相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。 在數(shù)論中，數(shù)學(xué)歸納法是以一種不同的方式來(lái)證明任意一個(gè)給定的情形都是正確的數(shù)學(xué)定理。 數(shù)學(xué)歸納法并非不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納推理法，它屬于完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法。事實(shí)上，所有數(shù)學(xué)證明都是演繹法。 下面我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)猜想:

證明:

設(shè)自然數(shù)經(jīng)過(guò)一次數(shù)位相加再平方加2 為一輪運(yùn)算。 經(jīng)程序驗(yàn)證，數(shù)位相加后值在1－99的自然數(shù)均滿足猜想。

當(dāng)1 ≤k≤99 時(shí)，即k取兩位數(shù)以內(nèi)時(shí)，數(shù)位相加的最大值為18，因?yàn)閿?shù)位相加后值在1－99 的自然數(shù)均滿足猜想，故猜想成立。

當(dāng)100 ≤k≤999 時(shí)，即k取三位數(shù)時(shí)，數(shù)位相加的最大值為27， 經(jīng)過(guò)一輪運(yùn)算后的最大值為731，所以第二輪運(yùn)算的數(shù)位相加最大值小于等于24，因?yàn)閿?shù)位相加后值在1－99 的自然數(shù)均滿足猜想，故猜想成立。

當(dāng)1000 ≤k≤9999 時(shí)，即k取四位數(shù)時(shí)，數(shù)位相加的最大值為36， 經(jīng)過(guò)一輪運(yùn)算后的最大值為1298，所以第二輪運(yùn)算的數(shù)位相加最大值小于等于27，因?yàn)閿?shù)位相加后值在1－99 的自然數(shù)均滿足猜想，故猜想成立。

當(dāng)k≥ 10000 時(shí)， 即k取m位數(shù)時(shí)(m≥5) ，第一輪數(shù)位相加的最大值為9m， 經(jīng)過(guò)一輪運(yùn)算后的最大值為81m2＋2。 設(shè)81m2＋2 的位數(shù)為m′，總有數(shù)位m′

綜上所述，任何自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行各位數(shù)字求和再平方加2 的變換，最終都會(huì)收斂到123。

證畢。

(2)數(shù)論猜想驗(yàn)證程序

下面我們運(yùn)用一個(gè)C 語(yǔ)言程序來(lái)部分驗(yàn)證這個(gè)猜想[21]:

我們?cè)赪indows 10 操作系統(tǒng)中對(duì)此程序進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)的軟件運(yùn)行環(huán)境為Visual Studio Code，硬件主機(jī)的配置環(huán)境為Intel Core i5－9300H 2.4Ghz，RAM 16GB。

在使用C 語(yǔ)言對(duì)此猜想進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，通過(guò)for 循環(huán)中嵌套while 循環(huán)，利用除10 算法提取出整型變量各個(gè)數(shù)位的數(shù)字，并進(jìn)行數(shù)位求和與平方加2，在if 語(yǔ)句判斷后跳出循環(huán)，并進(jìn)行打印。 接下來(lái)不斷改變?nèi)≈捣秶?，利用?jì)算機(jī)檢驗(yàn)了20 億以內(nèi)的自然數(shù)都滿足猜想。

(3)數(shù)論猜想延伸

1、在遞歸到123 的前一輪運(yùn)算中，各個(gè)數(shù)位進(jìn)行數(shù)位求和的值應(yīng)為11， 例如: 29、38、47、146、227。

2、形如9n的數(shù)字(n為自然數(shù)) ，在經(jīng)過(guò)一輪運(yùn)算后，再進(jìn)行有限次數(shù)位相加的值，最終結(jié)果為2。

4.2 研究方法思考

數(shù)學(xué)猜想作為一種高級(jí)的創(chuàng)造性思維方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新品質(zhì)有著重要的作用，是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的一種重要的思維方法，是創(chuàng)新思維的重要組成部分，是發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的一個(gè)良好契機(jī)[24]。 我們基于基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法， 給出一些行之有效的原則及具體方法， 作一定范圍內(nèi)的一般方法的探討， 在形成良好思維定勢(shì)之外， 更重要的是注重?cái)?shù)學(xué)思維活動(dòng)的展開(kāi)， 通過(guò)數(shù)學(xué)猜想、檢驗(yàn)去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題， 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力。在日常實(shí)際《初等數(shù)論》課程教學(xué)中應(yīng)用例證教學(xué)方法，有以下三點(diǎn)優(yōu)勢(shì)[25]:

(1)猜想是一種高級(jí)的思維方式，那作為學(xué)生的引導(dǎo)者的教師則要具備一定的猜想能力，必須懂?dāng)?shù)學(xué)猜想，知道猜想的規(guī)律，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生猜想。 通過(guò)例證教學(xué)方法在日常學(xué)習(xí)中飯?zhí)嵘孪肽芰Γ?培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力。

(2)在平時(shí)教學(xué)中讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)猜想的思維習(xí)慣，如注重知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，理解問(wèn)題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，利用對(duì)稱、統(tǒng)一、奇異的數(shù)學(xué)特征去引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題。 這樣可使學(xué)生的猜想思維活動(dòng)由不自覺(jué)或盲目的狀態(tài)，發(fā)展為有意識(shí)有目的的創(chuàng)造活動(dòng)。

(3)努力營(yíng)造寬松愉快的猜想氛圍。 老師不必去限制學(xué)生思維的疆域，鼓勵(lì)學(xué)生多積極主動(dòng)思考，不滿足現(xiàn)成解答，大膽猜想，不斷開(kāi)拓。在例證教學(xué)過(guò)程中，猜想合理的給予積極鼓勵(lì)，猜想偏向的給予細(xì)心引導(dǎo)，使學(xué)生的被動(dòng)的猜想行為轉(zhuǎn)變成自覺(jué)的猜想行為，切實(shí)讓培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)落到教學(xué)實(shí)處。 在例證教學(xué)中在合適的時(shí)間不斷的滲透數(shù)學(xué)猜想思想，提高學(xué)生的解題能力，進(jìn)而培養(yǎng)其猜想能力，提升解決問(wèn)題的能力，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的目的。

在對(duì)教學(xué)方法的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們還發(fā)現(xiàn)了一些不足。 例證教學(xué)方法是以基本數(shù)論問(wèn)題及其擴(kuò)展問(wèn)題為引導(dǎo)的教學(xué)方法，這對(duì)于教師的教學(xué)遷移能力、靈活應(yīng)變能力和聯(lián)想發(fā)散能力均提出了較高要求。 同時(shí)，在對(duì)某些基本數(shù)論問(wèn)題的教學(xué)研究中，例證教學(xué)法并不能充分契合日常教學(xué)要求，這時(shí)教師應(yīng)能夠針對(duì)不同的問(wèn)題選擇最合適的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這樣才能夠充分提高教學(xué)效率，更好地解決相關(guān)基本數(shù)論問(wèn)題。

5 研究方法推廣

在《初等數(shù)論》課程的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，我們認(rèn)為關(guān)于《初等數(shù)論》的教學(xué)方法的研究意義極大，可推廣性極強(qiáng)，聯(lián)系方面極廣，需同時(shí)滿足多樣、豐富、合理高效、寓教于樂(lè)等特點(diǎn)。 為此我們對(duì)基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法提出了以下三點(diǎn)改進(jìn)意見(jiàn):

(1)《初等數(shù)論》的教學(xué)若采取傳統(tǒng)教學(xué)和多媒體教學(xué)相結(jié)合的方式，可以達(dá)到更好的效果。 比如，對(duì)一些定理的證明和較難的例題可以通過(guò)板書，而對(duì)大家已熟悉的數(shù)論概念和應(yīng)用舉例可以通過(guò)課件進(jìn)行展示，尤其是講到有的數(shù)論問(wèn)題時(shí)可以借助課件大信息量的特點(diǎn)介紹相關(guān)數(shù)論學(xué)家的故事和成果，或者展示數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)、最優(yōu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用。 例如，在講到整數(shù)的整除和同余時(shí)可以通過(guò)課件展示人類保密通訊的歷史發(fā)展過(guò)程中的“凱撒密碼”，“維吉尼亞密碼”；講到整數(shù)的唯一分解時(shí)可以借助課件介紹至今仍在信息安全各領(lǐng)域使用的“RSA 公鑰密碼”[26]，這可以讓學(xué)生了解數(shù)論知識(shí)與我們生活的密切聯(lián)系。

(2)由于整數(shù)是無(wú)窮的，對(duì)于一些很大的整數(shù)的數(shù)論性質(zhì)通過(guò)人工的方式無(wú)法檢驗(yàn)，然而隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，初等數(shù)論中最基本、最常用的知識(shí)都可以結(jié)合具體的實(shí)例通過(guò)算法編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。 例如，在講到利用埃拉托斯尼斯篩法判別一個(gè)正整數(shù)是否為素?cái)?shù)時(shí)，就可以借助已有的相關(guān)程序來(lái)檢驗(yàn)較大的整數(shù)，使學(xué)生更直觀地理解和掌握數(shù)論知識(shí)。 總之，適時(shí)地通過(guò)課件展示可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)論知識(shí)的理解，又可以在有限的課堂教學(xué)時(shí)間里使學(xué)生獲得更多的知識(shí)。

(3)《初等數(shù)論》的教學(xué)則應(yīng)注重其與交叉學(xué)科間的相互滲透。 例如，初等數(shù)論中的整除與數(shù)進(jìn)制和計(jì)算機(jī)緊密相連、數(shù)論函數(shù)在組合學(xué)中有重要應(yīng)用、同余定理為解決密碼學(xué)中的信息安全問(wèn)題提供了核心技術(shù)——公開(kāi)密鑰[27]。 因此在講解這些內(nèi)容時(shí)要注重其應(yīng)用背景，實(shí)現(xiàn)交叉學(xué)科間的相互滲透，為學(xué)生提供多方面的理論支持。 針對(duì)不同發(fā)展方向的學(xué)生實(shí)現(xiàn)分層教學(xué)，側(cè)重不同的教學(xué)內(nèi)容，使每個(gè)學(xué)生不僅在初等數(shù)論課堂上學(xué)習(xí)到了課本上的知識(shí)，更為其未來(lái)的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。 根據(jù)基本數(shù)論問(wèn)題整數(shù)性質(zhì)的不同，以例證教學(xué)方法在實(shí)際教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整、在課程交流與實(shí)踐中進(jìn)行理論推廣，在反思總結(jié)中不斷融入新的創(chuàng)新點(diǎn)。

6 總 結(jié)

在計(jì)算機(jī)科學(xué)與電子技術(shù)深入發(fā)展的今天，數(shù)論已經(jīng)不再僅僅是一門純之又純的數(shù)學(xué)學(xué)科，同時(shí)也是一門應(yīng)用性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科，數(shù)論已經(jīng)在諸如計(jì)算、密碼、物理、化學(xué)、生物、聲學(xué)、電子、通訊、圖形學(xué)等諸多領(lǐng)域中都有著廣泛而深入的應(yīng)用[28]。 同時(shí)，數(shù)學(xué)猜想是學(xué)習(xí)數(shù)論問(wèn)題的重要途徑之一，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，營(yíng)造氛圍，給學(xué)生提供猜想的空間，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想的理念。 在數(shù)論教學(xué)中應(yīng)用基本數(shù)論問(wèn)題例證教學(xué)方法，以數(shù)學(xué)猜想激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓他們?cè)隗w驗(yàn)探索的過(guò)程中對(duì)自己發(fā)現(xiàn)的東西會(huì)理解得更深刻，掌握得更牢靠，運(yùn)用得靈活，又可以使學(xué)生的觀察力、注意力、概括能力、想象能力得到更好的發(fā)展。

綜上所述，數(shù)學(xué)證明方法與數(shù)學(xué)猜想實(shí)現(xiàn)之間存在較為密切的聯(lián)系，在應(yīng)用一定的證明方法解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到一定的困難。經(jīng)過(guò)以上思考，我們提出了基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法。 在基本數(shù)論問(wèn)題的例證教學(xué)方法的不斷研究過(guò)程中，我們基于哥德巴赫猜想提出了一個(gè)有關(guān)數(shù)位相加的數(shù)論猜想并加以證明，在教學(xué)實(shí)踐中取得了很好的效果。 在實(shí)際教育教學(xué)中應(yīng)用基本數(shù)論問(wèn)題例證教學(xué)方法，提高了學(xué)生的自學(xué)能力、解題能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力、創(chuàng)造能力。

在我國(guó)新一輪的課程改革中，也對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)提出了明確要求，因此，教師幫助學(xué)生學(xué)習(xí)《初等數(shù)論》基本問(wèn)題的過(guò)程中，也應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，能夠針對(duì)不同的問(wèn)題選擇最合適的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這樣才能夠提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率，從而更好地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。 大學(xué)教育絕不單是知識(shí)的簡(jiǎn)單傳授，例證教學(xué)方法研究的目的和初心就是通過(guò)例證教學(xué)，幫助學(xué)生理解基本數(shù)論問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想所在，最大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。