作者簡介：韓福娥（1978—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)闃蛄汉透邔咏ㄖ緲?gòu)關(guān)系模型研究、多孔材料力學(xué)性能研究.

摘 要：學(xué)生學(xué)習(xí)圖乘法求解結(jié)構(gòu)的位移時(shí)存在著很多難點(diǎn)，尤其是在具體的計(jì)算中缺乏正確的分析與計(jì)算過程。本文通過具體實(shí)例分析了圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)的本質(zhì)，闡述了圖乘法根據(jù)疊加法原理求解結(jié)構(gòu)位移的詳細(xì)過程，解決了學(xué)生在求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)存在的困惑和容易出現(xiàn)的問題，從而使學(xué)生在使用圖乘法時(shí)能有更加清晰的認(rèn)識和更加準(zhǔn)確的計(jì)算。

關(guān)鍵詞? 圖乘法，求解，結(jié)構(gòu)位移，本質(zhì)

中圖分類號：O341 O342? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：There are many difficulties in solving the structural displacement by the graphic multiplication to the students， and especially there is no valid progress of the analysis and calculation in the actual calculations. In this paper， in order to clearly lean and accurately calculate for students， the essence of solving the structural displacement by the graphic multiplication is analyzed by the case-study，the whole process by the superposition method in solving the structural displacement by the graphic multiplication is stated ， and the difficulties and the questions for the students in solving the structural displacement are solved .

Key words：The graphic multiplication， Solve， The structural displacement ， The essence

Chinese library classification：O341 O342? ? ? ? ? ? ? ? ? Documentary identification code： A

近年來，很多學(xué)者提出了圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)的不同理念[1-5]。然而，在工科學(xué)生中開設(shè)的《工程力學(xué)A》《材料力學(xué)》《結(jié)構(gòu)力學(xué)》等課程，學(xué)生在用常規(guī)的圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)存在很大問題，常常會(huì)遇到不知道哪個(gè)彎矩圖求面積哪個(gè)彎矩圖找豎標(biāo)值及圖乘中如何分割面積進(jìn)行圖乘等難題。這些難題一般教材和參考文獻(xiàn)中都有大面積的求解和講解，然而圖乘法在應(yīng)用中的實(shí)質(zhì)并沒有很明確地分析導(dǎo)致學(xué)生在具體的計(jì)算中常常充滿了困惑并造成計(jì)算錯(cuò)誤。針對學(xué)生經(jīng)常在常規(guī)圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移時(shí)出現(xiàn)的問題，本文通過具體實(shí)例分析講解圖乘法的實(shí)質(zhì)，在一定程度上糾正學(xué)生在計(jì)算中導(dǎo)致的錯(cuò)誤。

1 圖乘法的本質(zhì)分析

1.1圖乘法的公式及使用條件

圖乘法的計(jì)算公式為，大家很熟悉其使用條件[6-9]：

（1）等剛度直桿;

（2）彎矩圖中至少有一幅彎矩圖為直線圖;

（3）豎標(biāo)yc應(yīng)取自彎矩圖為直線圖中;

（4）w和yc若取在桿軸線同側(cè)則乘積為正，反之為負(fù);

（5）當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時(shí)，拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的方式求解;當(dāng)抗彎剛度為分段常數(shù)時(shí)或者兩彎矩圖非一條直線時(shí)，應(yīng)分段圖乘再疊加。

1.2實(shí)例分析圖乘法的實(shí)質(zhì)

應(yīng)用中除了明確上面這些基本知識，常常忽視了圖乘法的本質(zhì)是疊加法，在具體的計(jì)算中本著疊加法的想法圖乘法就顯得思路清晰了很多。下文通過實(shí)例分析圖乘法的本質(zhì)：用圖乘法求解下列靜定剛架截面A的豎向位移和截面B的豎向位移。

1.2.1 求解截面A的豎向位移（圖1）

（1）方法一。

A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

方法一圖乘AC段時(shí)直接用圖4的拋物線彎矩圖和圖3的三角形彎矩圖進(jìn)行圖乘：拋物線計(jì)算面積，在三角形彎矩圖中找二次拋物線的形心位置對應(yīng)到三角形彎矩圖的豎標(biāo)值。圖乘CE段時(shí)用圖2的矩形彎矩圖和圖3的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖2的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖3的矩形彎矩圖中找圖2的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖3的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖2的矩形彎矩圖中找圖3的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

（2）方法二。

A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

方法二圖乘AC段時(shí)用疊加法將圖5中的彎曲圖分解為一個(gè)三角形ACD彎矩圖和拋物線（圖7）彎矩圖分別與圖6中三角形彎矩圖進(jìn)行圖乘：三角形ACD彎矩圖和拋物線（圖7）彎矩圖分別計(jì)算其面積，在圖6三角形彎矩圖中分別找三角形ACD彎矩圖和拋物線（圖7）彎矩圖的形心位置對應(yīng)到圖6三角形彎矩圖中的豎標(biāo)值。圖乘CE段時(shí)用圖5的矩形彎矩圖和圖6的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖5的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖6的矩形彎矩圖中找圖5的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖6的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖5的矩形彎矩圖中找圖6的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

方法二中圖乘AC段時(shí)實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了疊加法畫AC段彎矩圖的原理：先確定A、C兩個(gè)端截面的彎矩值，再虛線相連A、C兩端的彎矩值，最后在虛線上或虛線下疊加相應(yīng)的拋物線如圖7所示，則該拋物線與軸線所畫圖線即為最后的彎矩圖。因此，圖乘法實(shí)質(zhì)上應(yīng)用疊加法的想法先在圖5中三角形彎矩圖跟圖6彎矩圖圖乘接著減去圖5中拋物線彎矩圖跟圖6圖乘的結(jié)果。

1.2.2求解截面B的豎向位移（圖8）

B截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

因?yàn)樘摂M狀態(tài)下AB段沒有彎矩圖，因此圖乘法過程中圖乘AC段彎矩圖時(shí)只考慮BC段的彎矩圖圖乘結(jié)果：疊加法先確定出C、B兩截面的彎矩值接著在虛線下疊加相應(yīng)拋物線則拋物線與軸線BC所圍圖線為最后的彎矩圖。按照疊加法實(shí)質(zhì)，圖乘CB段時(shí)圖10a圖彎矩圖分解為圖10b和圖10c（實(shí)質(zhì)上是圖7二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線彎矩圖），故該段圖乘時(shí)將圖10b和圖10c的彎矩圖分別與圖9中CB段的彎矩圖進(jìn)行圖乘求代數(shù)和。圖乘CE段時(shí)用圖9的矩形彎矩圖和圖10的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖9的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖10的矩形彎矩圖中找圖9的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖10的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖9的矩形彎矩圖中找圖10的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

2 結(jié)論

本文闡釋的圖乘法實(shí)質(zhì)是應(yīng)用了疊加法的原理：先用兩端彎矩值確定的彎矩圖圖乘接著減去（或者加上）標(biāo)準(zhǔn)拋物線彎矩圖圖乘的結(jié)果。學(xué)生掌握了圖乘法的本質(zhì)就可以很準(zhǔn)確地用圖乘法進(jìn)行位移計(jì)算，從而避免很多錯(cuò)誤的發(fā)生。

參考文獻(xiàn)

[1]馮文剛.地震作用下框架預(yù)應(yīng)力錨桿加固黃土邊坡變形與穩(wěn)定性控制機(jī)理研究[D].蘭州：蘭州理工大學(xué)，2021。

[2]郭汝凱.運(yùn)營鐵路移動(dòng)防護(hù)棚架的穩(wěn)定性及其作用效應(yīng)研究[D].重慶：重慶交通大學(xué)，2021.

[3]闕仁波.矩-面積定理的擬圖乘法證明及局部圖乘法導(dǎo)出[J].福建建筑，2020（4）：33-37.

[4]趙盛琳.關(guān)于圖乘法的一種特殊情況[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2019（12）：141.

[5]黃亮，孫小寒，胡鑫鑫，等.一種基于圖乘的變剛度直桿位移計(jì)算折算技巧[J].力學(xué)與實(shí)踐，2019，41（6）：715-717.

[6]李家寶，洪范文，羅建輝.建筑力學(xué)第三分冊結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[7]洪范文.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2013.

[8]李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[9]龍馭球，包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995.