龐其城， 楊建偉， 李 政

(1.北京建筑大學(xué) 機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院， 北京 100044；2.北京建筑大學(xué) 城市軌道交通車(chē)輛服役性能保障北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100044)

輕量化這一概念最早源自汽車(chē)制造行業(yè)，汽車(chē)的質(zhì)量減輕，可以帶來(lái)更良好的操控性和加速性[1]。隨著“節(jié)能、減排”等環(huán)保理念深入人心，輕量化的概念開(kāi)始在各行各業(yè)中展開(kāi)。其在工程中的主要思想為：在確保穩(wěn)定提升性能的基礎(chǔ)上，節(jié)能化設(shè)計(jì)各零部件[2]。隨著城市軌道交通的快速發(fā)展，對(duì)于城軌車(chē)輛的技術(shù)指標(biāo)要求越來(lái)越高，要在保證車(chē)輛運(yùn)行安全可靠的情況下，做到節(jié)約能源、降低成本、減輕重量等，輕量化成為車(chē)輛設(shè)計(jì)中必不可少的環(huán)節(jié)之一。目前城軌車(chē)輛主要的輕量化設(shè)計(jì)方向分為2類(lèi)[3]：第一類(lèi)為材料輕量化設(shè)計(jì)，指在車(chē)體、牽引系統(tǒng)、制動(dòng)系統(tǒng)、空調(diào)系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向架等車(chē)輛重要的子系統(tǒng)中使用既滿足強(qiáng)度要求，又可實(shí)現(xiàn)輕量化目的的新型材料；第二類(lèi)為結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)，通過(guò)理論校核或有限元仿真計(jì)算、設(shè)計(jì)出更合理的結(jié)構(gòu)、減少零部件冗余設(shè)計(jì)等途徑實(shí)現(xiàn)輕量化。

城軌列車(chē)各個(gè)子系統(tǒng)中，牽引系統(tǒng)中的零部件質(zhì)量占用了車(chē)輛總體質(zhì)量中很大一部分，其中齒輪箱中的大量傳動(dòng)齒輪由于采用比較保守的設(shè)計(jì)思路，造成了一部分零部件可靠性功能冗余，不僅使整車(chē)的質(zhì)量增加，占用車(chē)底大量空間，而且提高了制造成本。采用輕量化設(shè)計(jì)優(yōu)化可以極大改善以上問(wèn)題。但對(duì)于齒輪箱中傳動(dòng)齒輪來(lái)說(shuō)，材料輕量化設(shè)計(jì)需要在材料領(lǐng)域有所突破，以目前現(xiàn)有技術(shù)實(shí)現(xiàn)難度較大。而在結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)方面，通過(guò)合理優(yōu)化齒輪的結(jié)構(gòu)就可以相對(duì)簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)齒輪輕量化。

本文在對(duì)城軌車(chē)輛齒輪箱中齒輪的彎曲疲勞可靠性預(yù)測(cè)相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，建立基于齒輪彎曲疲勞的性能裕量模型。在故障數(shù)據(jù)樣本較少、存在認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性預(yù)測(cè)結(jié)果影響較大的情況下，運(yùn)用確信可靠度評(píng)估方法，對(duì)某型城軌車(chē)輛齒輪箱中的齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行可靠性預(yù)測(cè)，計(jì)算出在滿足列車(chē)運(yùn)行安全的條件下所需達(dá)到的最低參數(shù)要求，并在盡量便于修改的情況下，對(duì)現(xiàn)有齒輪箱中傳動(dòng)齒輪的齒寬進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到齒輪的輕量化設(shè)計(jì)。

1 確信可靠度分析基本理論

1.1 性能裕量理論

性能裕量(Performance Margin, PM)[4]指性能參數(shù)與其性能失效閾值之間的差距，性能裕量可用于表征系統(tǒng)的失效。性能裕量在確信可靠度模型中起著重要作用，假設(shè)將p稱(chēng)為性能參數(shù)，pth稱(chēng)為性能失效閾值，當(dāng)性能參數(shù)p達(dá)到性能失效閥值pth時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生故障。在大多數(shù)情況下，存在2類(lèi)性能參數(shù)模型的失效情況[5]：

1) 當(dāng)p≥pth時(shí)系統(tǒng)失效，此模型為望小情況(STB)。

2) 當(dāng)p≤pth時(shí)系統(tǒng)失效，此模型為望大情況(GTB)。

根據(jù)上述情況，性能裕量M模型可以表示為：

(1)

性能裕量描述了性能參數(shù)與其閾值之間的差距，當(dāng)M<0時(shí)，故障發(fā)生。在實(shí)際情況中，經(jīng)常受到偶然性和認(rèn)知不確定性的影響。所以在前期的零部件設(shè)計(jì)過(guò)程中，預(yù)留的性能裕量越大，系統(tǒng)或零部件發(fā)生故障的可能性越低，隨之可靠性越強(qiáng)。因此，將性能裕量作為一個(gè)不確定的隨機(jī)變量進(jìn)行建模，得到了性能裕量意義下的可靠性的定義[5]。

1.2 輕量化設(shè)計(jì)分析框架

輕量化設(shè)計(jì)的計(jì)算具體流程如圖1所示。

圖1 輕量化設(shè)計(jì)計(jì)算流程Fig.1 Lightweight design calculation process

2 運(yùn)營(yíng)工況下齒輪確信可靠度模型的建立

影響齒輪可靠性的主要原因?yàn)辇X輪齒根在縱向載荷上受到齒根彎曲應(yīng)力而發(fā)生彎曲疲勞斷裂，所以為了深入研究齒輪可靠性相關(guān)問(wèn)題，應(yīng)建立齒輪齒根彎曲疲勞可靠性模型。

在運(yùn)營(yíng)工況下所獲得的傳動(dòng)齒輪故障數(shù)據(jù)有限，無(wú)法滿足大數(shù)定律。在復(fù)雜的工況下運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)存在較大的不確定性，使用基于傳統(tǒng)貝葉斯可靠性的評(píng)估方法導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏差較大。本文使用確信可靠度評(píng)價(jià)方法。主要優(yōu)勢(shì)是考慮復(fù)雜環(huán)境下認(rèn)知不確定情況對(duì)可靠性結(jié)果的影響，運(yùn)用公理化的數(shù)學(xué)方法對(duì)模型的確信可靠度進(jìn)行更加準(zhǔn)確的評(píng)估，使得最后輕量化結(jié)果更加準(zhǔn)確可信。

2.1 基于確信可靠度的齒輪可靠性模型建立

選用的試驗(yàn)齒輪為某型城軌車(chē)齒輪箱中傳動(dòng)齒輪，材料為18CrNiMo7-6，其化學(xué)成分及占比見(jiàn)表1。試驗(yàn)齒輪參數(shù)見(jiàn)表2，齒輪做滲碳淬火熱處理，有效硬化深度1.00～1.50 mm，齒面硬度58HRC-62HRC，芯部硬度≥30 HRC。

表1 18CrNiMo7-6材料化學(xué)成分及占比

表2 試驗(yàn)齒輪參數(shù)

參考文獻(xiàn)[6]中齒輪箱中齒輪齒根應(yīng)力確定方式，依照GB/T 3480—1997《漸開(kāi)線圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法》[7]中的齒根應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算齒輪齒根彎曲應(yīng)力σF和彎曲許用應(yīng)力σFP：

(2)

式中：YFE為載荷作用于E點(diǎn)時(shí)的齒形系數(shù)，根據(jù)試驗(yàn)齒輪參數(shù)，取值2.25；YSE為載荷作用于E點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力修正系數(shù)，取值1.77；YST為齒輪的應(yīng)力修正系數(shù)，取值1；YδγlT為相對(duì)齒根圓角敏感系數(shù)，取值1；YRrelT為相對(duì)齒根表面狀況系數(shù)，取值1；YX為計(jì)算彎曲強(qiáng)度的尺寸系數(shù)，取值1；Ft為端面內(nèi)分度圓周上的名義切應(yīng)力，N；b為齒寬，mm；m為齒輪模數(shù)。

σFP=YNTYSTYXYδγlTYRrelTσFlim

(3)

式中：YNT為齒輪彎曲疲勞壽命系數(shù)，取值1；σFlim為齒根彎曲疲勞極限。

試驗(yàn)選用的齒輪與文獻(xiàn)[8]中物理特性相似，故引用其齒輪齒根彎曲疲勞極限，設(shè)隨機(jī)正態(tài)分布σFlim～N(μ=679，σ2=852)。

在城軌列車(chē)齒輪箱中傳動(dòng)齒輪的齒根彎曲疲勞確信可靠度計(jì)算模型中，選取齒輪齒根彎曲應(yīng)力σF作為性能參數(shù)p，選取齒輪齒根彎曲許用應(yīng)力σFP作為性能失效閾值pth。當(dāng)齒輪齒根彎曲應(yīng)力σF大于齒輪齒根彎曲許用應(yīng)力σFP時(shí)(即p>pth)，系統(tǒng)失效，判斷此確信可靠度模型的失效類(lèi)型為望小。本試驗(yàn)中，齒輪齒根彎曲許用應(yīng)力σFP的值受單一參數(shù)齒根彎曲疲勞極限σFlim影響，所以性能失效閾值pth是隨機(jī)變量且服從概率分布ψ(x)。齒輪齒根彎曲應(yīng)力σF受切應(yīng)力Ft影響，為方便計(jì)算，將2個(gè)參數(shù)分別進(jìn)行考慮，故p是不確定變量且服從不確定分布φ(x)。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的確信可靠度模型計(jì)算公式，當(dāng)p是不確定變量且服從不確定分布φ(x)，pth是隨機(jī)變量且服從概率分布ψ(x)，并且系統(tǒng)的失效模型屬于望小情況，此模型的確信可靠度RB計(jì)算公式為：

(4)

即：

(5)

ψ′(x)是σFlim～N的概率密度函數(shù)，可表示為[4]：

(6)

式中：μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 運(yùn)營(yíng)工況下齒輪模型確信可靠度計(jì)算

根據(jù)城軌列車(chē)實(shí)際運(yùn)營(yíng)工況，在列車(chē)處于牽引工況時(shí)，由于電機(jī)的牽引作用，使得傳動(dòng)齒輪所受的載荷變化較大，容易產(chǎn)生可靠性方面問(wèn)題，故主要考慮在牽引狀態(tài)下齒輪箱中傳動(dòng)齒輪所承受的載荷情況，根據(jù)列車(chē)牽引電機(jī)的機(jī)械特性，將驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩分為恒轉(zhuǎn)矩區(qū)和恒功率區(qū)，以滿足牽引的需要[9]。因此，電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩可以表示為：

(7)

式中：Te為額定轉(zhuǎn)矩，N·m；Pe為額定功率，W；n為電機(jī)轉(zhuǎn)速，r/min；ns為同步轉(zhuǎn)速，r/min。

根據(jù)試驗(yàn)?zāi)M牽引工況得出驅(qū)動(dòng)電機(jī)的工作特性，繪制電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩曲線如圖2所示[10]。

圖2 電機(jī)牽引條件下的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩曲線Fig.2 Drive torque curve under motor traction

牽引電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩直接傳遞給齒輪箱中的傳動(dòng)齒輪，可以將分度圓上的切應(yīng)力Ft表示為[11]：

(8)

式中：d為齒輪分度圓上的直徑，mm，齒輪分度圓半徑等于齒輪模數(shù)與齒數(shù)的乘積，即d=mz。

由式(8)可以看出，當(dāng)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩處于恒轉(zhuǎn)矩區(qū)時(shí)，傳動(dòng)齒輪分度圓上的切應(yīng)力Ft為定值不變；當(dāng)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩處于恒功率區(qū)時(shí)，分度圓切應(yīng)力隨轉(zhuǎn)速的增大單調(diào)減小，呈反比例函數(shù)，根據(jù)不確定概率運(yùn)算法則[9]可以求出p的不確定分布的解析解為：

(9)

齒輪分度圓所受的最小切應(yīng)力Fa≈2 727 N，最大切應(yīng)力Fb≈13 273 N，故設(shè)齒輪齒根所受的切應(yīng)力可表示Ft～N(Fa=2 727，F(xiàn)b=13 273)。

根據(jù)式(5)計(jì)算出在參數(shù)Ft的不確定性影響時(shí)的確信可靠度RB=0.999 4。

2.3 參數(shù)敏感度分析

在彎曲疲勞極限σFlim不變的情況下，通過(guò)改變齒輪分度圓上所受的切應(yīng)力Ft～N(Fa=2 727，F(xiàn)b=13 273)中最小切應(yīng)力Fa和最大切應(yīng)力Fb的值，使2個(gè)參數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)變化，得到模型的可靠度RB隨參數(shù)Ft中變量Fa、Fb的三維變化趨勢(shì)，如圖3所示。之后通過(guò)改變Fa、Fb中某個(gè)變量在給定的區(qū)間內(nèi)變化，另一變量保持原有數(shù)值不變，得到可靠度RB隨參數(shù)Ft中單一變量的變化曲線如圖4所示。

圖3 可靠度RB與參數(shù)Ft中變量的關(guān)系Fig.3 Relationship between reliability RB and variables in parameter Ft

圖4 可靠度RB隨參數(shù)Ft中單一變量的變化曲線Fig.4 Variation curve of reliability RB with a single variable in parameter Ft

從圖3中可以看出隨參數(shù)Ft中Fa、Fb數(shù)值增大，即參數(shù)Ft的不確定性增大時(shí)，系統(tǒng)的確信可靠度呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢(shì)；對(duì)于圖4，當(dāng)參數(shù)Fa、Fb增大時(shí)，確信可靠度呈現(xiàn)近似線性的減小，且最大切應(yīng)力Fb的改變對(duì)模型的確信可靠度RB影響較大，而RB在Fa的值域中變化范圍較小。

在分度圓切應(yīng)力Ft和齒形系數(shù)YFE不變的情況下，通過(guò)改變彎曲疲勞極限σFlim～N(μ=679，σ2=852)中均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的值，使2個(gè)參數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)變化，得到模型的可靠度RB隨參數(shù)σFlim～N中變量μ、σ的三維變化趨勢(shì)，如圖5所示。之后通過(guò)改變參數(shù)μ、σ中某個(gè)變量在給定的區(qū)間內(nèi)變化，另一變量保持原有數(shù)值不變，得到可靠度RB隨參數(shù)σFlim～N中單一變量的變化曲線，如圖6所示。

圖5 可靠度RB與參數(shù)σFlim中變量μ和σ的關(guān)系Fig.5 Relationship between reliability RB and variables μ and σ in parameter σFlim

圖6 可靠度RB隨參數(shù)σFlim中單一變量的變化曲線Fig.6 Variation curve of reliability RB with a single variable in parameter σFlim

圖5中可以看出，隨參數(shù)YFE中μ、σ數(shù)值的增大，系統(tǒng)的確信可靠度呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢(shì)，但標(biāo)準(zhǔn)差σ的變化較大。對(duì)于圖6，當(dāng)均值μ逐漸增大時(shí)，可靠度RB的值隨著μ的增大而增大，且增長(zhǎng)速率逐漸降低。相反，確信可靠度RB的值隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大而減小，增長(zhǎng)速率逐漸加快。將2條線的趨勢(shì)進(jìn)行比較，標(biāo)準(zhǔn)差σ數(shù)值變化對(duì)結(jié)果確信可靠度RB的影響更顯著。

3 齒輪輕量化設(shè)計(jì)相關(guān)分析及計(jì)算

通過(guò)建立齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度性能裕量模型，計(jì)算出了在牽引工況下，原齒輪受Ft不確定性影響，齒輪齒根彎曲疲勞的確信可靠度RB趨近于1。但是對(duì)于齒輪箱系統(tǒng)而言，此部分可靠性設(shè)計(jì)過(guò)高，導(dǎo)致可靠性功能冗余，可適當(dāng)降低可靠性以換取齒輪的輕量化。

在齒輪相關(guān)的輕量化設(shè)計(jì)中，結(jié)合現(xiàn)有的實(shí)際情況，較難在齒輪的材料上發(fā)生較大的技術(shù)突破，無(wú)法通過(guò)材料輕量化的設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。而結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)方法相對(duì)簡(jiǎn)單易行，原齒輪在設(shè)計(jì)過(guò)程中過(guò)分地注重安全性和耐用性，設(shè)計(jì)思路相對(duì)保守，導(dǎo)致齒輪在設(shè)計(jì)上使用大量冗余設(shè)計(jì)以確保其可靠性。因此通過(guò)結(jié)構(gòu)輕量化相關(guān)計(jì)算，減小原齒輪中部分結(jié)構(gòu)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)輕量化的目的。

3.1 齒輪齒寬參數(shù)模糊化

關(guān)于齒輪結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)方法有很多種，在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輕量化過(guò)程中，支撐跨距、齒輪直徑、齒數(shù)、模數(shù)等參數(shù)的優(yōu)化，都可以實(shí)現(xiàn)齒輪輕量化。但是以上的輕量化方法對(duì)于齒輪及齒輪組設(shè)計(jì)修改幅度較大，需要對(duì)齒輪箱整體系統(tǒng)重新設(shè)計(jì)，增加了輕量化的成本和制造難度。為了盡量不改變?cè)X輪箱及齒輪組結(jié)構(gòu)，只替換相關(guān)齒輪即可實(shí)現(xiàn)輕量化，對(duì)齒輪齒寬參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化是相對(duì)簡(jiǎn)單有效的方法。

在設(shè)計(jì)齒輪齒寬時(shí)，應(yīng)滿足相應(yīng)規(guī)格的標(biāo)準(zhǔn)齒寬系數(shù)，齒寬系數(shù)φa用于表示齒寬的相對(duì)值，如：

(10)

式中:a為中心距，mm；b為齒寬，mm。

使用的齒輪箱中的齒輪齒寬設(shè)計(jì)根據(jù)文獻(xiàn)[12]中規(guī)定，應(yīng)滿足開(kāi)式齒輪齒寬系數(shù)φa=0.1～0.3。由于原齒輪設(shè)計(jì)中采用的是相對(duì)保守的設(shè)計(jì)思路，所以選擇的齒寬系數(shù)φa數(shù)值較大，即齒寬的參數(shù)設(shè)計(jì)較大。為了證明所取齒輪齒寬參數(shù)在一個(gè)較小的范圍內(nèi)時(shí)仍能保證系統(tǒng)的可靠性，運(yùn)用模糊理論將齒輪齒寬參數(shù)模糊化。由于所用的齒輪齒寬輕量化模型考慮了大量在小樣本數(shù)據(jù)下存在的不確定性影響，在齒寬參數(shù)模糊化模型建立的過(guò)程中更適用于三角模糊數(shù)，且三角模糊數(shù)更適用于解決質(zhì)量管理、決策與模糊規(guī)劃的一類(lèi)模型。故定義齒寬參數(shù)為三角模糊數(shù)，建立一般類(lèi)系統(tǒng)部件的模型隸屬函數(shù)[13]：

(11)

式中：a、m、b分別為某一模糊變量的最小可能值、最可能值和最大可能值，(a,m,b)構(gòu)成三角模糊數(shù)，其圖形表達(dá)如圖7所示。

圖7 三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)Fig.7 Membership function of triangular fuzzy numbers

本文主要解決齒輪的輕量化問(wèn)題，為了減少不必要的計(jì)算，只需考慮模糊集中小于等于最可能值的情況，即x≤m時(shí)。構(gòu)造關(guān)于齒輪齒寬的模糊集可表示為b=(1.00～10.00)mm。

3.2 利用確信可靠度的輕量化計(jì)算

將得出的齒輪齒寬模糊集代入式(5)中，將計(jì)算得出結(jié)果繪制成如圖8所示的齒寬的模糊確信可靠度曲線。

圖8 齒寬的模糊確信可靠度曲線Fig.8 Fuzzy belief reliability curve of tooth width

根據(jù)圖8可以看出確信可靠度RB隨著齒寬b的逐漸增加而增加，但增長(zhǎng)趨勢(shì)逐漸放緩最后在齒寬10.00 mm時(shí)逐漸趨近于1，說(shuō)明齒寬越寬齒輪的可靠性越高。但是過(guò)高的可靠度對(duì)于整個(gè)齒輪箱系統(tǒng)而言，此部分的可靠性功能超出了系統(tǒng)整體的預(yù)期壽命[14]，所以可適當(dāng)減小齒寬以換取齒輪的輕量化。

以RB=0.950 0為預(yù)期的可靠度期望，模糊確信可靠度參數(shù)計(jì)算的結(jié)果所得見(jiàn)表3，此時(shí)的齒寬b≈6.56 mm，同時(shí)為了滿足工業(yè)化制造加工需求，齒寬取整數(shù)7.00 mm，此時(shí)的確信可靠度RB=0.967 1，符合本系統(tǒng)的預(yù)期可靠度期望，并且符合輕量化的目的。

表3 模糊確信可靠度參數(shù)

4 結(jié)論

本文利用確信可靠度評(píng)估方法對(duì)齒輪的可靠性進(jìn)行評(píng)估。引入性能裕量參數(shù)指標(biāo)，建立基于齒輪彎曲疲勞的性能裕量模型。對(duì)某型城軌車(chē)齒輪箱中齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行可靠性預(yù)測(cè)，計(jì)算出列車(chē)在運(yùn)行的工況條件下齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的確信可靠度，并對(duì)其可行的輕量化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行分析，在便于修改的情況下，對(duì)現(xiàn)有齒輪箱中傳動(dòng)齒輪的齒寬進(jìn)行優(yōu)化。同時(shí)引入模糊理論，計(jì)算得出齒寬的模糊確信可靠度曲線，計(jì)算出符合設(shè)計(jì)預(yù)期的齒輪齒寬參數(shù)，實(shí)現(xiàn)齒輪的輕量化設(shè)計(jì)。

計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)齒寬縮減為7.00 mm時(shí)，齒輪箱系統(tǒng)在保證基本可靠性功能的情況下，齒輪的體積和質(zhì)量減少了約30%。

研究對(duì)齒輪的輕量化設(shè)計(jì)提供了一種新的設(shè)計(jì)思路，不僅節(jié)約了部分車(chē)底寶貴的空間，降低了齒輪的制造成本，減少鋼鐵資源的浪費(fèi)，并且可以以此為例推廣到更多的輕量化設(shè)計(jì)工程中，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。