于軍琪，趙澤華，趙安軍，王福，陳時(shí)羽

(西安建筑科技大學(xué)建筑設(shè)備科學(xué)與工程學(xué)院，陜西西安，710055)

近年來(lái)，隨著人們對(duì)舒適性要求的不斷提高，作為中央空調(diào)系統(tǒng)的主要耗能設(shè)備的冷水機(jī)組在大型公共建筑中得到了更加廣泛的應(yīng)用，其運(yùn)行能耗約占中央空調(diào)系統(tǒng)總能耗的60%，而該能耗約占建筑總能耗的25%～40%[1]。由于不同類(lèi)型的冷機(jī)具有不同額定容量和性能參數(shù)，可以通過(guò)調(diào)控各冷機(jī)的運(yùn)行工況滿(mǎn)足不同的末端負(fù)荷需求，從而大幅提高系統(tǒng)的靈活性[2]。因此，如何提高并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)行效率使其運(yùn)行能耗最低成為當(dāng)代建筑節(jié)能的研究課題之一。

研究人員采取許多優(yōu)化算法解決并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配(optimal chiller loading，OCL)問(wèn)題。CHANG[3]采用拉格朗日法(Lagrange method，LM)求解OCL問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)雖然該法較傳統(tǒng)的平均負(fù)荷法能耗更低，但在較低負(fù)荷需求下無(wú)法收斂；CHANG 等[4]又提出梯度法(gradient method，GM)解決該問(wèn)題，GM克服了LM收斂性差的缺點(diǎn)，但其迭代步驟偏多且求解精度略低。近年來(lái)，許多元啟發(fā)式算法也被用于解決OCL 問(wèn)題。CHANG[5]采用遺傳算法(genetic algorithm，GA)克服了LM在面對(duì)非凸函數(shù)時(shí)不適用的缺點(diǎn)，但無(wú)法有效降低能耗；LEE等[6]采用粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)求解該問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)PSO 算法在該問(wèn)題上的尋優(yōu)效果優(yōu)于GA 算法；CHANG 等[7]又提出模擬退火算法(simulated annealing，SA)，發(fā)現(xiàn)該方法能快速產(chǎn)生精度較高的結(jié)果；LEE等[2]針對(duì)該問(wèn)題采用差分進(jìn)化算法(differential evolution，DE)求解，取得了和PSO 算法一致的優(yōu)化結(jié)果，但其平均能耗更低；COELHO 等[8?9]提出基于高斯分布函數(shù)改進(jìn)的螢火蟲(chóng)算法(improved firefly algorithm，IFA)和差分布谷鳥(niǎo)搜索算法(differential evolution cuckoo search algorithm，DCSA)，發(fā)現(xiàn)依據(jù)這2種算法的尋優(yōu)結(jié)果制定的系統(tǒng)運(yùn)行策略比其他算法的能耗更低；ZHENG 等[10?11]提出的改進(jìn)雜草入侵優(yōu)化算法(improved invasive weed optimization，EIWO)和改進(jìn)人工魚(yú)群算法(improved artificial fish swarm algorithm，IAFSA)也是解決此問(wèn)題的有效方法；TEIMOURZADEH 等[12]將增廣群搜索優(yōu)化算法(augmented group search optimization，AGSO)應(yīng)用于該目標(biāo)的求解，發(fā)現(xiàn)AGSO 算法具有良好收斂性，能取得良好的節(jié)能效果；于軍琪等[1]提出一種改進(jìn)的煙花算法(improved fireworks algorithm，IFA)，相比于現(xiàn)有的優(yōu)化結(jié)果，該算法能夠找到更好的運(yùn)行策略，同時(shí)在收斂性方面具有較強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)性。

從以上研究可以看出，數(shù)學(xué)規(guī)劃求解方法和元啟發(fā)式算法能從中央空調(diào)系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)際情況出發(fā)解決OCL問(wèn)題，并且具有較好優(yōu)化效果。但是，大部分元啟發(fā)式算法都是在集中搜索環(huán)境下搜索求解，搜索過(guò)程相較于并行式搜索過(guò)程較慢，并且需要較大的種群規(guī)模。此外，一個(gè)優(yōu)化算法可能在一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題上有較好性能，但在其他優(yōu)化問(wèn)題上并不適用。特別是對(duì)OCL 問(wèn)題，并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)由不同性能和容量的冷機(jī)組成，并且不同系統(tǒng)中冷機(jī)數(shù)量也不同，導(dǎo)致該問(wèn)題中優(yōu)化變量維度、適應(yīng)度函數(shù)不確定。因此，研究一種適用范圍更廣、穩(wěn)定性更強(qiáng)、不需針對(duì)特定優(yōu)化問(wèn)題的并行式搜索算法十分重要。

COUCEIRO 等[13]提出分?jǐn)?shù)階達(dá)爾文粒子群優(yōu)化 (fractional order Darwinian particle swarm optimization,FODPSO)算法，該算法以一種并行式搜索方式尋優(yōu)，對(duì)計(jì)算問(wèn)題要求低且搜索效率較高；榮兵等[14?15]分別在該算法中利用Logistic 模型和粒子狀態(tài)信息動(dòng)態(tài)調(diào)整分?jǐn)?shù)階次，能顯著提高收斂精度和速度。近年來(lái)，F(xiàn)ODPSO 算法在其他領(lǐng)域也有著眾多應(yīng)用，例如紅外圖像分割和缺陷邊緣識(shí)別[16]、血管的邊緣檢測(cè)[17]和可持續(xù)綠色能源系統(tǒng)的控制[18]。綜上所述，F(xiàn)ODPSO算法對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題的求解有著顯著的效果，因此，本文應(yīng)用該算法解決OCL問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

中央空調(diào)系統(tǒng)采用的多冷機(jī)系統(tǒng)可以調(diào)整本身的負(fù)荷，使每臺(tái)冷機(jī)都運(yùn)行在最佳工況下。圖1所示為多冷機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，由圖1可見(jiàn)：多冷機(jī)系統(tǒng)由2臺(tái)或多臺(tái)冷機(jī)通過(guò)并聯(lián)或串聯(lián)管道連接到一個(gè)共同的分配系統(tǒng)[9]，這導(dǎo)致該系統(tǒng)具有操作靈活性較高、備用容量較大和中斷維護(hù)較少的特點(diǎn)。該系統(tǒng)可以通過(guò)調(diào)整本身的運(yùn)行工況滿(mǎn)足末端的基本負(fù)荷需求，使其以最佳效率運(yùn)行。

圖1 多冷機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Systematic diagram of multiple-chiller plant

每臺(tái)冷機(jī)都有不同的額定容量和能耗特征，供水和回水可以通過(guò)旁通管調(diào)節(jié)，使水流量可根據(jù)系統(tǒng)的末端負(fù)荷需求進(jìn)行變化。通過(guò)控制供回水的水流量，系統(tǒng)的末端負(fù)荷需求可以分配到每1臺(tái)冷機(jī)，滿(mǎn)足整個(gè)系統(tǒng)的負(fù)荷需求。多冷機(jī)系統(tǒng)在中央空調(diào)方面具有較穩(wěn)定的控制效果。

典型OCL 問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)通常表示為整個(gè)冷機(jī)系統(tǒng)的功率消耗，具體而言，是在滿(mǎn)足末端負(fù)荷需求的前提下，使各冷機(jī)的能耗總和達(dá)到最小，獲得最佳系統(tǒng)性能，達(dá)到節(jié)能減排的目的。在一定的濕球溫度下，離心式冷水機(jī)組的功率是其部分負(fù)荷率的凸函數(shù)[2]。本文將離心式冷水機(jī)組的功耗表示為

式中：Pc,i為第i臺(tái)冷機(jī)功率，ai，bi，ci和di為第i臺(tái)冷機(jī)本身的性能參數(shù)；Ri為第i臺(tái)冷機(jī)的部分負(fù)荷率。

并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)負(fù)荷分配問(wèn)題是在給定目標(biāo)函數(shù)最小的情況下，尋找不超過(guò)運(yùn)行限制條件的冷水機(jī)組部分負(fù)荷率，以最低運(yùn)行功率滿(mǎn)足中央空調(diào)末端負(fù)荷需求，如下式所示：

式中：P為并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)的總功率；Np為并聯(lián)冷機(jī)臺(tái)數(shù)?？紤]到冷水機(jī)組的性能和制造廠商的建議，每臺(tái)冷機(jī)的部分負(fù)荷率R應(yīng)不小于0.3。

因此，并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)式如下：

式中：為第i臺(tái)冷水機(jī)組的額定制冷量；Qneed為系統(tǒng)末端冷卻負(fù)荷需求。

2 改進(jìn)分?jǐn)?shù)階達(dá)爾文粒子群優(yōu)化算法

PSO 算法是用于優(yōu)化問(wèn)題最著名的生物啟發(fā)算法之一，是受鳥(niǎo)群在二維空間覓食啟發(fā)得來(lái)的[6]，但最大的問(wèn)題是容易陷入局部最優(yōu)，降低算法的求解精度。FODPSO 算法首先將PSO 算法擴(kuò)展到多個(gè)種群協(xié)同進(jìn)化，增強(qiáng)種群多樣性[19]；其次，將參數(shù)選擇任務(wù)復(fù)雜化，通過(guò)達(dá)爾文選擇機(jī)制動(dòng)態(tài)改變各種群的種群規(guī)模和搜索空間對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，包括刪除最差粒子、生成新粒子和新種群，這種動(dòng)態(tài)改變種群規(guī)?？梢院侠矸峙溆?jì)算資源[20]。

假設(shè)問(wèn)題維數(shù)為D，算法中每個(gè)粒子代表在搜索空間中的1 個(gè)可行解，速度vi,j(t)=[vi,1(t),vi,2(t),…,vi,D(t)]和位置xi,j(t)=[xi,1(t),xi,2(t),…,xi,D(t)]表示粒子i當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，適應(yīng)度反映粒子的優(yōu)劣。在粒子速度中引入分?jǐn)?shù)階微積分使粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)得更平滑和智能[14]，使某一時(shí)刻粒子的速度包含與當(dāng)前和過(guò)去時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)：

式中：α為分?jǐn)?shù)階系數(shù)。

雖然FODPSO 算法的收斂精度較PSO 算法有了較大提升，但粒子同樣只學(xué)習(xí)個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)的更新方式，依舊使算法陷入局部最優(yōu)值的概率較大。另一方面，F(xiàn)ODPSO 算法必須依據(jù)粒子整體評(píng)價(jià)性能，這種隨機(jī)性進(jìn)化無(wú)法保證粒子所有維同時(shí)趨向最優(yōu)[21]，影響算法的穩(wěn)定性和收斂速度。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階達(dá)爾文粒子群優(yōu)化(improved fractional order Darwinian particle swarm optimization，IFODPSO)算法。改進(jìn)算法的主要作用有：

1)采用蒙特卡洛方法結(jié)合基本算數(shù)運(yùn)算符生成初始種群，可以在搜索前期加快粒子逼近較好的搜索區(qū)域，提高前期收斂速度；

2)引入多重優(yōu)化改進(jìn)粒子性能的評(píng)判方式，對(duì)所有粒子各維的值逐維更新并比對(duì)適應(yīng)度，提高算法穩(wěn)定性并加快收斂進(jìn)程；

3)在此基礎(chǔ)上，提出在粒子位置更新時(shí)通過(guò)自適應(yīng)多策略行為使并行種群的所有粒子依適應(yīng)度自適應(yīng)選擇更新方式，從而更好地平衡全局勘探和局部開(kāi)發(fā)能力，最終提高算法的搜索精度。

該算法求解OCL 問(wèn)題時(shí)，待優(yōu)化目標(biāo)為并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)總功率最小，待優(yōu)化變量為各冷機(jī)的部分負(fù)荷率(R)，末端負(fù)荷需求作為約束條件。針對(duì)并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配問(wèn)題，其求解過(guò)程的具體步驟如下。

2.1 初始化

粒子的初始位置通常是隨機(jī)的，理想情況下與全局最優(yōu)解無(wú)關(guān)。但針對(duì)不同的優(yōu)化問(wèn)題，算法的收斂精度和速度對(duì)其初始值有不同程度的依賴(lài)性[22]。當(dāng)初始值偶然接近全局最優(yōu)解時(shí)，可以減少搜索量，快速逼近全局最優(yōu)解。

蒙特卡洛是一種依賴(lài)重復(fù)隨機(jī)抽樣獲取數(shù)值結(jié)果的方法。重復(fù)模擬的次數(shù)越多，數(shù)值結(jié)果越逼近問(wèn)題的解，同時(shí)，問(wèn)題的維數(shù)對(duì)蒙特卡洛的計(jì)算量不造成影響。因此，初始化時(shí)，利用蒙特卡洛方法可以快速找到全局最優(yōu)解的近似解X=[X1,X2,…,XD]，為后續(xù)尋優(yōu)提供一個(gè)更精確的搜索空間。

結(jié)合基本算數(shù)運(yùn)算符即四則運(yùn)算所使用的運(yùn)算符來(lái)生成初始種群：除法和乘法運(yùn)算符分別提供長(zhǎng)距離和短距離搜索，加法和減法運(yùn)算符提供中等距離搜索[19]。用式(5)定義初始化粒子：

式中：N0為各并行種群的初始種群規(guī)模；φ為隨機(jī)數(shù)，φ∈[0,1]；Xj為近似最優(yōu)解對(duì)應(yīng)維的值；xi,j為粒子初始位置，表示第i個(gè)粒子在j維搜索空間的分量。

OCL 問(wèn)題中部分負(fù)荷率是連續(xù)變化的，設(shè)定由并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)的部分負(fù)荷率序列組成的向量表示每個(gè)粒子的位置，即xi,j=Rj，因此，每一個(gè)粒子都代表OCL 問(wèn)題的1 個(gè)可行解。同時(shí)必須滿(mǎn)足冷機(jī)部分負(fù)荷率的預(yù)定義范圍，

通過(guò)基本算術(shù)運(yùn)算符建立近似最優(yōu)解和隨機(jī)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，可以較全面地將粒子生成在距近似解較近、較遠(yuǎn)和中等距離的區(qū)域，同時(shí)，式(5)保證所有粒子的初始化位置集中在近似最優(yōu)解周?chē)?。圖2所示為改進(jìn)前后種群初始化位置示意圖。這種直接將粒子生成在最優(yōu)解附近的初始化方式可以減少搜索可行域，提高粒子前期的搜索效率。

圖2 改進(jìn)前后種群初始化位置示意圖Fig.2 Schematic diagram of population initialization position before and after improvement

粒子過(guò)大的初始速度容易使粒子超出搜索空間的邊界，影響算法收斂速度。本文將粒子速度初始化為0，如式(7)所示，其中vi,j(0)為粒子初始速度：

為了初始化各并行種群中粒子的個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)并量化每個(gè)粒子的價(jià)值，將粒子適應(yīng)度Fi表示為

其中：Pi為粒子i對(duì)應(yīng)的冷水機(jī)組總功率。

2.2 多重優(yōu)化

FODPSO 算法在求解OCL 問(wèn)題時(shí)使所有冷機(jī)對(duì)應(yīng)的部分負(fù)荷率序列同時(shí)計(jì)算和更新，而這會(huì)導(dǎo)致整體較差粒子的某些維可能比整體較好粒子的對(duì)應(yīng)維更好，卻不能體現(xiàn)在個(gè)體最優(yōu)中用于更新[21]。因此，搜索出各冷機(jī)的最優(yōu)部分負(fù)荷率十分困難，同時(shí)會(huì)使各維變量相互影響進(jìn)而出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，影響算法穩(wěn)定性[23]。

本文將1次迭代過(guò)程分割為更小的間隔，每個(gè)間隔只更新一部分負(fù)荷率序列，依次完成所有部分負(fù)荷率序列的更新。

1)從R1開(kāi)始更新，保持所有粒子中除R1外的其余R對(duì)應(yīng)維的值不變，對(duì)與R1對(duì)應(yīng)維的值、個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)進(jìn)行更新；

2)只對(duì)R2對(duì)應(yīng)維的值進(jìn)行更新并更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)；

3)依次更新所有R對(duì)應(yīng)維的值，依達(dá)爾文選擇機(jī)制進(jìn)化種群，即一次迭代過(guò)程結(jié)束，進(jìn)入下一次迭代，直至達(dá)到終止迭代的條件為止。

多重優(yōu)化改進(jìn)粒子優(yōu)劣的評(píng)判方式：更新Rj+1時(shí)使用的個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)相較于更新Rj時(shí)擁有更好的價(jià)值，保證粒子在迭代過(guò)程中具有更好的價(jià)值。同時(shí)，每臺(tái)冷機(jī)的部分負(fù)荷率序列單獨(dú)更新消除了變量之間的相互影響，提高了算法的穩(wěn)定性。

2.3 自適應(yīng)多策略行為

粒子的速度和位置更新是本算法的核心內(nèi)容，但傳統(tǒng)僅通過(guò)學(xué)習(xí)其個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)來(lái)更新，這會(huì)造成算法全局勘探和局部開(kāi)發(fā)能力不平衡，使陷入局部最優(yōu)的概率增大。為了解決該問(wèn)題，本文在粒子位置更新時(shí)引入自適應(yīng)多策略行為：將各并行種群中的粒子依適應(yīng)度分為精英粒子和次等粒子，不同類(lèi)型的粒子自適應(yīng)地選擇各自的更新方式，分別用于局部開(kāi)發(fā)和全局勘探。

精英粒子適應(yīng)性較好，其主要任務(wù)是通過(guò)局部開(kāi)發(fā)提高搜索精度，定義其學(xué)習(xí)樣本集由各并行種群的所有精英粒子組成；次等粒子適應(yīng)性較差，其主要任務(wù)是通過(guò)全局勘探保持種群多樣性，定義其學(xué)習(xí)樣本集由各并行種群的所有粒子組成。圖3所示為自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略。由圖3可見(jiàn)：各粒子依據(jù)其適應(yīng)度自適應(yīng)選擇更新方式更新自身位置，同時(shí)，達(dá)爾文選擇機(jī)制使各并行種群在更新過(guò)程中可以通過(guò)刪除最差粒子、生成新粒子和生成新種群，動(dòng)態(tài)改變種群規(guī)模和搜索空間。

圖3 自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略Fig.3 Adaptive learning strategies

2.3.1 維度學(xué)習(xí)

通過(guò)粒子的個(gè)體最優(yōu)向全局最優(yōu)學(xué)習(xí)，維度學(xué)習(xí)重新構(gòu)造個(gè)體最優(yōu)，可以將全局最優(yōu)中有價(jià)值的信息傳遞給個(gè)體最優(yōu)[24]。本文采用基于多重優(yōu)化的維度學(xué)習(xí)更新精英粒子，假設(shè)以5臺(tái)并聯(lián)冷機(jī)總能耗最低為優(yōu)化目標(biāo)，如圖4所示。其中，是精英粒子i的個(gè)體最優(yōu)；是精英粒子學(xué)習(xí)樣本集中的全局最優(yōu)，兩者各維度的值分別用于對(duì)應(yīng)冷機(jī)部分負(fù)荷率序列的更新，多重優(yōu)化導(dǎo)致Rj更新完畢后更新，xg用于Rj+1的更新。同時(shí)，設(shè)置1 個(gè)測(cè)試向量xt，具體過(guò)程如下。

圖4 維度學(xué)習(xí)更新精英粒子iFig.4 Dimensional learning updates elite particle i

step 1：首先令xt=，對(duì)于R1，使則適應(yīng)度因此，不更新，比較各精英粒子適應(yīng)度并更新xg。

step 2：令xt=，對(duì)于R2，使因此，更新更新xg；

step 3：令xt=，對(duì)于R3，使F(xt)

step 4：令xt=，對(duì)于R4，使F(xt)>F()，因此，不更新，更新xg；

step 5：令xt=，對(duì)于R5，使F(xt)

精英粒子i更新Rj時(shí)公式如下：

式中：ω為慣性權(quán)重；學(xué)習(xí)因子c1和c2為非負(fù)常數(shù)；r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。維度學(xué)習(xí)中所有精英粒子都從全局最優(yōu)中學(xué)習(xí)來(lái)完成位置的更新，這種以全局最優(yōu)為中心的信息交流方式使其具有強(qiáng)大的局部開(kāi)發(fā)能力[24]，同時(shí)，多重優(yōu)化保證了每個(gè)精英粒子在迭代過(guò)程中具有更好的價(jià)值。

2.3.2 遺傳學(xué)習(xí)

KAO等[25]證明GA由于遺傳算子在進(jìn)行交叉和變異時(shí)的相對(duì)無(wú)方向性，該算法的局部開(kāi)發(fā)能力較差但具有較強(qiáng)的全局勘探能力。因此，將次等粒子看作遺傳算子，采用基于多重優(yōu)化的遺傳學(xué)習(xí)來(lái)更新次等粒子，提高算法的全局勘探能力。具體步驟如下。

1)交叉。更新Rj時(shí)，首先將次等粒子i的個(gè)體最優(yōu)和次等粒子學(xué)習(xí)樣本集中的全局最優(yōu)xg對(duì)應(yīng)維的值進(jìn)行交叉，產(chǎn)生后代oi=[oi,1,oi,2,…,oi,D]。

式中：粒子m為次等粒子學(xué)習(xí)樣本集中的任一粒子，隨機(jī)數(shù)ri,j∈[0,1]。

2)變異。隨后后代oi,j以概率pm發(fā)生變異，各維都會(huì)生成1個(gè)隨機(jī)數(shù)rj∈[0,1]。

式中：lj和uj為Rj預(yù)定義范圍的邊界。

3)選擇。經(jīng)過(guò)交叉和變異產(chǎn)生的后代oi與次等粒子i當(dāng)前的學(xué)習(xí)樣本即個(gè)體最優(yōu)的適應(yīng)度進(jìn)行比較，得到次等粒子i最終的學(xué)習(xí)樣本ei,j：

采用文獻(xiàn)[27]提出的粒子速度更新方式，次等粒子學(xué)習(xí)樣本集中所有粒子的個(gè)體最優(yōu)都可用于更新粒子速度，該樣本集的設(shè)置也有利于加快次等粒子向所有并行種群中的優(yōu)秀個(gè)體學(xué)習(xí)，保留了種群的多樣性。次等粒子i更新Rj時(shí)公式如下：

遺傳學(xué)習(xí)應(yīng)用遺傳算子，通過(guò)交叉、變異和選擇重新構(gòu)造學(xué)習(xí)樣本以更新次等粒子。交叉集成了個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)的信息，可以產(chǎn)生價(jià)值更高的后代；變異通過(guò)對(duì)后代信息的隨機(jī)性更改使次等粒子具有較強(qiáng)的全局勘探能力；確保次等粒子的學(xué)習(xí)樣本隨著迭代進(jìn)行擁有更好的價(jià)值。同樣地，多重優(yōu)化使更新Rj后更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)并使兩者在更新Rj+1時(shí)的交叉和選擇階段發(fā)揮作用，保證每個(gè)次等粒子在迭代過(guò)程中具有更好的價(jià)值。

在每一次迭代過(guò)程中，各并行種群中的粒子都會(huì)根據(jù)適應(yīng)度重新分類(lèi)，之后重新自適應(yīng)選擇更新方式來(lái)滿(mǎn)足不同的搜索目的。因此，不僅同一個(gè)種群中的不同粒子在1次迭代過(guò)程中有不同的更新方式，而且同一個(gè)粒子在不同的迭代過(guò)程中也有不同的更新方式。區(qū)別于魏博文等[26]提出的PSO-GA 算法，2 種算法松散耦合導(dǎo)致相互作用產(chǎn)生的效果難以確定，自適應(yīng)多策略行為動(dòng)態(tài)地為不同狀態(tài)的粒子提供不同的更新方式并使粒子分別專(zhuān)注于全局勘探和局部開(kāi)發(fā)，提高了算法性能[20]。

2.4 迭代選擇

采用搜索計(jì)數(shù)器Sc來(lái)記錄種群中粒子在迭代過(guò)程中未找到更好全局最優(yōu)的次數(shù)[18]。若Sc達(dá)到，則刪除該種群中適應(yīng)度最低的粒子；當(dāng)生成1 個(gè)新粒子時(shí)，Sc將被重置為0。為了保持算法搜索多樣性，每次刪除粒子后Sc隨被刪除粒子數(shù)目Nkill更新：

每個(gè)并行種群在沒(méi)有粒子被刪除的前提下，都可以采用式(15)生成1 個(gè)新種群，以此避免持續(xù)產(chǎn)生新種群，造成種群數(shù)量過(guò)快達(dá)到上限。

式中：隨機(jī)數(shù)f∈[0,1]；ng為該并行種群的種群規(guī)模。

FODPSO 算法的收斂性能直接取決于分?jǐn)?shù)階系數(shù)α[16]，更新公式如下：

其中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為設(shè)定的總迭代次數(shù)。

IFODPSO 算法在求解OCL 問(wèn)題時(shí)的流程如圖5所示。

圖5 IFODPSO算法流程圖Fig.5 Flow chart of IFODPSO algorithm

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

定義N和D為種群規(guī)模和問(wèn)題維數(shù)，PSO算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)[24]；FODPSO 算法中各并行種群的時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算如下。

1)初始化：O(N×D)；

2)粒子進(jìn)行速度與位置更新：O(2N×D)；

3)達(dá)爾文選擇機(jī)制進(jìn)化種群：2×O(1)+O(lgN)；

4)計(jì)算粒子適應(yīng)度：O(N×D)；

5)判斷迭代是否停止：O(1)。

IFODPSO 算法由于對(duì)初始化和粒子更新方式進(jìn)行了改進(jìn)，使算法時(shí)間復(fù)雜度有所增加：初始化過(guò)程時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)镺(NM)+O(N×D)(NM為蒙特卡洛模擬次數(shù))、粒子速度與位置更新時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)镺(N1×D)+2×O(N2×D)+O(1)+O(N×D)(N1和N2分別為精英粒子和次等粒子的個(gè)數(shù))，但與基本FODPSO 算法的時(shí)間復(fù)雜數(shù)在同一個(gè)數(shù)量級(jí)。這表明IFODPSO 算法的較高收斂精度、較快收斂速度和較好穩(wěn)定性是以犧牲較少計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)獲得的[16]。

3 測(cè)試案例與結(jié)果分析

3.1 測(cè)試案例

選取2 個(gè)典型的并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)驗(yàn)證IFODPSO算法性能。案例1的系統(tǒng)由3臺(tái)制冷量為2 813.6 kW的冷機(jī)組成；案例2 的系統(tǒng)則由4 臺(tái)制冷量4 501.8 kW 和2 臺(tái)4 396.3 kW 的冷機(jī)組成。2 個(gè)案例中的并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)均位于中國(guó)臺(tái)灣省新州科學(xué)園區(qū)的半導(dǎo)體工廠，并相繼被用于測(cè)試PSO[6]，DE[2]，DCSA[9]，EIWO[10]和IFA[1]等相關(guān)優(yōu)化算法求解OCL問(wèn)題的能力。2個(gè)案例中的并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)具有不同數(shù)量和制冷量的冷機(jī)就是為了測(cè)試IFODPSO 算法在不同并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)和不同工況下解決OCL 問(wèn)題的能力。系統(tǒng)中部分冷機(jī)的類(lèi)型和額定制冷量都是相同的，但由于各冷機(jī)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行后設(shè)計(jì)溫度和流量等均存在差異，導(dǎo)致各冷機(jī)的性能曲線并不相同，因此，各冷機(jī)的性能參數(shù)a，b，c和d也不相同。在2 個(gè)案例中，冷水機(jī)組的性能參數(shù)如表1所示。

表1 并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)中各設(shè)備性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of each device in parallel chiller system

3.2 結(jié)果分析

為了驗(yàn)證IFODPSO算法求解OCL問(wèn)題的可行性，對(duì)該算法與其他現(xiàn)有優(yōu)化算法在每個(gè)實(shí)驗(yàn)工況下分別進(jìn)行獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，并將經(jīng)過(guò)相同次數(shù)迭代后得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在案例1 的實(shí)驗(yàn)中，將IFODPSO 算法與GA[5]、PSO[6]和DCSA[9]算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。從表2可見(jiàn)：與GA 算法相比，IFODPSO 算法在不同負(fù)荷需求(占系統(tǒng)總額定制冷功率的比例)下相對(duì)節(jié)能比例可以達(dá)到0.20%～21.66%，特別是當(dāng)負(fù)荷需求低于60%時(shí)，節(jié)能效果更加明顯，達(dá)到了11.49%～21.66%；IFODPSO 算法與PSO 和DCSA 算法在各負(fù)荷需求下得到的計(jì)算結(jié)果相似。

表2 案例1中GA、PSO、IFA、IFODPSO算法結(jié)果對(duì)比Table 2 GA,PSO,IFA,IFODPSO algorithm results comparison in Case 1

在案例2的實(shí)驗(yàn)中，將IFODPSO算法與GA[5]、PSO[6]和DS[28]算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。從表3可見(jiàn)：與GA算法相比，IFODPSO算法在不同負(fù)荷需求下相對(duì)節(jié)能比例可以達(dá)到0.59%～4.51%，與PSO 算法相比節(jié)能0.02%～2.71%，特別是當(dāng)負(fù)荷需求低于75%時(shí)，所得的運(yùn)行策略相較于GA和PSO算法都具有更明顯的節(jié)能效果；而與DS算法相比，在負(fù)荷需求高于80%時(shí)，優(yōu)化效果相當(dāng)，負(fù)荷需求小于75%時(shí)，節(jié)能1.62%～2.24%，整體上具有較好節(jié)能效果。

表3 案例2中GA、PSO、DS、IFODPSO結(jié)果對(duì)比Table 3 GA,PSO,DS,IFODPSO algorithm results comparison in Case 2

同時(shí)，將IFODPSO 算法與FODPSO[13]、TSLPSO[24]算法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。從表4可見(jiàn)：案例1中，IFODPSO算法在各負(fù)荷需求下均有與FODPSO 和TSLPSO 算法相當(dāng)?shù)墓?jié)能效果；案例2 中，IFODPSO 算法在不同負(fù)荷需求下相對(duì)節(jié)能比例可以達(dá)到0.02%～4.85%。相比于案例1，案例2 中IFODPSO 算法的節(jié)能效果更加明顯。這是因?yàn)橄到y(tǒng)中冷機(jī)數(shù)量更多，對(duì)應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)更高，進(jìn)一步說(shuō)明IFODPSO 算法在解決高維優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有更大優(yōu)勢(shì)。值得注意的是，案例2中FODPSO算法的優(yōu)化結(jié)果明顯低于其他算法的優(yōu)化效果，主要原因是FODPSO 算法搜索到次優(yōu)解時(shí)直接放棄該區(qū)域的搜索而開(kāi)始搜索另一個(gè)新的區(qū)域，導(dǎo)致搜索效率低，使算法需要很長(zhǎng)的收斂時(shí)間，在規(guī)定迭代次數(shù)內(nèi)無(wú)法收斂，而改進(jìn)之后的IFODPSO算法使搜索能力得到提升。

表4 不同案例中FODPSO、TSLPSO、IFODPSO算法優(yōu)化總功率對(duì)比Table 4 Comparison of optimization total power of FODPSO,TSLPSO and IFODPSO in different cases

在2 個(gè)案例實(shí)驗(yàn)中，IFODPSO 算法的收斂曲線如圖6所示。由圖6可見(jiàn)：在算法執(zhí)行過(guò)程中，在迭代初期適應(yīng)度快速下降，之后較平穩(wěn)，說(shuō)明算法在滿(mǎn)足系統(tǒng)末端負(fù)荷需求的前提下向總功率最小的方向迭代更新。案例1 中，算法在20 次之前完成了迭代收斂過(guò)程；案例2 中，算法在30 次之前完成了迭代收斂過(guò)程，具有良好的收斂性。同時(shí)，收斂前期曲線較平緩，說(shuō)明改進(jìn)后的初始化使算法從全局最優(yōu)解附近開(kāi)始尋優(yōu)，加快了算法前期收斂速度。

圖6 不同案例下IFODPSO算法收斂曲線Fig.6 Convergence curves of IFODPSO algorithm under different cases

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，除了案例2中在負(fù)荷需求小于75%工況下IFODPSO 算法的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于TSLPSO外，其他情況下優(yōu)化結(jié)果均相同或相近。為了消除偶然性并進(jìn)一步檢驗(yàn)算法的穩(wěn)定性，IFODPSO 算法和TSLPSO 算法在各負(fù)荷需求下，迭代次數(shù)為100 次，獨(dú)立運(yùn)行30 次的計(jì)算結(jié)果的平均值、最小值、最大值和標(biāo)準(zhǔn)差如表5所示。

由表5可見(jiàn)：案例1 中2 種算法在各負(fù)荷需求下計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差均保持較低水平，尤其當(dāng)負(fù)荷需求低于60%時(shí)，IFODPSO 算法所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為0，TSLPSO 算法所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差相較于該算法在其他工況下更接近于0，說(shuō)明2 種算法對(duì)于案例1 等較低維度的優(yōu)化問(wèn)題均有較好穩(wěn)定性。案例2 中IFODPSO 算法所得結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差均不超過(guò)0.01，明顯比TSLPSO算法的低，特別是當(dāng)負(fù)荷需求分別為70%和75%時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為0；而TSLPSO算法在各負(fù)荷需求下所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差較大，特別是當(dāng)負(fù)荷需求為70%，80%，85%和90%時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差分別達(dá)到了28.353 1，2.777 1，5.239 1 和7.399 3，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于相同工況下IFODPSO 算法所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明對(duì)于案例2 等高維優(yōu)化問(wèn)題IFODPSO算法有更好穩(wěn)定性。另外，2個(gè)案例中不同負(fù)荷需求下IFODPSO 算法計(jì)算總功率的最小值、最大值和平均值均比TSLPSO 算法的低，同時(shí)驗(yàn)證了IFODPSO算法的優(yōu)越性。

表5 IFODPSO算法與TSLPSO算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of optimization results between TSLPSO and IFODPSO

另外，TSLPSO 算法和IFODPSO 算法在各負(fù)荷需求下30次計(jì)算結(jié)果與最優(yōu)值的相對(duì)誤差如圖7所示。從圖7可見(jiàn)：對(duì)于案例1，TSLPSO 算法相對(duì)誤差均低于0.015%，其中負(fù)荷需求為40%和50%工況下的相對(duì)誤差曲線較平坦；而IFODPSO算法相對(duì)誤差均低于0.004%，其中負(fù)荷需求為40%，50%和60%工況下的相對(duì)誤差曲線很平坦且接近于0。

圖7 不同案例下TSLPSO和IFODPSO算法相對(duì)誤差Fig.7 Relative error of TSLPSO and IFODPSO algorithm under different cases

對(duì)于案例2，TSLPSO 算法相對(duì)誤差均低于5%，其中負(fù)荷需求為75%工況下的相對(duì)誤差曲線較平坦；而IFODPSO算法相對(duì)誤差均低于6×10?5，其中負(fù)荷需求為70%和75%工況下的相對(duì)誤差曲線很平坦且接近于0。同時(shí)，IFODPSO算法在2個(gè)案例中的其余工況下相對(duì)誤差曲線雖有波動(dòng)，但相對(duì)于TSLPSO 算法來(lái)說(shuō)均保持很低水平。因此，從整體上看，IFODPSO算法得到的各工況下30次運(yùn)行結(jié)果的相對(duì)誤差曲線比TSLPSO 算法更平坦，相對(duì)誤差更小，驗(yàn)證了算法的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

1)針對(duì)并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配(OCL)問(wèn)題，建立了并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配優(yōu)化模型，提出了一種改進(jìn)分?jǐn)?shù)階達(dá)爾文粒子群優(yōu)化(IFODPSO)算法來(lái)求解OCL問(wèn)題。

2)算法中引入蒙特卡洛方法結(jié)合基本算數(shù)運(yùn)算符，減少搜索可行域；采用多重優(yōu)化策略削弱各維變量之間的相互影響，利于同時(shí)搜尋到每一維最優(yōu)解；在粒子進(jìn)行更新時(shí)采用自適應(yīng)多策略行為使每個(gè)粒子依據(jù)自身性能動(dòng)態(tài)選擇更新方式，平衡算法的全局勘探和局部開(kāi)發(fā)能力。

3)IFODPSO 算法在收斂精度、收斂速度和穩(wěn)定性方面的綜合性能相較于現(xiàn)有優(yōu)化算法顯著提升，改進(jìn)效果明顯，能使并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)中的各冷機(jī)按能耗更低的運(yùn)行策略運(yùn)行。

4)IFODPSO算法是一種有效解決OCL問(wèn)題的算法。在未來(lái)的研究工作中，將重點(diǎn)研究多目標(biāo)IFODPSO 算法及其在整個(gè)冷凍站系統(tǒng)中的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。