肖亞茹,邵戰(zhàn)濤，王明明，琚立穎

(1.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210；2.住重中駿(廈門)建機(jī)有限公司，福建 廈門 361012)

鏈輪之所以能夠帶動鏈條運(yùn)動主要依靠動力設(shè)備把扭矩傳輸給鏈輪，鏈輪帶動鏈條旋轉(zhuǎn)。鏈條主要包括套筒、滾子、銷軸和內(nèi)外鏈板等四部分，為了保證鏈傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行滾子與套筒之間會留有間隙。由于間隙的存在，使得面面接觸變?yōu)榫€接觸或者點接觸，系統(tǒng)載荷傳遞受到影響，加劇了滾子和套筒的磨損和破壞。特別在環(huán)境惡劣、載荷復(fù)雜的工作環(huán)境下，理想模型在間隙鉸的存在的情況下不再適用，使系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的非線性特性。間隙不僅造成了系統(tǒng)的理想運(yùn)動和實際運(yùn)動之間的偏差，而且使鉸接處或零件間不斷的發(fā)生碰撞和沖擊加劇了系統(tǒng)的磨損和失效。

國內(nèi)外有部分學(xué)者對含間隙的鏈傳動系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行了分析。2010年，Lixin X U對建立間隙的鏈傳動系統(tǒng)的簡化模型進(jìn)行分析，建立了基于牛頓定律的系統(tǒng)的運(yùn)動方程。應(yīng)用龍格-庫塔法求解非線性微分方程[1]。2015年，Pereira C 考慮了滾子與襯套之間的間隙，建立了整個的鏈傳動系統(tǒng)仿真模型。對恢復(fù)系數(shù)、摩擦系數(shù)和鏈條預(yù)緊的不同組合，得到鏈傳動的動態(tài)響應(yīng)[2]。2009年，吉林大學(xué)的馮增銘等人提出了套筒與和銷軸之間存在間隙的問題，在RecurDyn建立了含有間隙的鏈系統(tǒng)仿真模型，對鏈輪和鏈條的接觸動態(tài)特性加以分析，獲得了鏈輪、銷軸和鏈板的接觸力[3]。

然而通過以上方法對含間隙的鏈傳動系統(tǒng)進(jìn)行分析有一定的局限性，沒有考慮在接觸碰撞過程的能量損失。用Lankarani—Nikravesh連續(xù)接觸力模型計算法向接觸力，改進(jìn)的庫倫摩擦模型計算切向摩擦力，應(yīng)用到拉格朗日方程，用龍格—庫塔法進(jìn)行求解，得出不同間隙下鏈傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性。

1鏈節(jié)鉸鏈間隙模型

1.1 接觸碰撞力模型

間隙系統(tǒng)的典型現(xiàn)象是接觸沖擊，因此接觸力模型的選擇對分析間隙對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，使結(jié)果更接近實際是非常重要的。先前學(xué)者們使用Hertz接觸力模型[4]，但是該模型忽略了接觸碰撞過程耗散掉的能量，因而不能準(zhǔn)確的反映接觸碰撞造成的能量損失。隨后，眾多知名人士對含有間隙的接觸碰撞現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究，主要包括Kelvin-Voig模型[5]，F(xiàn)reudenstein和Dubowsky的非線性彈簧阻尼模型[6]，Crossley和Hunt的非線性彈簧阻尼模型[7]。Lankarani和Nikravesh[8]把Crossley和Hunt理論不斷深化，依據(jù)Hertz接觸理論提出了非線性彈簧阻尼模型，并且考慮了恢復(fù)系數(shù)和碰撞過程的阻尼因素。

(1)

D=ηδn

(2)

式中：

D—碰撞過程的阻尼系數(shù)；

η—粘滯阻尼因子。

式中其他參數(shù)的意義同上。

應(yīng)用沖擊前后動力學(xué)進(jìn)行分析，能量損耗可用恢復(fù)系數(shù)和相對速度法來計算：

(3)

(4)

式中：

ce—恢復(fù)系數(shù)；

m(eff)—當(dāng)量質(zhì)量，kg；

mi、mj—滾子和套筒的質(zhì)量，kg。

能量損失也可以通過在遲滯回線周圍的接觸力的積分來表示，具體表達(dá)式為：

(5)

結(jié)合式(3)和(5)，可以得到：

(6)

因此得到阻尼系數(shù)D的表達(dá)式為：

(7)

因此方程(1)可寫成：

(8)

Lankarani和Nikravesh提出的連續(xù)接觸力行為不僅考慮了碰撞過程引起的能量損失，而且包含了碰撞物體材料特性、變形深度、碰撞速度等信息，因此對含有間隙系統(tǒng)做動態(tài)嚙合特性分析時被國內(nèi)外學(xué)者廣泛應(yīng)用。

1.2 切向摩擦力模型

間隙運(yùn)動副的切向摩擦力采用Coulomb摩擦力模型，為了能準(zhǔn)確描述切向摩擦力采用修正后的Coulomb摩擦力模型，該模型中存在修正系數(shù)cd，摩擦力是切向滑動速度的函數(shù)，它與切向滑動速度有關(guān)，其曲線圖見圖1，切向摩擦力表達(dá)式為：

圖1 摩擦力與速度的關(guān)系

(9)

(10)

式中：

vτ—相對切向速度，m/s；

cf—摩擦系數(shù)；

cd—動態(tài)修正系數(shù)；

v0、v1—切向速度的給定范圍，m/s。

鏈節(jié)張力是法向接觸力與切向摩擦力的矢量和，所以鏈節(jié)張力表示成：

Fi=Fn+F

(11)

鏈節(jié)間的張力大小為：

(12)

結(jié)合式(8)和式(9)得

(13)

另上式中

(14)

(15)

2動力學(xué)方程的建立

2.1 正常工況下動力學(xué)方程的建立

建立完整鏈傳動模型示意圖見圖2，把XOY坐標(biāo)系建立在主動鏈輪中心，設(shè)xi、yi為鏈節(jié)i在x、y方向廣義坐標(biāo)。

圖2 鏈傳動系統(tǒng)模型

在鏈輪鏈條初始時刻，假設(shè)主從動鏈輪上和鏈條緊邊中第一個滾子r1、rp開始嚙合的方位角為θ1和θ2，則當(dāng)整個系統(tǒng)轉(zhuǎn)動時，與主從動鏈輪上滾子r1、rp相對應(yīng)的輪齒位置角為

θs1=θ1+φ1

(16)

θp1=θ2+φ2

(17)

式中：

φ1、φ2—主從動鏈輪轉(zhuǎn)角，度。

在上面研究的基礎(chǔ)上，主從動鏈輪上任何滾子ri相應(yīng)的輪齒位置角能夠?qū)懗桑?/p>

(18)

(19)

式中：

z1、z2—主從動鏈輪齒數(shù)。

本文采用拉格朗日方程來建立整個系統(tǒng)動態(tài)特性方程，第一步先計算出傳動模型的動能、勢能、耗散能和廣義力[9]。

2.1.1系統(tǒng)動能

(1)鏈節(jié)動能

(20)

式中：

N—鏈節(jié)總數(shù)。

(2)主動鏈輪扭轉(zhuǎn)動能

(21)

式中：

I1—主動鏈輪轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2。

(3)從動鏈輪扭轉(zhuǎn)動能

(22)

式中：

I2—從動鏈輪轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2。

2.1.2系統(tǒng)勢能

(1)鏈節(jié)拉伸彈性變形勢能和重力勢能

(23)

式中：

RB—滾子半徑，m；

RJ—套筒半徑，m。

(2)主動鏈輪與鏈節(jié)接觸彈性變形勢能

(24)

式中：

kc—滾子與鏈輪接觸剛度，N·m-1；

Rt—齒廓半徑，m。

(3)從動鏈輪與鏈節(jié)接觸彈性變形勢能

(25)

式中：

a—鏈系統(tǒng)中心距，m。

2.1.3系統(tǒng)耗散能

(1)鏈節(jié)拉伸阻尼耗散能

(26)

(2)主動鏈輪和鏈節(jié)接觸阻尼耗散能

(27)

式中：

cc—滾子與鏈輪接觸阻尼，N·s·m-1。

(3)從動鏈輪和鏈節(jié)接觸阻尼耗散能

(28)

系統(tǒng)的廣義力是主從動鏈輪產(chǎn)生的法向慣性力fsn、fpn與切向慣性力fst、fpt的組合，即：

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式中：

mi—鏈節(jié)質(zhì)量，kg；

Rs1、Rs2—主從動鏈輪分度圓半徑，m；

將以上能量表達(dá)式和廣義力應(yīng)用到拉格朗日方程：

(35)

式中：

qi—廣義坐標(biāo)；

Qi—廣義力。

將式(20)～(34)帶入到式(35)中建立整個機(jī)構(gòu)的嚙合動態(tài)方程：

(36)

(37)

2.2 啃齒和跳齒工況下動力學(xué)方程建立

通過前面第三章啃齒和跳齒的機(jī)理可以看出，啃齒和跳齒的主要原因是鏈條節(jié)距的縮短和變長，使圖2所示的鏈傳動系統(tǒng)模型的θsi發(fā)生變化，因此為了更好的模擬啃齒和跳齒工況給定一個參數(shù)Δθ修正θsi。

啃齒工況下：

(38)

跳齒工況下：

(39)

3求解方法及基本參數(shù)確定

采用四階龍格—庫塔法計算方程，得出了在正常、啃齒和跳齒工況下不同間隙下接觸力、速度和加速度曲線圖。具體參數(shù)如表1所示。

表1 鏈傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和幾何參數(shù)

4動力學(xué)分析

4.1 正常工況下動力學(xué)分析

將表1中的參數(shù)值帶入(36)式中，通過四階龍格—庫塔法，得出間隙c取不同數(shù)值時，對鏈傳動系統(tǒng)的接觸力、速度以及加速度的影響，如圖3～圖5所示。

圖3 不同間隙下接觸力關(guān)系 圖4 不同間隙下速度曲線圖

圖5 不同間隙下加速度曲線圖

由圖3～圖5可得，在1.2 s左右接觸力達(dá)到最大，說明此刻沖擊振動明顯，這主要受到鏈傳動系統(tǒng)多邊形效應(yīng)的影響，尤其是嚙合沖擊作用的影響。在鏈條嚙出從動鏈輪時，速度逐漸增大，當(dāng)進(jìn)入緊邊后速度趨于平穩(wěn)并伴有不同幅度的波動，當(dāng)鏈節(jié)進(jìn)入到主動鏈輪速度逐漸減小。鏈條速度的這種波動也受到鏈輪六邊形效應(yīng)的影響。在鏈條與鏈輪嚙合的過程中加速度先增大后減小。由圖容易得知隨著間隙的擴(kuò)大，無論是接觸力、速度、加速度的峰值還是波動幅度都隨之增大。

4.2 啃齒工況下動力學(xué)分析

將等式(38)代入到等式(36)和(37)得出啃齒工況動態(tài)特性曲線圖。圖6、圖7分別為在啃齒工況間隙下取不同值時接觸力、速度隨時間的變化曲線圖。

圖6 不同間隙下接觸力關(guān)系 圖7 不同間隙下速度曲線圖

圖8為啃齒工況間隙下取不同值時加速度隨時間的變化曲線圖。

圖8 不同間隙下加速度曲線圖

由圖6～圖8不難看出，發(fā)生啃齒時在鏈輪與鏈節(jié)嚙合過程中在1.2 s時接觸力達(dá)到最大且峰值比正常工況大，說明此刻沖擊明顯；速度與加速度波動幅度明顯增大，且峰值也比正常工況偏大。并且隨著間隙增大，波動明顯。

4.3 跳齒工況下動力學(xué)分析

圖9～圖11描繪了在跳齒工況間隙取不同值時接觸力、速度以及加速度隨時間的變化曲線圖。

圖9 不同間隙下接觸力關(guān)系 圖10 不同間隙下速度曲線圖

圖11 不同間隙下加速度曲線圖

由圖9～圖11得出在跳齒工況下，接觸力在1.2s時達(dá)到最大且峰值大于正常工況說明此刻沖擊作用較為明顯；開始接觸時速度波動明顯，加速度向相反方向波動，且嚙合時的峰值比正常工況偏大，接觸力、速度、加速度都因間隙尺寸的變大而變大。不難看出無論是啃齒還是跳齒三者的峰值都比正常工況大，因此會加快鏈輪鏈條的磨損。

5結(jié)論

(1)正常工況和啃齒和跳齒工況相比，無論是接觸力、速度還是加速度變化曲線比較平穩(wěn)。且受到多邊形效應(yīng)的影響，接觸力在大約1.2s的時間內(nèi)達(dá)到最大，說明此刻沖擊作用較為明顯；

(2)正常工況、啃齒和跳齒工況下，無論是接觸力、速度還是加速度大小都隨間隙尺寸的增大而增大?？旋X和跳齒工況下，開始接觸時接觸力、速度及加速度波動幅度較大，且峰值比正常工況偏大，因此在設(shè)計與制造時應(yīng)避免產(chǎn)生過大的間隙，間隙過大會加速鏈傳動系統(tǒng)的磨損。