鄂青，吳鋒，雷霆

(1.武漢工程大學光電信息與能源工程學院，湖北武漢，430205；2.武漢工程大學熱科學與動力工程研究所，湖北武漢，430205)

有限時間熱力學(finite time thermodynamics，F(xiàn)TT)[1?5]作為經(jīng)典熱力學的延伸，主要研究非平衡系統(tǒng)中能量流和熵流的規(guī)律。在低溫系統(tǒng)和微納米能量轉換裝置的進一步研究和工程實踐中[6?7]，系統(tǒng)的量子特性變得越來越重要。在有限時間熱力學與量子熱力學的基礎上，人們建立并分析了不同種類的量子能量轉換系統(tǒng)，這代表了熱力學的一個重要的發(fā)展方向。

人們在研究量子卡諾[8]、奧托[9]、斯特林[10?11]、迪塞爾[12]和熱聲[13]循環(huán)時，將其工質視為一系列粒子的集合。這些粒子有的是囚禁于一個一維無限深勢阱的，也可以是被囚禁于諧振勢或者四次勢的，甚至可以是箱勢中的極端相對論粒子[8?17]。王建輝等[18?19]驗證了循環(huán)性能計算中粒子的能量譜簡化式，并據(jù)此得出了廣義量子奧托循環(huán)的效率及做功量的表達式。本文作者進一步對由2個等壓過程和2 個等熵過程組成的熱聲發(fā)動機微循環(huán)展開分析。

1 廣義量子熱聲發(fā)動機微循環(huán)模型的建立

1.1 系統(tǒng)的量子力學基礎

普朗克的量子理論給出了粒子的能量表達式為εn=n?ω。可將處于1個廣義一維勢場內的粒子所具有的能量譜公式簡化[18]為

式中：εn為粒子的能量；? 為約化普朗克數(shù)；ω=λL-θ，是為了滿足量子化的能量表達形式而構建出的頻率；L為勢阱寬度；λ為特定勢場所固有的常數(shù)；θ和σ為由勢阱種類決定的指數(shù)；n為量子數(shù)。λ，θ和σ在不同勢阱條件下的取值見表1。表1中，c和m分別為粒子的速度與質量；L1為系統(tǒng)處于所示循環(huán)的宏觀狀態(tài)1時粒子所處勢阱的寬度；ε1g為系統(tǒng)處于宏觀狀態(tài)1 時其中處于基態(tài)(n=1)的粒子能量。這里選用了4 種特殊勢：一維無限深勢阱、諧振勢阱、包含相對論粒子的一維勢阱以及四次勢阱，它們代表了廣義一維勢的典型情況。系統(tǒng)在宏觀狀態(tài)i的內能εi計算式為

表1 不同勢阱的參數(shù)比較Table 1 Comparisons of different potential parameters

式中：εin為處于狀態(tài)i時n級本征態(tài)的粒子的能量；pin為狀態(tài)i時處于n級本征態(tài)的粒子的概率。pin應滿足如下歸一化條件：

在經(jīng)典熱聲熱力過程中，外界通過振動膜片的運動對系統(tǒng)做功。與振動膜片的經(jīng)典運動類似，可以假設廣義一維勢阱的壁面在有限的速度下運動，這樣，當系統(tǒng)消耗外界功量或對外界輸出功量時，其施加于勢阱壁面的合力Fi就可以寫為

式中：Fin為處于狀態(tài)i時n級本征態(tài)的粒子施加于勢阱壁面的力；Li為處于狀態(tài)i時的勢阱寬度。

將式(1)代入式(4)可得

1.2 理想廣義量子熱聲發(fā)動機微循環(huán)

圖1所示為在理想情況下，熱聲回熱器間氣體微團與固體工質的熱作用微循環(huán)過程。其中，熱聲板疊兩端存在明顯的溫度梯度，板間距小于或等于氣體工質熱滲透深度的2倍[20]。設Tx為氣團在平衡位置處的平均溫度(下標x表示微團的當?shù)刈鴺?，Tm為溫度幅值，p0為系統(tǒng)靜壓，pm為壓力波動幅值，ξm為振蕩的位移幅值，dTx/dx為熱聲回熱器固體壁的縱向溫度梯度，T′i為氣團處于狀態(tài)i(i=1，3)時的溫度與平均溫度偏差的絕對值。當氣體微團處于最右端狀態(tài)1 時，氣團的溫度Tx+T′1低于與之相接觸的器壁溫度為Tx+ξm(dTx/dx)，因而有熱量Q1從固體壁面流向氣團使其溫度升高，變?yōu)門x+Tm，并因膨脹而對鄰近氣團做功。這一過程可近似為定壓吸熱過程，即圖1中的過程1—2。當氣團由于振蕩和熱弛豫快速從右端向左端運動時，此氣團無法與器壁進行熱交換，因而可近似認為該過程是絕熱的。當氣團到達左端時，溫度變?yōu)門x-T′3，壓力從右端的p0+pm變?yōu)閜0?pm，與氣團相接觸的當?shù)乇跍貫門x-ξm(dTx/dx)，氣團由于膨脹而對鄰近氣團做功，這就是圖1中的過程2—3。當氣團到達左端時，由于氣團溫度比當?shù)乇跍馗?，因而有熱量Q2流出氣團，使其溫度降低為Tx?Tm，并因被壓縮而消耗鄰近氣團的功。這一過程可近似為定壓放熱過程，即圖1中的過程3—4。圖1(b)中的過程4—1 為近似的絕熱壓縮過程，當氣團因振蕩而從左端向右端快速運動時，由于熱弛豫，它無法與器壁交換熱量。當?shù)竭_右端時，氣團的溫度變?yōu)門x+T′1，壓力變?yōu)閜0+pm，此時，氣團的狀態(tài)回復到初始狀態(tài)，完成了1個熱力學循環(huán)。根據(jù)循環(huán)命名傳統(tǒng)，可將熱聲發(fā)動機微循環(huán)簡稱為熱聲微循環(huán)。由熱力學第一定律可知，在循環(huán)的每個過程中，氣體微團作為閉口系統(tǒng)應滿足能量守恒方程Q=Δε+W(其中，Q和W分別為在任意過程中熱力系與外界交換的熱量與功，ε為系統(tǒng)內能)。當系統(tǒng)自外界吸熱時，Q>0；當向外界放熱時，Q<0；當系統(tǒng)消耗外功時，W<0；對外界做功時，W>0。

圖1 理想熱聲發(fā)動機微循環(huán)示意圖Fig.1 Schematic diagrams of ideal thermoacoustic engine micro-cycle

本文從量子力學的角度分析，可將上述氣體微團視為1種被限制在廣義一維勢阱中的粒子。為了簡單，在分析量子熱聲微循環(huán)的過程中，只考慮由出現(xiàn)概率較高的2個特征態(tài)粒子構成的二能級系統(tǒng)。1臺真正的發(fā)動機中的工作介質是由無數(shù)這樣的粒子組成的。從粒子的量子行為角度分析，每個微循環(huán)都可歸納為由2個量子絕熱過程和2個量子等壓過程環(huán)繞而成，由此得到本文的主要研究對象即理想廣義量子熱聲微循環(huán)(Ideal generalized quantum thermoacoustic micro-cycle,IGQTAC)，如圖2所示。

圖2 理想廣義量子熱聲微循環(huán)示意圖Fig.2 Schematic diagram of ideal generalized quantum thermoacoustic micro-cycle

在過程1—2中，系統(tǒng)與1個功源及1個高溫熱源(溫度為TH)相偶聯(lián)。隨勢阱壁外推，系統(tǒng)在相同作用力下膨脹，此時，它會從高溫熱源吸收大量熱量，同時向功源輸出體積功。通常勢阱壁的運動耗時比高溫熱源的量子弛豫時間(約?/E)長得多，即系統(tǒng)能夠保持與高溫熱源的充分熱接觸，以確保其始終處于熱平衡狀態(tài)。在系統(tǒng)中，處于激發(fā)態(tài)(n=2)的粒子的占有概率pie與處于基態(tài)(n=1)的粒子的占有概率pig=1?pie之間應滿足玻爾茲曼分布規(guī)律：

式中：k為玻爾茲曼常數(shù)；Ti為系統(tǒng)平衡溫度。

由式(6)可求得系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的概率為

由式(7)可得

聯(lián)立式(1)，(3)和(5)可得出在此過程中系統(tǒng)做功W12的計算式為

由于系統(tǒng)始終處于熱平衡狀態(tài)，所以，氣團從高溫熱源的吸收的熱量Q12為

式中：εi(i=1，2)為圖2所示狀態(tài)1 和狀態(tài)2 的系統(tǒng)內能。由式(1)～(3)可得

將式(9)和式(11)代入式(10)可得

在過程2—3 中，系統(tǒng)與外界沒有熱交換，系統(tǒng)對外界做的功將全部來自系統(tǒng)自身內能。在量子絕熱過程中，系統(tǒng)內部粒子不會發(fā)生能級躍遷，即各能級粒子的占有概率維持不變，即p2e=p3e。由式(1)～(3)和式(5)可得交換的功W23為

在過程3—4 中，系統(tǒng)在等作用力狀態(tài)下向低溫熱源(溫度為TL)釋放熱量。同時，氣團自身體積隨勢阱壁的內移被壓縮，從而消耗外界功。采用類似過程1—2 的分析方法可得此過程中交換的功W34和熱量Q34分別為：

在過程4—1 中，由系統(tǒng)絕熱壓縮有p4e=p1e，故消耗的功W41為

根據(jù)熱力學第一定律，在理想廣義量子熱聲微循環(huán)過程中，系統(tǒng)從高溫熱源吸收的熱量QH為

系統(tǒng)輸出凈功Wnet為

1.3 循環(huán)周期

為了計算完整的循環(huán)周期，可假設勢阱寬度變化的平均速度為vˉ，這里，勢阱寬度的平均變化速度很慢，因此其變化時間遠大于系統(tǒng)及熱源的弛豫時間(約為?/E)，從而使系統(tǒng)能夠始終處于熱平衡狀態(tài)下。則系統(tǒng)經(jīng)歷循環(huán)過程1—2—3—4—1所需的時間，即循環(huán)周期τ[21]為

1.4 循環(huán)性能參數(shù)

由式(1)～(3)可得1個二能級系統(tǒng)的內能ε為

由式(5)可知：1個二能級系統(tǒng)施加在勢阱壁上的力F可寫為

由F1=F2和F3=F4，可得

由式(7)可知當系統(tǒng)處在宏觀狀態(tài)2 和狀態(tài)4時，其內部激發(fā)態(tài)粒子的占有概率分別為：

式中：y′=L2/L4>1，為勢阱寬度比；T2和T4分別為狀態(tài)點2和狀態(tài)點4的系統(tǒng)溫度。

在理想情況下，可取狀態(tài)點4和狀態(tài)點2的溫度分別為冷、熱端溫度(圖2)，即

顯然，對于特定勢場，p4e=p1e，它們是由L4，Tx，Tm及λ決定的。對于p4e，σ以及θ已給定的情況，p2e=p3e僅由y′決定，因此，y′是1個重要的控制參數(shù)。

將式(22)和式(23)代入式(17)和式(18)可將循環(huán)從高溫熱源獲得的熱量及做功計算式改寫為：

即可得出廣義量子熱聲微循環(huán)的效率η為

將式(22)和式(23)代入式(19)得

循環(huán)的輸出功率為

對于任意特定的勢場，σ和θ都是常數(shù)。當冷熱端溫度T4和T2已知時，由式(25)可知，式(26)和式(28)所描述的效率與量綱一功率都僅僅是p4e和勢阱寬度比y′的函數(shù)。

2 廣義量子熱聲微循環(huán)性能分析

式(26)和式(28)指出了廣義量子熱聲微循環(huán)的性能與系統(tǒng)參數(shù)間的關系，在給定了一部分參數(shù)的情況下，可用圖線的形式對其性能與重要參數(shù)間的關系進行研究。

對于工作介質氣體微團被束縛于各種一維勢阱(如一維無限深勢阱、包含相對論粒子的一維勢阱、諧振勢阱、四次勢阱等)中的量子熱聲微循環(huán)，可統(tǒng)稱為一維量子熱聲微循環(huán)(1D quantum thermoacoustic cycle,1DQTAC)，即一維量子熱聲微循環(huán)包括工作于一維無限深勢阱的量子熱聲微循環(huán)(1D infinite potential quantum thermoacoustic cycle,1DIQTAC)、相對論粒子系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán) (relativistic particles quantum thermoacoustic cycle,RQTAC)、諧振系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán)(harmonic potential quantum thermoacoustic cycle,HQTAC)和四次勢系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán)(quartic potential quantum thermoacoustic cycle,QQTAC)。

由表1可見：一維無限深勢阱系統(tǒng)與諧振系統(tǒng)具有相同的θ和σ，但λ與基態(tài)能量本征值ε1g是有差別的，因此，當L4和T4給定時，這2種系統(tǒng)唯一的區(qū)別在于具有不同的p4e。又由式(7)可推得ln(1/p1D4e- 1)/ln(1/phar4e- 1)=π2/2，其中p1D4e(phar4e)為圖2中宏觀狀態(tài)4 時一維無限深勢阱系統(tǒng)(諧振系統(tǒng))中激發(fā)態(tài)粒子的占有概率。換言之，當一維無限深勢阱系統(tǒng)和諧振系統(tǒng)的p4e相同時，由式(26)和式(28)可知，這2類量子熱聲微循環(huán)的性能也相同。因此，下面的分析中合并考慮這2種情況。為了便于比較，在對各種不同勢場系統(tǒng)進行分析時，采用以下條件：Tx=600 K，Tm/Tx=0.1。

由式(26)可繪出圖3所示的粒子在特定量子力學勢場中運動時的熱聲微循環(huán)效率η與p4e及y′之間的關系曲面。由圖3可見：當p4e給定時，η會隨y′的增大呈單調遞增的變化；而當y′取值較大時，3種不同系統(tǒng)的η都會隨p4e的取值變化而出現(xiàn)較明顯的變化；但當y′不斷減小時，p4e對η的影響會變得非常微弱。y′在任意取值下，由?η/?p4e=0可求出ηmax和ηmin，此時對應的p4e分別為p4emaxη和p4eminη。由圖3可見：在相同參數(shù)條件下，相對論粒子系統(tǒng)中的ηmax和ηmin明顯比諧振系統(tǒng)的低；而諧振系統(tǒng)中的ηmax和ηmin比四次勢系統(tǒng)的略高，即粒子處于諧振勢中時，熱聲發(fā)動機效率較高。

圖3 η與p4e及y′的關系Fig.3 Relationship among η,p4e and y′

由式(28)可繪出圖4所示的氣體微團在特定勢場中運動時的P*與p4e及y′之間的關系曲面。由圖4可見：當p4e一定時，P*與y′呈類拋物線關系；而當y′一定時，P*與p4e亦呈類拋物線關系；并且P*?y′曲線及P*?p4e曲線對于3 種勢場條件都具有相似的形狀；此外，存在最大值P*max以及相應的參數(shù)值p4emaxP*和y′maxP*(可根據(jù)2 個極值條件方程?P*/?y′=0，?P*/?p4e=0 聯(lián)立得出)。在相同參數(shù)下，諧振系統(tǒng)的輸出功率遠比四次勢系統(tǒng)的高；而四次勢系統(tǒng)的輸出功率又比相對論粒子系統(tǒng)的略高，即粒子處于諧振勢中時熱聲發(fā)動機輸出功率較高。此外，由于熱聲發(fā)動機的目的是對外輸出有效功量，因此，若要保證P*≥0，則p4e的取值應滿足0.5≤p4e≤1。

圖4 P*與p4e及y′的關系Fig.4 Relationship among P*,p4e and y′

圖5所示為p4e取不同數(shù)值時P*與η之間的關系。由圖5可知：在3 種情況下，同一η所對應的P*會先隨p4e增加而增大，達到極限p4emaxP*后繼續(xù)增大p4e反而會使P*下降；在相同參數(shù)下，3種系統(tǒng)中循環(huán)的輸出功率最大值滿足P*Hmax>P*Qmax>P*Rmax，其中下標H，R及Q分別代表諧振系統(tǒng)、相對論粒子系統(tǒng)和四次勢系統(tǒng)；且3種系統(tǒng)中對應于P*max的η雖然很接近但依然滿足ηHmaxP*>ηQmaxP*>ηRmaxP*?？梢?，當粒子氣體微團在諧振勢中工作時，循環(huán)的輸出功率與循環(huán)效率均比其他2種勢場系統(tǒng)的高。

圖5 P*與η的關系Fig.5 Relationship between P*and η

3 結論

1)當p4e給定時，工作于一維無限深勢阱的量子熱聲微循環(huán)與工作于諧振勢的量子熱聲微循環(huán)的性能是相同的。而當L4和T4給定時，這2種系統(tǒng)中的p4e會因為λ不同而不同。

2)當p4e給定時，3種勢場條件下循環(huán)的η都會隨y′的增大呈單調遞增趨勢；而當y′給定時，3 種勢場條件下循環(huán)的η都會隨p4e的變化而分別達到最大值ηmax和最小值ηmin。通常，ηmax出現(xiàn)在p4e>0.5 的區(qū)間中，而ηmin出現(xiàn)在p4e<0.5的區(qū)間。在相同參數(shù)下，處于3種不同勢場的量子熱聲微循環(huán)滿足ηH>ηQ>ηR。

3)當p4e一定時，P*與y′呈類拋物線關系；而當y′一定時，P*與p4e亦呈類拋物線關系；P*?y′曲線及P*?p4e曲線對于3 種勢場條件下的微循環(huán)都具有相似的形狀。在相同參數(shù)下，處于3種不同勢場的量子熱聲微循環(huán)滿足P*H>P*Q>P*R，并且P*達最大值時對應的p4e大于0.5。輸出功率P*達最大值時循環(huán)效率η也接近最大值，此時熱機性能達最好。

4)在相同參數(shù)下，當工質粒子工作于一維無限深勢阱或諧振勢場時，循環(huán)的效率和輸出功率均比其他2種勢場系統(tǒng)的高。