席換，曲國(guó)慶，張建霞，王暉

(山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

坐標(biāo)時(shí)間序列的噪聲信息會(huì)影響坐標(biāo)的解算精度，造成測(cè)站非線性運(yùn)動(dòng)模型一定的偏差，在研究連續(xù)運(yùn)行參考站(continuously operating reference station,CORS)單日解坐標(biāo)時(shí)間序列的噪聲時(shí)，有學(xué)者認(rèn)為坐標(biāo)時(shí)間序列中僅存在白噪聲。隨著對(duì)噪聲進(jìn)一步地研究發(fā)現(xiàn)，GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列不僅存在白噪聲還存在有色噪聲，目前最優(yōu)隨機(jī)模型描述為白噪聲+閃爍噪聲已達(dá)成共識(shí)[1-8]。唐江森等[9]研究了山東部分CORS站兩年坐標(biāo)時(shí)間序列的噪聲特征，確定其最佳噪聲模型為白噪聲+閃爍噪聲。由于研究數(shù)據(jù)時(shí)間跨度短，并不能完全反映站點(diǎn)的噪聲特征。通常認(rèn)為時(shí)間序列跨度大于2.5 a，能夠準(zhǔn)確估計(jì)時(shí)間序列的線性項(xiàng)、周期項(xiàng)及其精度[10]。

因此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上，以山東CORS站2015年1月1日至2018年12月31日連續(xù)4年的坐標(biāo)時(shí)間序列為研究對(duì)象，分析CORS站坐標(biāo)時(shí)間序列的噪聲特征，以確定山東CORS各站點(diǎn)的最佳噪聲模型。

1 噪聲特征分析

1.1 噪聲序列的獲取

GPS基準(zhǔn)站的擬合模型[11]可用式(1)表示：

y(ti)=a+bti+csin(2πti)+dcos(2πti)+

esin(4πti)+fcos(4πti)+

(1)

式中：y(ti)為基準(zhǔn)站各分量坐標(biāo)時(shí)間序列；a為觀測(cè)序列的初始位置；b為觀測(cè)序列線性速度；ti為時(shí)間；c、d和e、f分別為年、半年周期項(xiàng)系數(shù)；gi為tgj時(shí)刻的階躍；H為一階梯函數(shù)；vi為噪聲序列。若顧及更復(fù)雜的情況，如某時(shí)刻測(cè)站運(yùn)動(dòng)速率的改變或某一事件發(fā)生后測(cè)站運(yùn)動(dòng)速率呈指數(shù)衰減的情況等，可采用文獻(xiàn)[12]提供的坐標(biāo)分量每日解觀測(cè)序列參數(shù)模型。通過(guò)對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)擬合及去除、小波分析方法探測(cè)和提取周期項(xiàng)、修正含有階躍的站點(diǎn)等步驟得到噪聲序列，作為噪聲特征分析的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1.2 粗差的剔除與插補(bǔ)

坐標(biāo)時(shí)間序列受到外界觀測(cè)條件、傳輸信號(hào)干擾或電氣元器件的突然變化的影響，會(huì)存在粗差。粗差的存在會(huì)影響噪聲特征的分析，應(yīng)將其剔除，以免造成結(jié)果的偏差。采用拉依達(dá)準(zhǔn)則(3σ)對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列的粗差進(jìn)行探測(cè)與剔除，該方法的標(biāo)準(zhǔn)為

(2)

連續(xù)均勻采樣的坐標(biāo)時(shí)間序列是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，而實(shí)際的觀測(cè)序列并不滿足此條件；加之剔除粗差的歷元，時(shí)間序列總會(huì)缺失某些天的數(shù)據(jù)，因此需利用插值方法將缺失的數(shù)據(jù)補(bǔ)全。通過(guò)對(duì)多種插值方法進(jìn)行對(duì)比分析，最終選用最符合數(shù)據(jù)大致趨勢(shì)的三次多項(xiàng)式插值法進(jìn)行插補(bǔ)。

線性趨勢(shì)項(xiàng)擬合實(shí)際上是對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行零均值化處理，去除趨勢(shì)項(xiàng)的坐標(biāo)時(shí)間序列稱(chēng)為殘差序列。此序列在零附近連續(xù)均勻波動(dòng)，是用于探測(cè)與提取周期項(xiàng)的數(shù)據(jù)序列。

1.3 周期項(xiàng)的探測(cè)與提取

小波分析方法是一種可以同時(shí)在時(shí)間域和頻率域分析信號(hào)的方法，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)時(shí)間序列周期項(xiàng)的探測(cè)與提取。其基本原理如下：

(3)

式(3)為小波分解公式。式中：AK、DK分別表示信號(hào)第K層的低頻和高頻部分；H、G分別表示小波低通和高通濾波器；N表示信號(hào)長(zhǎng)度。

AK=H*AK+1+G*DK+1，K=N,…,2,1，

(4)

式(4)為小波重構(gòu)公式。式中H*、G*為H、G的共軛轉(zhuǎn)置。

1.4 譜指數(shù)與最大似然估計(jì)

噪聲的功率譜密度P(f)與噪聲頻率f之間存在著冪次關(guān)系，即

P(f)∝fk，

(5)

稱(chēng)k為譜指數(shù)。將式兩邊取對(duì)數(shù)為

lnP(f)∝klnf，

(6)

k在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中為擬合直線的斜率。不同的譜指數(shù)對(duì)應(yīng)不同的噪聲類(lèi)型，k=0為白噪聲(wn)，k=-1為閃爍噪聲(fn)，k=-2為隨機(jī)漫步噪聲(rwn)。

最大似然估計(jì)是確定不同噪聲模型下噪聲分量的方法，它是按最大似然準(zhǔn)則使得在此噪聲模型下噪聲序列與其協(xié)方差的概率密度最大，其模型[13]為

式中：X為時(shí)間序列列向量；σw,σrw,σf分別為白噪聲、隨機(jī)漫步噪聲和閃爍噪聲；N為序列長(zhǎng)度；QXX為X的協(xié)方差。

2 山東CORS站噪聲特征分析

2.1 山東CORS站數(shù)據(jù)分析

以山東27個(gè)CORS站(圖1)三個(gè)方向的坐標(biāo)時(shí)間序列為研究對(duì)象，在進(jìn)行了數(shù)據(jù)預(yù)處理后，如剔除粗差與插值、階躍項(xiàng)修正和去除趨勢(shì)項(xiàng)得到殘差序列。在殘差序列的基礎(chǔ)上進(jìn)行周期項(xiàng)的探測(cè)與提取，得到噪聲時(shí)間序列，用于確定噪聲類(lèi)型與估計(jì)各噪聲分量值，分析山東CORS站的噪聲特征。

圖1 山東CORS站分布

以QUFU站為例，為顯示坐標(biāo)軸刻度，將N、E和U三個(gè)方向分別減去參考值(3 962 977 m、10 587 692 m、59 m)，圖2、圖3分別給出了原始坐標(biāo)時(shí)間序列及趨勢(shì)項(xiàng)和殘差序列。由圖2、圖3可知，QUFU站坐標(biāo)時(shí)間序列水平方向存在著明顯的線性趨勢(shì)。垂直方向不僅存在著線性變化，還存在著周期性變化。殘差序列在零附近均勻的波動(dòng)，說(shuō)明已具有零均值的特性，可進(jìn)行坐標(biāo)時(shí)間序列的周期分析。

圖2 原始坐標(biāo)序列及趨勢(shì)項(xiàng)

對(duì)QUFU站垂直方向進(jìn)行小波分析，可得到坐標(biāo)時(shí)間序列中存在的周期項(xiàng)(年、半年、季節(jié)周期項(xiàng))，如圖4所示。

由此可得到QUFU站垂直方向的噪聲序列，如圖5所示。按照上述方法可得到山東CORS站的全部噪聲序列，為噪聲特征分析提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

2.2 山東CORS站噪聲特征分析

根據(jù)式(6)譜指數(shù)的定義，計(jì)算求得基準(zhǔn)站各坐標(biāo)分量的譜指數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 基準(zhǔn)站各方向譜指數(shù)

由表1可知，基準(zhǔn)站水平方向的譜指數(shù)均在-1～0之間，大部分垂直分量譜指數(shù)也在-1～0之間，ZAZH站垂直方向譜指數(shù)為-1.011，說(shuō)明基準(zhǔn)站各坐標(biāo)分量噪聲均不具有純白噪聲的特性，且同一測(cè)站的不同坐標(biāo)分量的噪聲模型有所不同。因此需根據(jù)譜指數(shù)逐個(gè)確定基準(zhǔn)站的噪聲模型。為確定基準(zhǔn)站坐標(biāo)分量的最佳噪聲模型，根據(jù)最大似然估計(jì)原理，不同噪聲模型的極大似然估計(jì)值越大，結(jié)果越可靠。本文以ZAZH站為例，計(jì)算了五種噪聲模型：白噪聲(wn)、白噪聲+閃爍噪聲(wn+fn)、白噪聲+隨機(jī)漫步噪聲(wn+rwn)、閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲(fn+rwn)和白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲(wn+fn+rwn)的最大似然估計(jì)值，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，不同噪聲模型對(duì)應(yīng)的最大似然估計(jì)值不同，白噪聲模型的最大似然估計(jì)值最小，說(shuō)明坐標(biāo)分量中不僅僅含有白噪聲，還含有有色噪聲。水平方向上，白噪聲+閃爍噪聲和白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲的最大似然估計(jì)值最大且相等，說(shuō)明在沒(méi)有隨機(jī)漫步噪聲存在的情況下，白噪聲+閃爍噪聲與白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲所估計(jì)出來(lái)的噪聲分量是相同的，因此，ZAZH站水平方向的最佳噪聲模型為白噪聲+閃爍噪聲或白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲；垂直方向上，最大似然估計(jì)值為-4 202.15，所對(duì)應(yīng)的最佳噪聲模型為白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲。由此可以看出同一基準(zhǔn)站的不同方向可以有不同的最佳噪聲模型。假設(shè)基準(zhǔn)站的噪聲模型為白噪聲+閃爍噪聲+隨機(jī)漫步噪聲，對(duì)山東地區(qū)27個(gè)基準(zhǔn)站坐標(biāo)分量在此噪聲模型下進(jìn)行的噪聲分量估計(jì)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表2。

圖6 ZAZH站不同噪聲模型的最大似然估計(jì)值

表2 山東CORS站在wn+fn+rwn下的噪聲分量值

由表2可以看出，觀測(cè)時(shí)間序列坐標(biāo)分量具有不同噪聲特征。在N方向上，有25個(gè)基準(zhǔn)站僅含有白噪聲和閃爍噪聲，2個(gè)站含有白噪聲、閃爍噪聲和隨機(jī)漫步噪聲；E方向上，有20個(gè)站點(diǎn)含有白噪聲和閃爍噪聲，7個(gè)站點(diǎn)含有白噪聲、閃爍噪聲和隨機(jī)漫步噪聲；U方向上有16個(gè)站點(diǎn)含有白噪聲和閃爍噪聲，11個(gè)站點(diǎn)含有白噪聲、閃爍噪聲和隨機(jī)漫步噪聲。因此山東CORS站的最佳噪聲模型為：N方向上采用wn+fn模型，E和U方向上采用wn+fn+rwn模型。同時(shí)，U方向的噪聲分量估計(jì)值要明顯高于其它兩個(gè)方向，這與高程方向精度低于水平方向精度的結(jié)論是一致的。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列預(yù)處理得到連續(xù)均勻、不含階躍項(xiàng)的殘差序列，再利用小波分析方法提取其周期項(xiàng)，得到不含明顯周期項(xiàng)的噪聲時(shí)間序列，用于分析山東CORS的噪聲特征,最終得到以下結(jié)論：

1)計(jì)算出的譜指數(shù)顯示坐標(biāo)時(shí)間序列中不僅存在白噪聲，還存在有色噪聲。在計(jì)算基準(zhǔn)站的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，應(yīng)顧及有色噪聲對(duì)其的影響。

2) 山東CORS各坐標(biāo)分量具有不同的噪聲特征，可以有不同的噪聲模型。N方向的最佳噪聲模型為wn+fn，E、U方向的最佳噪聲模型為wn+fn+rwn。