華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 孫健 鐘琳

2020年新高考引入了不良結構問題,此類問題引導學生的思維從知識的習得與記憶更多轉向問題的解決、策略的選擇,使學生從單一情境下的被動參與者轉變成主動投入復雜情境的問題解決者[1],考查了學生構建問題、分析問題、解決問題的能力,對學生思維的靈活性有了較高要求,是新時代下人才選拔體系的必然要求.面對此類問題,“波利亞解題理論”提供了有效的思維方式.鑒于此,筆者以2020年新高考全國卷第17 題為例,深入探討波利亞解題理論在不良結構問題中的具體應用.

一、預備知識

定義1 (結構不良問題)當問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)、算子都明確時為結構良好問題,與之相對的,若初始狀態(tài)、目標狀態(tài)至少有一個沒有明確界定而造成解決途徑、評價標準、標準答案不唯一的問題則是不良結構問題[2].

定義2 解三角形是指從三角形的已知元素求出三角形未知元素的過程[3].

二、原題呈現(xiàn)

三、試題剖析

(一)弄清問題

(二)擬定方案

擬定方案是在正確理解和表征題目后對已有知識遷移的過程,是探索解題思路的重要一環(huán),即在識別題目中的未知量、已知量和條件后對題目進行更深的理解,從而得到一些隱藏信息,然后把所有信息進行整合概括,從而形成知識的遷移,得到解決問題的方案.

(三)執(zhí)行方案

(四)回顧反思

1.你能校驗結果嗎? 針對此題,不同的選擇策略對應不同的解題過程以及不同的結果,檢驗結果是否合理只需驗證所得結果是否滿足全部已知條件、是否滿足構成三角形的要素(即兩邊之和大于第三邊).

2.你能否一眼看出哪個備選條件便于求解? 針對缺少初始狀態(tài)的不良結構問題,若想快速鎖定最佳的解答方案則需要對已知條件有一定的把控,這就要求在平常的學習中真正理解數(shù)學概念,了解相關定理公式結構,鍛煉邏輯思維、培養(yǎng)判斷意識,能夠將問題轉化為我們所熟知的數(shù)學問題,進行學習遷移,然后運用所學的知識方法進行求解.

3.遇到缺少初始狀態(tài)的不良結構問題,是先選擇還是先分析已有條件? 這兩種情況對應著不同的思維方式,若先分析已有的條件,則有利于之后的條件選擇,讓學生能夠選擇出更有利的備選條件從而使得自己構造的問題簡單易解,降低解題難度;若先進行選擇,便使得初始狀態(tài)、目標狀態(tài)明確清晰,根據(jù)波利亞解題理論更有利于讓學生回憶起相似題目從而進行知識遷移,同時也可能由于選擇不當而增加解題難度,浪費解題時間.不同的學生須根據(jù)實際情況進行選擇,無論哪種情況都需要學生對相關數(shù)學知識有準確的把控,能夠迅速鎖定最適合自己的解決方案.

4.你能不能進行推廣?