趙力杰,付博洋,梁子明,景銳平

(中國地質大學(武漢) 數學與物理學院，湖北 武漢 430074)

隨著科學技術的發(fā)展，科研和工程對重力加速度值的精度要求越來越高，精確測量重力加速度已經成為生活中必須面對的問題。重力加速度是地球物理研究中的一個基本矢量，也是對一般力學系統(tǒng)進行力學分析時需要考慮的一個重要參數。重力加速度的測定，對物理學、地球物理學、重力探礦、空間科學等都具有重要意義。國內外眾多團隊都致力于重力加速度更加精確地測定，目前用到的方法有彈簧秤和利用已知質量的鉤碼測量，滴水法測量，單擺測量，圓錐擺測量，斜槽法測量，打點計時器測量，U型管水測量，玻璃缸水測量，邁克耳孫干涉儀測量……這些方法都注重實驗原理的創(chuàng)新。在傳統(tǒng)的測量重力加速的實驗過程中，都沒有考慮到空氣阻力、滑輪的轉動慣量等對實驗結果的影響[1-3]。本實驗中，通過增加滑輪個數，提高了測量系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過增加系統(tǒng)運動控制系統(tǒng)，可以做到零初速度開始測量；因為引入了新的數據處理的方法來減少空氣阻力對實驗的影響，利用PASCO系統(tǒng)可以做到精確測量，軟件對數據的精確計算，軟件對圖像的精確擬合。同時我們在測量方法上也進行了改進，在自由落體測量傳統(tǒng)方法的基礎上引入了滑輪組和電磁鐵，減小了擺動，更好地使實驗裝置位于同一平面，從而減小實驗的系統(tǒng)誤差[4-6]。

1 實驗原理

1.1 改進型阿特伍德機測量原理

圖1是改進型阿特伍德機模型，在理想條件下，重力加速度與三個質量塊運動的加速度的關系如式(1)所示：

圖1 阿特伍德機的實驗原理圖

(M1+M3-M2)g=M1a1+M2a2+M3a3

(1)

通過對加速度a1、a2、a3的測量即可以實現對重力加速度的測量。

在傳統(tǒng)的阿特伍德機中，考慮的是理想情況，沒有考慮到空氣阻力對于實驗結果的影響，同時，滑輪的轉動慣量對實驗結果也會存在影響，使得測得實驗結果比真實值偏小。為能得到更加精確的實驗結果，我們對傳統(tǒng)的阿特伍德機在實驗裝置和實驗過程進行了改進。

1.2 對阿特伍德機的改進

考慮到傳統(tǒng)阿特伍德機測量重力加速的實驗中，誤差主要來源于空氣阻力以及滑輪轉動慣量的影響，對實驗原理做如下修正：

1.2.1 空氣阻力的修正

實驗中，由于物體與空氣產生相對運動，由于空氣黏滯力的作用，而使物體受到來自空氣的相對運動阻力，簡稱為空氣阻力，由空氣的流體力學可知：

F1為物體所受到的空氣阻力，C為空氣阻力系數，與迎風面積、光滑程度、整體形狀相關，ρ為空氣密度，v為相對運動速度，在實驗中，我們并不改變實驗裝置的形狀，只通過增添少量砝碼，由此，我們近似地認為C和ρ在實驗進行中是不變的，在無風環(huán)境中，v即為重物下落速度。

空氣阻力F1是關于速度v的函數，我們對f1在做v0處的泰勒展開。

省略高階項，得

(2)

這樣，在一個小的速度區(qū)間[v0,v]內，我們認為空氣阻力f1只與區(qū)間內得初末速度相關，可以近似為一個常數。

通過Pasco測量數據，可以得到系統(tǒng)的速度時間圖像，通過選取固定的v0和v，同時使兩者差值較小時，可以近似認為，在不同的實驗中，在這個小的速度區(qū)間[v0,v]中，空氣阻力為相同的常數。

1.2.2 轉動慣量的修正

當系統(tǒng)在加速運動時，對滑輪的作用力表現為摩擦力矩，是由滑輪的轉動慣量引起的，與系統(tǒng)加速度的大小相關。

忽略滑輪微小的形變，可以將滑輪視為理想的剛體，對于剛體有力矩為：

M=Iα

滑輪對應的角加速度為：

其中力矩與力的關系有：

(3)

1.2.3 數學處理

聯立(1)、(2)、(3)式，得到

在實驗中，令

M1=M3

∴a1=a3=a2=a

整理得到

(4)

在實驗過程中，我們只通過增加小砝碼，使加速度發(fā)生微小的變化。同時我們選取固定小區(qū)間的v0和v。

對于小M1，有：

(5)

將(5)式簡化為：

kA-b=B

(6)

其中：

A=M1+M3-M2+M1

為我們在實驗中通過改變砝碼獲得的與質量相關的物理量；

為空氣阻力及其他阻力的影響量，在數據的直線擬合中，作為一個不影響斜率的常量，因此可以減小空氣阻力對實驗結果的影響；

為實驗中重力作用于系統(tǒng)的加速表現效果，為了方便計算，將滑輪轉動時轉動慣量對于角加速度的影響等效為質量對于加速度的影響。由實驗中測得的加速度和系統(tǒng)質量計算所得；通過改變M1的質量，我們可以得到多組數據(A，B)，對數據擬合得到：

k=g

為實驗最終計算所得重力加速度的結果。

圖2 實驗裝置的基本結構圖

2 實驗裝置設計及介紹

整體結構方案設計示意圖如圖3所示，包含：24 V穩(wěn)壓直流電源與直流電磁鐵組成運動控制系統(tǒng)；支架、砝碼及滑輪組組成阿德伍德機；光電門、PASCO數據處理終端組成數據采集處理系統(tǒng)。

圖3 實驗裝置的實物圖

實驗裝置整體位于水平面上，兩個支架豎直放置，支架上固定著兩個水平的帶光電門的滑輪組。實驗裝置下方固定電磁鐵。其中，實驗裝置上方兩個滑輪間隔為一個滑輪的直徑長，第三個滑輪下方固定著軟磁物質，通過電磁鐵的吸力固定在電磁鐵上。通過調節(jié)電磁鐵和滑輪的位置，同時保證使三個滑輪位于同一個平面內，同時使圖中所以細線的方向豎直向下，保證受力方向與運動方向一直。在繩的兩端掛上砝碼，用以調節(jié)裝置在測量過程中的加速度。

電磁鐵的工作由直流穩(wěn)壓電源控制；電磁鐵工作電源斷開后，在重力的作用下，由于M2

3 實驗過程及結果分析

3.1 實驗步驟

正確連接好實驗裝置，打開直流電源，使用電磁鐵固定好實驗裝置，同時調節(jié)好垂直關系。

打開Pasco軟件，正確操作軟件界面，開始記錄數據，同時關閉直流電源。

增大M1的質量，重復1、2步的操作，記錄數據。

3.2 注意事項

注意調節(jié)使三個滑輪位于同一個平面內，并保證繩子的豎直，否則會引起滑輪的前后左右擺動，影響測量數值的影響。

對于數據的選擇，我們應該盡量選擇兩個滑輪加速度相等的數據，來保證中間的滑輪沒有發(fā)生轉動，否則會增大實驗誤差，對于不符合要求的數據，應該剔除重新測量。

3.3 數據處理

數據見表1。

表1 (A、a、B測量值)

圖4 實驗數據直線擬合

圖5 實驗數據擬合結果

最后得重力加速度：

g=9.79±0.08 m/s2

同樣，我們也計算了在不考慮轉動慣量和空氣阻力影響的實驗數據及其處理結果作為對比。

表2 AaB測量值

以及實驗數據的處理結果：

圖6 實驗數據直線擬合

圖7 實驗數據擬合結果

最后得重力加速度：

g=8.48±0.03 m/s2

3.4 【結果分析】

武漢的標準重力加速度為9.793 6 m/s2?？梢钥闯鲈诳紤]到轉動慣量和空氣阻力之后，實驗數據的精確度大大提高。

4 結 語

在基于阿特伍德機測量重力加速度的實驗中，我們引入了三滑輪系統(tǒng)，能夠更好地使實驗裝置位于同一平面內，還會使實驗更加靈活；采用了電磁鐵來控制實驗的進行，實現了實驗的半自動化，同時減少了人工手動操作的系統(tǒng)誤差；利用Pasco系統(tǒng)精確采集實驗數據，實現對加速度精確測量，同時有Pasco軟件對數據的高智能化處理，可以實現對實驗數據的最優(yōu)選擇；最后我們采用數學手段，通過分析和擬合盡可能減少了空氣阻力的影響，但仍不可避免。

我們應該認識到，重力加速的測量在不同地區(qū)的變化確實不劇烈，但對工程而言，實現對重力加速度的高精度測量卻有重要意義，阿特伍德機成功滿足了這一要求。本文通過對阿特伍德機的介紹與改進，旨在提供一種較精確測量重力加速度的力學測量方法。同樣也為設計與改進阿特伍德機提供參考。在當前物理實驗教學與科研中，越發(fā)注重研究的綜合性、設計性與創(chuàng)新性，希望通過對本文的研究，能對相關物理實驗教學與科研提供一定的借鑒與指導。