時(shí)統(tǒng)業(yè)

（海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800）

1 引言與預(yù)備知識

在文獻(xiàn)[1]中，Ostrowski建立了下面的積分不等式：

其中f:［a,b］→R在［a,b］上連續(xù)，在 （a,b）上可微且f'有界，即

文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)f:［a,b］→R在 ［a,b］上滿足M-Lipschitz條件時(shí)（即對任意t1,t2∈［a,b］有則Ostrowski不等式也成立.

針對二階導(dǎo)數(shù)有界的二次可微函數(shù)，文獻(xiàn)[3]建立了下面的帶有擾動的Ostrowski型不等式：

其中f: ［a,b］→R二次可微，且f''在（a,b）上有界，即

有關(guān)二階可微函數(shù)的Ostrowski型不等式的內(nèi)容還可參見文獻(xiàn)[4-9].本文仿照文獻(xiàn)[10]引入?yún)?shù)求最值的方法，給出式(1)的加強(qiáng).我們需要的引理1從文獻(xiàn)[3]或[6]的定理證明過程可以得到.

引理1設(shè)f: ［a,b］→R在 （a,b）上二次可微，且f''在［a,b］上可積，則對任意x∈［a,b］有：

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f: ［a,b］→R在（a,b）上二次可微，且f''在［a,b］上可積，存在常數(shù)m和M，使得對于任意t∈ （a,b）都有m≤f''（t）≤M，則對任意x∈［a,b］有：

證明先考慮x=a的情形.由引理1有：

對任意常數(shù)ε∈ ［ 0,b-a］，當(dāng)t∈ ［a,b-ε］時(shí)有 （t-b）2-ε2≥ 0 ；當(dāng)t∈ ［b-ε,b］時(shí)有 （t-b）2-ε2≤0.利用式（3）有：

為求φ（ε）的最小值，求導(dǎo)得當(dāng)ε∈ ［ 0,ε1］時(shí)φ'（ε）≤0，當(dāng)ε∈［ε1,b-a］時(shí)φ'（ε） ≥ 0，故φ（ε）在ε=ε1時(shí)取得最小值.在式（4）中取ε=ε1，得：

即當(dāng)x=a時(shí)式（2）的右邊不等式成立.接下來考慮x∈（a,b］的情形.

對 任 意 常 數(shù)ε∈ ［ 0,x-a］，當(dāng)t∈ ［a,a+ε］時(shí) （t-a）2-ε2≤0 ； 當(dāng)t∈ ［a+ε,x］時(shí) （t-a）2-ε2≥ 0 ； 當(dāng)時(shí) （t-a）2-ε2≤0.利用引理 1和式（5）得：

為求φ（ε）的最小值，求導(dǎo)得

由式（5）得T∈ ［mq,Mq］，故ε2∈ ［ 0,x-a］，且φ（ε）在ε=ε2時(shí)取得最小值.在式（6）中取ε=ε2，證得：當(dāng)x∈（a,b］時(shí)式（2）的右邊不等式成立.當(dāng)m≤f''≤M時(shí)有-M≤（-f）″≤-m，對-f應(yīng)用已證明的結(jié)果，則式（2）的左邊不等式得證.

推論1設(shè)條件同定理1，則對任意x∈［a,b］有：

證明如果A1+B1≤I≤A2-B2(B1≥ 0,B2≥0)，則有A1+min ｛B1,B2｝≤I≤A2-m in ｛B1,B2｝，從而有利用這個事實(shí)，由定理1則推論得證.

推論2設(shè)條件同定理1，則有：

證明在推論1中分別取x=a和x=b得：

將式（9）和式（10）相加，并利用三角不等式，則式（8）得證.

注1當(dāng)時(shí)，式（8）的估計(jì)優(yōu)于經(jīng)典梯形不等式

推論3設(shè)f: ［a,b］→R在（a,b）上二次可微，且f''在［a,b］上可積，存在常數(shù)M，使得對于任意則對任意x∈［a,b］有：

注2注意到因此式（11）給出了式（1）的加強(qiáng).

推論4設(shè)f: ［a,b］→R在（a,b）上二次可微，且f''在［a,b］上可積，存在常數(shù)M，使得對于任意t∈ （a,b）都有則有：

證明在推論1中取則式（12）得證.

注3式（12）是經(jīng)典的中點(diǎn)不等式的加強(qiáng).

定理2設(shè)f: ［a,b］→R是可微函數(shù)，且f'滿足（m,M）-Lipschitz條件，即存在常數(shù)m和M，使得對于任意s,t∈ ［a,b］,s＜t，有m（t-s）≤f'（t）-f'（s）≤M（t-s），則有式（2）成立.

證明當(dāng)x=a時(shí)，對任意常數(shù)ε∈ ［ 0,b-a］，有：

當(dāng)x∈（a,b］時(shí)，對任意常數(shù)ε∈ ［ 0,x-a］，有：

接下來的證明類似于定理1，這里略去.

推論5設(shè)條件同定理2，則任意x∈［a,b］有式（7）成立.

推論6設(shè)f: ［a,b］→R是可微函數(shù)，且f'滿足M-Lipschitz條件，即存在常數(shù)M，使得對于任意s,t∈ ［a,b］,s＜t，有則對任意x∈［a,b］有式（11）成立.

推論7設(shè)f: ［a,b］→R是可微函數(shù)，且f'滿足M-Lipschitz條件，即存在常數(shù)M，使得對于任意s,t∈ ［a,b］,s＜t，有則式（8）和式（12）成立.