劉健智 程 婷

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081)

1 GeoGebra軟件與可視化教學(xué)

GeoGebra軟件可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)板書呈現(xiàn)一些無法板書或板書不清的復(fù)雜情境，甚至呈現(xiàn)3D效果，訓(xùn)練學(xué)生的空間思維能力；可以呈現(xiàn)動態(tài)變化的過程，構(gòu)建物理模型，加深學(xué)生對物理規(guī)律的理解；亦可以展示科學(xué)推理的過程，使得思維方法更加形象、具體……這些都有利于解決物理學(xué)科的抽象性問題，利用視覺思維提升學(xué)生的感性認(rèn)識，增強(qiáng)物理教學(xué)的可視化.[1-3]

2 在平拋運(yùn)動中的具體應(yīng)用

平拋運(yùn)動是學(xué)生在高中階段接觸的第一種曲線運(yùn)動，也是后面分析帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的基礎(chǔ)，在高中物理體系中具有重要地位.利用GeoGebra軟件輔助平拋運(yùn)動的可視化教學(xué)主要可體現(xiàn)在數(shù)據(jù)處理、規(guī)律推導(dǎo)以及臨界過程分析3個方面.

2.1 數(shù)據(jù)處理的可視化

2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)要求“通過實(shí)驗(yàn)，探究并認(rèn)識平拋運(yùn)動的規(guī)律”.[4]在2019新人教版高中物理教材的平拋運(yùn)動實(shí)驗(yàn)中，只涉及平拋運(yùn)動水平和豎直方向運(yùn)動規(guī)律的探究，未提及平拋運(yùn)動的軌跡特點(diǎn).[5]筆者利用GeoGebra軟件的擬合功能豐富數(shù)據(jù)處理，探究平拋運(yùn)動的軌跡特點(diǎn).

利用傳感器和計算機(jī)獲得平拋運(yùn)動的水平位移和豎直位移如表1所示.[5]打開GeoGebra軟件(筆者使用的版本為GeoGebra classic 5)，在表格區(qū)輸入數(shù)據(jù).其中，數(shù)據(jù)小數(shù)位或有效數(shù)字可通過精確度進(jìn)行設(shè)置.需要說明的是，如果最后一位或幾位小數(shù)為0，系統(tǒng)會自動舍去，無法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)格式的統(tǒng)一，但并不影響擬合結(jié)果.

表1 傳感器獲得的平拋運(yùn)動的軌跡數(shù)據(jù)

將數(shù)據(jù)創(chuàng)建為點(diǎn)列，粗略還原平拋運(yùn)動的實(shí)際軌跡.猜想其為拋物線，則應(yīng)滿足一元二次函數(shù)的解析方程.考慮拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，解析形式應(yīng)為f(x)=ax2.利用“fit”指令將點(diǎn)列擬合成f(x)同樣形式的函數(shù)g(x).由于g(x)只是軟件計算出的最匹配點(diǎn)列的函數(shù)，因此并不是所有的點(diǎn)都會滿足該函數(shù)方程.從圖1可以看出，點(diǎn)列與二次函數(shù)圖像基本吻合，說明猜想合理.

圖1 GeoGebra軟件y-x擬合函數(shù)圖像

為了進(jìn)一步提高結(jié)論的可信度，利用“rsquare”指令計算點(diǎn)列與g(x)的相關(guān)系數(shù)為r=0.986.說明在誤差允許的范圍內(nèi)，平拋運(yùn)動軌跡確實(shí)是一條拋物線.用同樣的方法也能計算點(diǎn)列與一次函數(shù)(r=0.925)、三次函數(shù)(r=0.866)甚至其他函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，但從數(shù)值上看只有二次函數(shù)的相關(guān)系數(shù)最高，從側(cè)面反映點(diǎn)列最符合二次函數(shù)關(guān)系，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

在此基礎(chǔ)上，利用GeoGebra的代數(shù)運(yùn)算功能，可直接計算初速度的大小.如果是利用頻閃照相的方式探究平拋運(yùn)動規(guī)律，保證每兩個點(diǎn)間隔時間相同，還能實(shí)現(xiàn)平拋運(yùn)動y-x到y(tǒng)-t、x-t圖像的轉(zhuǎn)化，滲透運(yùn)動的合成與分解思想；若再利用多項式擬合，就能直接從y-t、x-t圖像中分析出豎直和水平方向的運(yùn)動規(guī)律，十分方便.

2.2 規(guī)律推導(dǎo)的可視化

平拋運(yùn)動有兩條重要推論，一是速度偏向角的正切值為位移偏向角正切值的兩倍，二是速度延長線一定過水平位移的中點(diǎn).日常教學(xué)多是從代數(shù)關(guān)系入手講解，過于抽象枯燥.利用GeoGebra軟件，一是比黑板作圖更加規(guī)范；二是能直接顯示如水平位移中點(diǎn)、速度延長線與x軸交點(diǎn)的位置坐標(biāo)，更加直觀；三是能將規(guī)律動態(tài)化，證明這兩條規(guī)律在平拋運(yùn)動的任何位置都成立，趣味性更強(qiáng).下面是利用GeoGebra軟件進(jìn)行規(guī)律推導(dǎo)的具體操作.

圖2 平拋運(yùn)動的兩條推論

輸入函數(shù)“f(x)=ax2/(x≥0)”，表示平拋運(yùn)動軌跡.a值與初速度有關(guān)，決定拋物線的彎曲程度.構(gòu)建x、y軸，并在拋物線上描出一點(diǎn)(D點(diǎn))，作為研究對象.過該點(diǎn)表示速度、位移，并構(gòu)建速度矢量圖.利用工具欄做出水平位移中點(diǎn)及速度延長線與x軸的交點(diǎn).通過屬性設(shè)置，隱藏一些不必要的點(diǎn)或線，并對顏色、線型、線徑、是否顯示等進(jìn)行修改，突出主要信息.如圖2所示，移動D點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)水平位移的中點(diǎn)J與速度延長線與水平位移的交點(diǎn)K始終重合，位置坐標(biāo)也保持一致，說明速度延長線確實(shí)過水平位移的中點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究速度偏向角與位移偏向角正切值的大小關(guān)系.如圖2示，符號b表示速度偏向角與位移偏向角正切值的比值.移動D點(diǎn)，可見b值始終為2，說明速度偏向角正切值始終為位移偏向角正切值的兩倍.

2.3 臨界過程分析的可視化

平拋運(yùn)動的臨界值問題主要存在于斜面及乒乓球、羽毛球等球類運(yùn)動過網(wǎng)模型中，分析清楚整個運(yùn)動情境，找到運(yùn)動過程的臨界條件，往往就是解題關(guān)鍵.下面以2015年理綜全國卷Ⅰ第18題為例，談?wù)勅绾卫肎eoGebra軟件構(gòu)建物理模型進(jìn)行可視化分析，更好抓住解題關(guān)鍵.

圖3 乒乓球過網(wǎng)模型

一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺如圖3所示.水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h，發(fā)射機(jī)安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g，若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是

圖4 臨界條件1-不觸網(wǎng)情形

本題容易出錯的地方是對臨界條件2的判斷，學(xué)生容易誤認(rèn)為臨界條件是軌跡過J點(diǎn).[6]這是因?yàn)閷W(xué)生缺乏空間想象力，沒有意識到v0方向的任意性.利用GeoGebra的3D視圖使物理情境立體化、直觀化，能夠幫助學(xué)生順利突破這一誤區(qū).在此基礎(chǔ)上，還能改變題給條件，給出L1、L2、h的具體值，要求計算v0的范圍，或是探究L1、L2、h變化對v0和軌跡的影響.GeoGebra軟件能對學(xué)生的計算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，并直觀呈現(xiàn)某條件改變后的影響，強(qiáng)化學(xué)生對這一類問題的理解.

圖5 臨界條件2-不出界情形

3 在其他教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 用于抽象概念的形象化

相對于初中階段，高中階段的物理更加抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在很多的認(rèn)知困難.如果不能及時解決這些問題，就會導(dǎo)致學(xué)生越學(xué)越不懂，漸漸喪失學(xué)習(xí)興趣.利用GeoGebra軟件能將抽象概念的推導(dǎo)或者理解過程用圖像、動畫等方式呈現(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)生對抽象概念的形象認(rèn)知，幫助理解.

例如在電勢的教學(xué)中，兩個電荷周圍電勢的疊加是教學(xué)的難點(diǎn)，這時可利用GeoGebra軟件的3D繪圖區(qū)，通過輸入兩電荷周圍的電勢在空間滿足的方程，呈現(xiàn)電勢的分布情況，使學(xué)生獲得感官認(rèn)識.選擇不同的視圖可觀察不同方向上電勢的分布特征，而對滑動條進(jìn)行設(shè)置還能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的動態(tài)調(diào)節(jié)，顯示如等量同種、異種電荷的三維電勢分布，使電勢具象化.[7]由于z軸代表電勢，則“z=某一具體值”的平面與電勢分布面的交線即為等勢面，還能強(qiáng)化學(xué)生對于等勢面的理解.

3.2 用于復(fù)雜規(guī)律的直觀化

物理規(guī)律的教學(xué)應(yīng)著重體現(xiàn)規(guī)律背后的思維方法，而這往往較為抽象，且當(dāng)中可能包含復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，加大了規(guī)律教學(xué)的難度.這時可以考慮利用GeoGebra軟件將思維方法具體化、數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡單化，使物理規(guī)律變得更加直觀.如在勻變速直線運(yùn)動位移與時間關(guān)系的推導(dǎo)中，微元法和極限思想是教學(xué)的重點(diǎn)，可以利用GeoGebra軟件展示科學(xué)推理的過程，增強(qiáng)思維的可視化.

做出勻變速直線運(yùn)動的v-t圖像，選定研究區(qū)間并劃分為n段.已知勻速直線運(yùn)動中矩形面積可以表示位移.將每小段視為以該段初速度運(yùn)動的勻速直線運(yùn)動，利用“l(fā)owersum”指令計算下和值，可粗略表示研究區(qū)間的位移.由于每段的實(shí)際速度大于或等于該段的初速度，下和值相對于實(shí)際位移值應(yīng)偏小.將每一小段視為以該段末速度運(yùn)動的勻速直線運(yùn)動，利用“uppersum”指令計算上和值，同理該值相對實(shí)際值應(yīng)偏大.實(shí)際位移總介于上和值與下和值之間，采取二者逼近的方法計算實(shí)際位移.[8]

增大n值，下和值增大，上和值減小，均更接近實(shí)際位移.當(dāng)設(shè)置的n值較大，兩種矩形構(gòu)成的圖形幾乎就是梯形，則梯形面積可代表矩形面積，進(jìn)而代表位移.利用“integral”指令計算圖像面積進(jìn)行驗(yàn)證，可見圖像面積始終介于上、下和值之間，且n值較大時三者幾乎無差別，說明勻變速直線運(yùn)動的位移確實(shí)可以用梯形面積表示.

輸入的初速度、加速度及矩形數(shù)量均可通過滑動條進(jìn)行設(shè)置，表明該結(jié)論具有普遍性，適用于所有的勻變速直線運(yùn)動.而通過同樣的方法也能對非勻變速直線運(yùn)動進(jìn)行探究，彌補(bǔ)實(shí)際教學(xué)中不規(guī)則圖形面積暫時無法計算的遺憾，加深學(xué)生對v-t圖像面積含義的理解.

除此之外，像力的合成與分解，重力與萬有引力的關(guān)系，兩電荷周圍場強(qiáng)的疊加等復(fù)雜規(guī)律，也都能利用GeoGebra軟件輔助講解，簡化、直觀.

3.3 用于物理過程的動態(tài)化

物理過程往往具有動態(tài)性，這時僅通過文字、語言，亦或是圖片難以準(zhǔn)確描述其特征，而學(xué)生也需要一定的想象力才能理解并還原整個過程，具有一定難度.利用GeoGebra軟件的動態(tài)交互功能能對物理過程進(jìn)行動態(tài)模擬，增強(qiáng)情境的真實(shí)性.

例如雙星系統(tǒng)的運(yùn)行.雙星系統(tǒng)是指兩個相距較近，只在彼此引力作用下做圓周運(yùn)動的恒星組成的系統(tǒng).前面學(xué)生接觸到的都是圍繞中心天體的星體轉(zhuǎn)動，無法理解像雙星系統(tǒng)這樣圍繞連線上某一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動.利用GeoGebra制作動畫直觀呈現(xiàn)雙星系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制，便于學(xué)生突破這一難點(diǎn).

除此之外，像追及相遇問題、帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，甚至是復(fù)雜的交流電的產(chǎn)生，也都能利用GeoGebra軟件制作動態(tài)變化的效果，幫助理解.

3.4 用于實(shí)驗(yàn)探究的可視化

物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，物理中概念規(guī)律的建立或多或少都有一定的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ).利用GeoGebra軟件增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)探究的可視化，主要可以表現(xiàn)在以下2個方面.

一是上述提到的數(shù)據(jù)處理的可視化.除了探究平拋運(yùn)動的軌跡特點(diǎn)外，利用GeoGebra的多項式擬合功能也能直觀探究兩個不同物理量間的定量關(guān)系，如小車速度隨時間變化的規(guī)律、自由落體運(yùn)動的規(guī)律、彈簧彈力與形變量的關(guān)系等等.后續(xù)從擬合函數(shù)、圖像斜率等進(jìn)行分析，能深入理解物理規(guī)律，還能得到如加速度、勁度系數(shù)等物理量的值，讓學(xué)生體驗(yàn)完整的探究過程，并體會到信息技術(shù)的便利及高效.

二是進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)，主要針對實(shí)際教學(xué)不好開展或者是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不明顯、不直觀的實(shí)驗(yàn).例如波的疊加，利用GeoGebra軟件的繪圖功能動態(tài)呈現(xiàn)兩列波疊加之后的波形圖，甚至探究相關(guān)物理量的變化對疊加結(jié)果的影響；[9]又如光的干涉，利用GeoGebra軟件以波動的形式動態(tài)、立體地展示光的傳播及干涉過程，使整個場景更加鮮活,加深學(xué)生對于光的波動性的理解.[10]