侯子豪，楊 紅，畢仁貴

(吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

0 引言

1991年，日本科學(xué)家Lijima發(fā)現(xiàn)了碳納米管[1]，碳納米管由此以一種新的重要碳形態(tài)進(jìn)入科學(xué)研究的殿堂.碳納米管因具備獨(dú)特而優(yōu)異的力學(xué)性能而獲得廣泛的應(yīng)用.Treacy等[2]、Poncharal等[3-4]采用實(shí)驗(yàn)方法對碳納米管的力學(xué)性能進(jìn)行研究，并得出碳納米管管徑尺寸越小則其楊氏模量越大的結(jié)論；Yakobso等[5-6]基于分子動力學(xué)，利用Brenner勢對碳納米管在軸向荷載作用下的屈曲行為進(jìn)行了模擬；Ru等[7-9]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，研究了單層和多層碳納米管受軸向荷載時(shí)的屈曲行為；Jiang等[10]研究了溫度對碳納米管力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)了碳納米管在低溫時(shí)熱收縮而高溫時(shí)熱膨脹的現(xiàn)象；Yan等[11]研究了溫度場中的碳納米管壓縮屈曲現(xiàn)象，分析了熱效應(yīng)對碳納米管屈曲的影響；Mohamed等[12]建立了能量等效模型，研究了尺度效應(yīng)、邊界條件等因素對碳納米管屈曲和后屈曲的影響.

納米材料的力學(xué)行為往往不可忽視范德華力的作用.Autumn等[13-16]研究了壁虎腳底剛毛的黏附力并提出其黏附力來自壁虎腳部剛毛與墻壁間的范德華力；Stark等[17]、Huber等[18]研究了相對濕度對壁虎剛毛表面黏附的影響，研究表明基底的濕潤性對剛毛的黏附力有顯著影響；Peng等[19-22]建立了仿生納米薄膜的剝離模型，研究了基底濕潤性對納米薄膜黏附力的影響，推導(dǎo)出相對濕度與基底水膜的關(guān)系式，研究表明基底水膜覆蓋率越大，薄膜的黏附力越大.大量實(shí)驗(yàn)表明[23-25]，高分子柱的黏附力是壁虎剛毛的3～15倍，而碳納米管達(dá)到了200倍.

本文考慮溫度、相對濕度和范德華力等因素，采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論，研究了碳納米管在濕熱條件下的屈曲與后屈曲行為，探討了溫度和相對濕度對碳納米管后屈曲路徑的影響.

1 基本方程

如圖1所示，將長度為L的碳納米管置于光滑無雜質(zhì)的剛性基底上建立梁模型，u(x)是碳納米管沿X軸方向的位移坐標(biāo)，w(x)是沿Z軸方向的位移坐標(biāo).

圖1 碳納米管力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of carbon nanotubes

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，在軸向壓力P和橫向荷載q(x)的作用下，碳納米管的線性平衡方程為

(1)

式(1)中:E為碳納米管的楊氏模量；I為碳納米管橫截面的慣性矩.

在濕熱環(huán)境下，水分子吸附在基底表面，在基底與碳納米管之間產(chǎn)生一層水膜.Huber等[18]通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)，當(dāng)濕度小于90%時(shí)，固體表面所吸附的水膜厚度相當(dāng)于一個(gè)單分子的厚度.碳納米管通過水膜與基底接觸時(shí)，水膜削弱了碳納米管與基底間的范德華力，但水膜與固體間的分離壓力彌補(bǔ)了削弱的范德華力，甚至使基底與碳納米管之間的黏附力變得更大，水膜覆蓋率Λ與相對濕度RH的關(guān)系可表示為[19-20]

Λ≈1.22RH.

(2)

碳納米管在基底上的黏附力來自基底與碳納米管之間的范德華力[26]，運(yùn)用Lennard-Jones勢可得相距為D的兩個(gè)碳原子間的范德華勢為

V(D)=4∈[(υ/D)12-(υ/D)6].

(3)

式(3)中：∈為勢壘深度；υ=0.34 nm為平衡距離參數(shù).將式(3)在基底體積域內(nèi)進(jìn)行積分，則碳納米管中距離基底為w的單位體積原子受到基底的范德華勢為

(4)

(5)

設(shè)碳納米管與基底之間的初始距離為g，將式(5)在碳納米管的橫截面A上進(jìn)行積分，則碳納米管的橫向荷載表示為

(6)

對式(6)進(jìn)行泰勒展開，只保留其線性項(xiàng)

(7)

q(x)=kw.

(8)

在溫度場中，溫度產(chǎn)生的熱應(yīng)變ε為

ε=α·ΔT.

(9)

式(9)中，碳納米管的熱膨脹系數(shù)α在低溫時(shí)取值為α=-1.6×10-6K-1，在高溫時(shí)為α=1.1×10-6K-1，ΔT為溫度的變化值[11,27].根據(jù)式(9)可得熱應(yīng)力σ為

σ=Eα·ΔT.

(10)

將式(10)在碳納米管橫截面上進(jìn)行積分，可得溫度變化產(chǎn)生的內(nèi)力NT為

(11)

碳納米管的內(nèi)力N為

N=NT+P.

(12)

忽略梁的橫向剪切變形和截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，梁的非線性近似平衡方程為

(13)

將式(8)、式(12)代入式(13)中，則碳納米管在濕熱條件下的非線性壓曲平衡方程為

(14)

引入無量綱參量如下

(15)

將式(15)代入式(14)中，則碳納米管在濕熱條件下的無量綱非線性壓曲平衡方程為

(16)

式(16)中,下標(biāo)，為坐標(biāo)變量求導(dǎo)，若碳納米管的兩邊為簡單支承，則其邊界條件為

W(0)=W(1)=0,W,ξξ(0)=W,ξξ(1)=0.

(17)

2 求解方法

根據(jù)式(7)、式(16)可知，當(dāng)初始間隙g<υ時(shí)，此時(shí)碳納米管受基底斥力大于引力，碳納米管受到基底作用的橫向荷載為q(x)=-|k|w，則濕熱條件下碳納米管的無量綱屈曲方程為

(18)

W(ξ)=A1cos(κ1ξ)+A2sin(κ1ξ)+A3cos(κ2ξ)+A4sin(κ2ξ).

(19)

(20)

式(20)的系數(shù)矩陣為

(21)

要使式(20)有非零解，必須使式(20)的系數(shù)矩陣[aij]的行列式為零，即|aij|=0，則

(22)

由式(22)可得

(23)

根據(jù)式(23)可得碳納米管的屈曲臨界載荷為

(24)

不考慮濕熱條件的影響，碳納米管的臨界屈曲荷載為

(25)

根據(jù)式(25)可知，不考慮濕熱條件下的無量綱屈曲臨界荷載與兩端簡支的彈性梁的無量綱Euler經(jīng)典解相同.根據(jù)式(17)可設(shè)碳納米管的分離變量形式為

W(ξ)=fsinnπξ.

(26)

式(26)中，f為碳納米管橫向位移的幅值，即碳納米管中間截面的橫向位移.將式(26)代入式(16)中并對其進(jìn)行伽遼金積分

(27)

對式(27)進(jìn)行化簡可得

(28)

當(dāng)初始間隙g>υ時(shí)，基底對碳納米管的引力大于斥力，則濕熱條件下碳納米管的無量綱屈曲平衡方程為

(29)

在g>υ時(shí)，通過以上方法對碳納米管的平衡方程進(jìn)行求解，可得碳納米管的臨界屈曲荷載為

(30)

碳納米管的無量綱軸向荷載的表達(dá)式為

(31)

3 數(shù)值算例

忽略高階屈曲模態(tài)的影響，令n=1，在數(shù)值計(jì)算中，碳納米管內(nèi)徑與外徑的取值分別為0.86 nm、1.19 nm,楊氏模量E=1 TPa，長度L=40 nm，徑長比為λ=0.018，Hamaker常數(shù)分別為Hdry=2.9×10-19J、Hwet=1.0×10-19J、Hsl=2.8×10-19J，碳納米管與基底之間的初始間隙取值為g=0.339 nm，此時(shí)，初始距離的取值小于平衡距離υ=0.34 nm，基底對碳納米管的范德華力以斥力為主.

圖2 碳納米管后屈曲路徑: (a) 范德華力對碳納米管后屈曲路徑的影響，(b) 相對濕度對碳納米管后屈曲路徑的影響Fig.2 The post buckling route of nanotubes:(a) The influence of van der waals force on post buckling route of nanotubes, (b) The influence of relative humidity on post buckling route of nanotubes

當(dāng)碳納米管與基底間的初始距離g>υ時(shí)，此時(shí)碳納米管所受基底的范德華力以引力為主，取初始距離的值g=2 nm.如圖3所示為相對濕度對碳納米管后屈曲路徑的影響，隨著相對濕度的增大，碳納米管的橫向位移變大，屈曲臨界荷載減小，碳納米管的穩(wěn)定性降低.

圖3 相對濕度對碳納米管后屈曲路徑的影響Fig.3 The influence of relative humidity on post buckling route of nanotubes

碳納米管在低溫時(shí)熱收縮而在高溫時(shí)熱膨脹，這導(dǎo)致了碳納米管在低溫與高溫兩種不同的溫度環(huán)境中，其后屈曲路徑呈現(xiàn)兩種不同的變化.圖4給出了低溫環(huán)境中碳納米管的后屈曲路徑.當(dāng)溫度升高時(shí)，碳納米管橫向位移變小，其后屈曲路徑變得平緩，屈曲臨界荷載變大.這說明，溫度升高等效于給碳納米管附加了一個(gè)軸向的拉力，使碳納米管不容易發(fā)生屈曲，從而有效地提高了碳納米管的穩(wěn)定性.

圖4 低溫環(huán)境中溫度對碳納米管后屈曲路徑的影響Fig.4 The influence of temperature on post buckling route of nanotubes in low temperature environment

圖5所示為碳納米管在高溫環(huán)境中的后屈曲路徑.在高溫環(huán)境中，溫度升高，碳納米管的后屈曲路徑大致相同，橫向位移變大，其屈曲臨界荷載變小.這說明，碳納米管在高溫時(shí)熱膨脹的現(xiàn)象等效于給碳納米管附加了一個(gè)軸向的壓力，使其屈曲臨界荷載變小，從而導(dǎo)致碳管的穩(wěn)定性降低.

圖5 高溫環(huán)境中溫度對碳納米管后屈曲路徑的影響Fig.5 The influence of temperature on post buckling route of nanotubes in high temperature environment

忽略濕熱條件對碳納米管后屈曲的影響.如圖6所示為不同徑長比碳納米管的后屈曲路徑，徑長比越大，碳納米管的后屈曲路徑越平緩，橫向位移越小；徑長比越小，碳納米管的后屈曲路徑變形越明顯.然而，在一階屈曲模態(tài)中，徑長比的大小并不影響碳納米管的屈曲臨界荷載的大小.

圖6 徑長比對碳納米管后屈曲路徑的影響Fig.6 The influence of aspect ratio on post buckling route of nanotubes

4 結(jié)論

本文基于連續(xù)力學(xué)和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論，研究了濕熱條件下碳納米管的屈曲與后屈曲行為，具體討論了溫度、相對濕度以及徑長比對碳納米管后屈曲的影響.在濕熱環(huán)境中，碳納米管與基底間的范德華力隨著相對濕度的增加而變大；當(dāng)基底與碳納米管之間的初始距離大于碳納米管的平衡距離，此時(shí)范德華力以引力為主，相對濕度的增加使碳納米管橫向位移增大，屈曲臨界載荷變小，碳納米管的穩(wěn)定性降低；當(dāng)基底與碳納米管之間的初始距離小于碳納米管的平衡距離，此時(shí)范德華力以斥力為主，其橫向位移減小，臨界屈曲荷載變大，穩(wěn)定性提升；不同的溫度環(huán)境對碳納米管后屈曲路徑的影響不同，在高溫環(huán)境中，溫度升高，碳納米管橫向位移變大，屈曲臨界荷載變小，而在低溫環(huán)境中，溫度升高，碳納米管橫向位移變小，屈曲臨界荷載變大；徑長比對于后屈曲路徑的影響顯著，碳納米管的后屈曲路徑隨著徑長比增大而變得平緩.