余文利 鄧小雷 王 勝 謝長(zhǎng)雄

(1.衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院， 衢州 324000； 2.衢州學(xué)院浙江省空氣動(dòng)力裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 衢州 324000)

0 引言

提高機(jī)床加工精度的主要方法是補(bǔ)償各種誤差。幾何誤差和熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要誤差源，占總制造誤差的 60%以上[1]。幾何誤差具有重復(fù)性好、系統(tǒng)性高、易測(cè)量和長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定等特點(diǎn)，幾何誤差補(bǔ)償技術(shù)是提高機(jī)床加工精度的一種經(jīng)濟(jì)有效的重要手段。

通常，幾何誤差補(bǔ)償是通過(guò)軟件補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)的，與硬件補(bǔ)償相比，軟件補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)更容易、更經(jīng)濟(jì)[2]。建立精確而系統(tǒng)的幾何誤差模型是幾何誤差補(bǔ)償?shù)闹匾h(huán)節(jié)之一?，F(xiàn)有建模方法中最常用的是齊次變換矩陣(Homogeneous transformation matrices, HTM)和多體系統(tǒng)理論[3]，單個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的綜合HTM由位置矩陣、位置誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)矩陣、運(yùn)動(dòng)誤差矩陣構(gòu)成[4]。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者成功地使用HTM和多體系統(tǒng)理論對(duì)多軸數(shù)控機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行建模，取得了一些研究成果[5-11]。其他新型理論也被應(yīng)用于機(jī)床幾何誤差建模中，比如旋量理論[12-19]。

通過(guò)誤差模型可以獲得刀具相對(duì)于工件的綜合幾何誤差，從而得到機(jī)床整個(gè)工作空間的綜合誤差分布，為誤差補(bǔ)償提供依據(jù)。幾何誤差呈現(xiàn)非線性特征，同時(shí)誤差元素之間存在耦合作用，各項(xiàng)幾何誤差元素對(duì)機(jī)床整體精度的影響權(quán)重各異。為提高誤差補(bǔ)償效率和降低補(bǔ)償成本，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼進(jìn)行了幾何誤差敏感性分析研究，對(duì)機(jī)床幾何誤差進(jìn)行敏感性分析，能夠獲得對(duì)機(jī)床精度影響較大的關(guān)鍵性誤差，敏感性分析結(jié)果可以作為機(jī)床精度設(shè)計(jì)的重要依據(jù)[20]。程強(qiáng)及其研究團(tuán)隊(duì)提出了多種誤差敏感性分析和優(yōu)化方法，如Sobol法[21]、Morris法[22]、可靠性理論[23]和高階矩標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)[24]等。WU等[25]設(shè)計(jì)了多因素正交試驗(yàn)和單因素參數(shù)試驗(yàn)，將正交試驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果的F值和參數(shù)化檢驗(yàn)結(jié)果的歐幾里德范數(shù)作為幾何誤差全局敏感度系數(shù)。郭世杰等[26]通過(guò)計(jì)算拉丁超立方抽樣確定的誤差元素引起的空間幾何誤差，進(jìn)行相關(guān)性分析，并辨識(shí)影響機(jī)床精度的關(guān)鍵幾何誤差元素。CHANG等[27]使用金字塔測(cè)試件進(jìn)行直接切割試驗(yàn)，結(jié)合田口方法中的信噪比概念評(píng)估多軸機(jī)床的幾何誤差。陳東菊等[28]通過(guò)對(duì)“S”形加工樣件幾何誤差的逆向追蹤實(shí)現(xiàn)了誤差溯源，獲得對(duì)機(jī)床加工精度影響較大的5項(xiàng)誤差參數(shù)。劉奕穎等[29]從公差設(shè)計(jì)角度出發(fā)，結(jié)合多元線性回歸對(duì)機(jī)床誤差進(jìn)行敏感性分析，并提出運(yùn)動(dòng)軸誤差的公差設(shè)計(jì)方法。胡騰等[30]在幾何誤差敏感性分析基礎(chǔ)上構(gòu)建機(jī)床空間誤差完備模型，并提出基于實(shí)際參預(yù)度的關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)識(shí)別方法。楊赟等[31]對(duì)機(jī)床誤差數(shù)學(xué)模型求解21項(xiàng)幾何誤差元素的偏導(dǎo)數(shù)，得到與機(jī)床運(yùn)動(dòng)位置相關(guān)的空間幾何誤差的敏感度系數(shù)矩陣，建立了簡(jiǎn)化的空間誤差快速補(bǔ)償模型。

EFAST方法由SALTELLI等[32]提出，是一種有效的全局敏感性分析方法，已成功應(yīng)用于農(nóng)業(yè)[33]和氣象學(xué)[34-35]領(lǐng)域。為了提取影響加工精度的關(guān)鍵幾何誤差元素，本文提出一種基于POE旋量理論和考慮幾何誤差之間相互關(guān)系的EFAST全局敏感性分析的新方法。首先融合POE旋量理論和串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，構(gòu)建立式加工中心的幾何誤差模型，然后采用EFAST全局敏感性分析方法，識(shí)別影響機(jī)床加工精度的關(guān)鍵誤差元素和強(qiáng)耦合誤差元素，最后在北京精雕 Carver800T型三軸立式加工中心上進(jìn)行誤差補(bǔ)償試驗(yàn)，以驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 基于POE旋量理論的多自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

對(duì)于圖1所示的n自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)，定義2個(gè)三維笛卡爾慣性系，與剛體固連的動(dòng)坐標(biāo)系為B，慣性坐標(biāo)系為A，B系的原點(diǎn)OB固定在基座上，A系的原點(diǎn)OA固定在末端執(zhí)行器上。串聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)以移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副為主，各關(guān)節(jié)在B系下的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)用θ1、θ2、…、θn表示。

定義初始狀態(tài)下末端執(zhí)行器原點(diǎn)OA在B系下的位置為

(1)

式中g(shù)BA(0)——初始位形時(shí)A系與B系之間的剛體位姿變換

(xa,ya,za)——在B系下點(diǎn)OA的位置坐標(biāo)

根據(jù)旋量理論[36]，在忽略運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)，串聯(lián)機(jī)構(gòu)的各關(guān)節(jié)在B系下分別進(jìn)行理想運(yùn)動(dòng)θ1、θ2、…、θn后，將各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)加以組合，即得到串聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的指數(shù)積為

gBA(θ)=ee…egBA(0)

(2)

式中g(shù)BA(θ)——A系相對(duì)于B系的最終位姿

θn——第n個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)量

相比于傳統(tǒng)基于多體系統(tǒng)理論的HTM建模方法，基于POE旋量理論構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)具有下列優(yōu)點(diǎn)：①避免了HTM建模方法中對(duì)各部件建立局部坐標(biāo)系，整個(gè)過(guò)程只需建立一個(gè)全局參考坐標(biāo)系，解決了矩陣變換時(shí)存在的奇異性問(wèn)題。②運(yùn)動(dòng)旋量指數(shù)可以方便地描述剛體運(yùn)動(dòng)，其清晰的物理意義可以更好地表達(dá)剛體運(yùn)動(dòng)的空間幾何特性，從而簡(jiǎn)化了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析。

鑒于此，本文將POE旋量理論應(yīng)用于三軸立式加工中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建幾何誤差模型。

2 基于POE旋量理論的三軸立式加工中心幾何誤差建模和辨識(shí)

2.1 立式加工中心運(yùn)動(dòng)鏈分析與正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)如圖2所示，MCS為床身坐標(biāo)系，OM為坐標(biāo)原點(diǎn)。圖中OW表示工件切削點(diǎn)，OT表示刀尖點(diǎn)，則OW和OT在MCS下的初始位置分別為

(3)

(4)

式中 (xw,yw,zw)——MCS下點(diǎn)OW的位置坐標(biāo)

(xt,yt,zt)——MCS下點(diǎn)OT的位置坐標(biāo)

圖2所示的三軸立式加工中心運(yùn)動(dòng)鏈為XYFZ型，其運(yùn)動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)拓?fù)淙鐖D3所示。圖3中實(shí)線為工件運(yùn)動(dòng)鏈(床身-Y軸-X軸-工件)，點(diǎn)劃線為刀具運(yùn)動(dòng)鏈(床身-Z軸-刀具)，虛線為整體運(yùn)動(dòng)鏈(工件-X軸-Y軸-床身-Z軸-刀具)。顯而易見(jiàn)，立式機(jī)床進(jìn)行切削加工時(shí)，圖中兩條運(yùn)動(dòng)鏈末端的交匯點(diǎn)即為切削成形點(diǎn)。結(jié)合式(3)、(4)和式(2)串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積，可得立式機(jī)床工件鏈與刀具鏈末端正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積為

gMW=eegMW(0)

(5)

gMT=egMT(0)

(6)

式中 e——機(jī)床部件沿X軸運(yùn)動(dòng)的旋量指數(shù)表達(dá)式

gWM——OM在WCS下的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積

2.2 立式加工中心幾何誤差及旋量表示

通常三軸立式加工中心各軸作平移運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生21項(xiàng)幾何誤差元素[37]，包含定位誤差、直線度誤差、角度誤差和垂直度誤差，如表1所示，所有幾何誤差的下標(biāo)定義參照文獻(xiàn)[38]。其中，定位誤差、直線度和角度誤差依賴(lài)于運(yùn)動(dòng)空間位置，屬于位置相關(guān)(Position dependent，PD)誤差；垂直度誤差不依賴(lài)運(yùn)動(dòng)空間位置，屬于位置無(wú)關(guān)(Position independent, PID)誤差。

表1 三軸數(shù)控機(jī)床幾何誤差元素

機(jī)床幾何誤差可看作剛體微量運(yùn)動(dòng)，根據(jù)旋量理論[38-39]可將表1的PID誤差與PD誤差分別表示為

(7)

(8)

式中i——誤差方向j——運(yùn)動(dòng)方向

S(Sij)——垂直度誤差旋量運(yùn)動(dòng)指數(shù)積表達(dá)式

D(δij)——直線度誤差旋量運(yùn)動(dòng)指數(shù)積表達(dá)式

R(εij)——角度誤差旋量運(yùn)動(dòng)指數(shù)積表達(dá)式

因式(2)的推導(dǎo)過(guò)程中忽略了運(yùn)動(dòng)誤差，因此可看作串聯(lián)機(jī)構(gòu)在理想狀態(tài)下的末端正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積。在機(jī)床的任意運(yùn)動(dòng)鏈引入上述幾何誤差的旋量運(yùn)動(dòng)表示后，通過(guò)對(duì)式(2)的進(jìn)一步拓展，便可以得到包括運(yùn)動(dòng)誤差在內(nèi)的末端實(shí)際正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積。

2.3 理想運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)誤差相乘次序的確定原則

在機(jī)床加工過(guò)程中，各部件的理想運(yùn)動(dòng)與誤差微量運(yùn)動(dòng)的向量疊加構(gòu)成了實(shí)際運(yùn)動(dòng)，結(jié)合上述兩節(jié)內(nèi)容可知，用上述兩種運(yùn)動(dòng)旋量指數(shù)表示乘積可以描述機(jī)床的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，因此，確定理想運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)誤差間的相乘次序是建立機(jī)床實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的關(guān)鍵?，F(xiàn)應(yīng)用多體系統(tǒng)理論的HTM變換，以X軸平動(dòng)為例來(lái)說(shuō)明理想運(yùn)動(dòng)矩陣與運(yùn)動(dòng)誤差矩陣相乘次序的確定原則。如圖4a所示，令OM為起始坐標(biāo)系，該系僅作X向理想運(yùn)動(dòng)后到達(dá)OWi系。當(dāng)存在6項(xiàng)PD誤差時(shí)，OWr為OM系移動(dòng)后(real.)的實(shí)際位置。則有

(9)

如果在OWi系下定義上述誤差元素，則

OWr=[EPD.]OWi

(10)

由此可得

OWr=[EPD.][idea.]OM

(11)

由式(11)可知，通過(guò)運(yùn)動(dòng)誤差右乘理想運(yùn)動(dòng)可得實(shí)際運(yùn)動(dòng)。同理，如果在OM系下定義上述PD誤差，如圖4b所示，則

(12)

可得

OW=[idea.][EPD.]OMi

(13)

此時(shí)通過(guò)運(yùn)動(dòng)誤差左乘理想運(yùn)動(dòng)可得實(shí)際運(yùn)動(dòng)。

顯然，式(11)、(13)的形式與對(duì)PD誤差定義方式有關(guān)。前者以動(dòng)點(diǎn)的理想運(yùn)動(dòng)后的位置作為參照來(lái)定義誤差，而后者則以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)前的初始位置作為參照來(lái)定義誤差。由此可得建立實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)理想運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)誤差乘積次序的確定原則為：①明確機(jī)床幾何誤差元素的定義坐標(biāo)系。②分析上述坐標(biāo)系是理想坐標(biāo)系還是初始坐標(biāo)系，如圖4所示。③根據(jù)分析結(jié)果，按式(11)、(13)構(gòu)建實(shí)際機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

2.4 三軸立式加工中心幾何誤差模型

由于制造和裝配缺陷，機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸在平移過(guò)程中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位姿與理想運(yùn)動(dòng)位姿存在偏差，此偏差被稱(chēng)為幾何誤差[40]。因此，在圖3所示的OW處建立工件坐標(biāo)系(Work-piece coordinate system, WCS)變得尤為必要，在此基礎(chǔ)上，求解WCS下刀尖點(diǎn)OT位姿正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積。在2.1節(jié)中，均以MCS為參考基準(zhǔn)構(gòu)建各運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)?，因此如果以WCS為參考基準(zhǔn)，對(duì)于工件運(yùn)動(dòng)鏈，式(5)可寫(xiě)為

gWM=(gMW)-1=(eegMW(0))-1

(14)

如果刀具運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)潢P(guān)系保持不變，則可以將工件鏈和刀具鏈耦合成如圖3虛線所示的立式加工中心整體運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)?，該拓?fù)潢P(guān)系以WCS為參考基準(zhǔn)。則在WCS下運(yùn)動(dòng)鏈末端刀尖點(diǎn)OT的理想正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積gi為

gi=(gWT)i=(gWM)i(gMT)i=(eegMW(0))-1(egMT(0))

(15)

在實(shí)際加工中，由于存在21項(xiàng)幾何誤差元素，機(jī)床刀尖點(diǎn)與理想點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)偏差。依據(jù)2.3節(jié)所提出的矩陣相乘次序確定原則可知，在進(jìn)行實(shí)際刀尖點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模時(shí)，運(yùn)動(dòng)誤差矩陣位于理想運(yùn)動(dòng)矩陣的右邊。因此聯(lián)立式(7)、 (8)、(15)，可得刀尖點(diǎn)在WCS下的實(shí)際正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積gr為

gr=(gWT)r=(gWM)r(gMT)r=(eD(δix)R(εix)S(Six)eD(δiy)·R(εiy)gMW(0))-1·(eD(δiz)R(εiz)S(Siz)gMT(0))=(eeeeeee·eeeeeee·egMW(0))-1·(eeeeeee·eegMT(0))

(16)

則立式加工中心的幾何誤差ET為

ET=gr-gi

(17)

根據(jù)文獻(xiàn)[41]的描述，理論上可以將幾何誤差分為可補(bǔ)償和不可補(bǔ)償兩類(lèi)，與機(jī)床切削點(diǎn)的自由度有關(guān)。三軸立式加工中心只有3個(gè)平動(dòng)軸，對(duì)于加工工件，只需要補(bǔ)償3個(gè)方向的幾何誤差，因此構(gòu)建幾何誤差ET時(shí)，提取出最后一列即可。則忽略二階和高階誤差項(xiàng)后，一階誤差模型為

(18)

式中Ex——幾何誤差ET在X方向上的分量

Ey——幾何誤差ET在Y方向上的分量

Ez——幾何誤差ET在Z方向上的分量

(x,y,z)——刀尖點(diǎn)在WCS下的位置坐標(biāo)

在POE旋量理論的基礎(chǔ)上建立了幾何誤差綜合模型，模型中包含立式加工中心21項(xiàng)幾何誤差元素中的18項(xiàng)，體現(xiàn)了模型的完備性。該模型包括實(shí)際位置與工件坐標(biāo)中切削點(diǎn)理想位置的偏差，可用于全局敏感性分析并計(jì)算補(bǔ)償值。

2.5 幾何誤差測(cè)量和辨識(shí)

在北京精雕Carver800T型三軸立式加工中心上測(cè)量幾何誤差來(lái)進(jìn)行全局敏感性分析。Carver800T型三軸立式加工中心為XYFZ型機(jī)床，機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖2所示，測(cè)量工作區(qū)的空間尺寸為600 mm×800 mm×300 mm，通過(guò)激光干涉儀(LDDM型)使用9線法來(lái)測(cè)量2.4節(jié)幾何誤差模型所包含的18項(xiàng)幾何誤差元素，測(cè)試點(diǎn)分布如圖5a所示。圖5b為激光干涉儀測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖。

通過(guò)機(jī)床單軸運(yùn)動(dòng)和雙軸同時(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)9線法測(cè)量，在機(jī)床測(cè)量空間中沿9條線在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)測(cè)量一次位移誤差，根據(jù)ISO 230-1[40]數(shù)控機(jī)床幾何誤差測(cè)量的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行3次連續(xù)測(cè)量以減輕幾何誤差項(xiàng)隨機(jī)特性的影響。通過(guò)求解線性方程確定18項(xiàng)幾何誤差元素，測(cè)量結(jié)果表明測(cè)量精度滿(mǎn)足全局敏感性分析的要求。

3 基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析

3.1 EFAST方法分析過(guò)程

EFAST方法的基本思想來(lái)自于貝葉斯定理，即認(rèn)為參數(shù)或輸入?yún)?shù)之間的相互作用會(huì)導(dǎo)致模型輸出的變化，它可以反映模型輸出對(duì)輸入?yún)?shù)的敏感度[34]。因此，可以通過(guò)分解模型方差來(lái)獲得參數(shù)與總方差之間的耦合關(guān)系，模型方差即是參數(shù)的敏感性指標(biāo)。圖6為基于EFAST方法的立式加工中心幾何誤差全局敏感性分析框架圖。輸入?yún)?shù)為X(x1,x2,…,xn)，每個(gè)誤差元素都有一定范圍的變化和分布形式，并且所有誤差元素都構(gòu)成一個(gè)多維參數(shù)空間。

3.2 全局敏感性分析建模

根據(jù)POE旋量理論建立了立式加工中心的幾何誤差模型，X軸、Y軸和Z軸誤差模型分別為

Ex=f(Sxz,δxx,δxy,δxz,εyx,εyy,εzy,εzx)

(19)

Ey=g(Sxy,Syz,δyx,δyy,δyz,εxx,εxy,εzx)

(20)

Ez=φ(δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εyx)

(21)

從式(19)～(21)可知，影響立式機(jī)床加工精度的主要幾何誤差元素共22個(gè)，其中X軸8個(gè)，Y軸8個(gè)，Z軸6個(gè)，有4個(gè)重復(fù)項(xiàng)。

以X軸誤差模型為例，基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析步驟如下：

(1)通過(guò)合適的Saltelli轉(zhuǎn)換函數(shù)[32]將y=f(x1,x2, …,x8)轉(zhuǎn)換為y=f(s)。轉(zhuǎn)換函數(shù)為

(22)

式中ωi——誤差元素xi振蕩頻率

s——標(biāo)量，s∈[-π，π]

φi——誤差元素的隨機(jī)相位，φi∈[0,2π]

通過(guò)傅里葉變換得到y(tǒng)=f(s)的表達(dá)式形式為

(23)

其中

(24)

A-p=Ap

(25)

B-p=Bp

(26)

式中p——傅里葉變換參數(shù)，p∈Z

Ap、Bp——傅里葉振幅

A-p、B-p——不包括p個(gè)參數(shù)的傅里葉振幅

傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜定義為

(27)

其中

Λ-p=Λp

(28)

式中Λ-p——不包括p個(gè)參數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)頻譜

(2)通過(guò)步驟(1)獲得頻譜Λp后，誤差元素xi變化引起的輸出方差Vi為

(29)

誤差模型總方差為

(30)

在[-π, π]范圍內(nèi)對(duì)標(biāo)量s進(jìn)行等間隔采樣，傅里葉振幅Ap和Bp的近似計(jì)算式為

(31)

式中Ns——采樣總數(shù)

p′——變化參數(shù)，p′∈{-(Ns-1)/2,…,-1,0,1,…,(Ns-1)/2}

sk——標(biāo)量s的第k個(gè)采樣值

(3)對(duì)模型總方差進(jìn)行分解可得

(32)

式中Vi——誤差元素xi自身變化引起的模型方差

Vi,j——誤差元素xi通過(guò)誤差元素xj貢獻(xiàn)的方差

V1,2,…,m——誤差元素x1通過(guò)其余m-1個(gè)誤差元素耦合作用貢獻(xiàn)的方差

(4)通過(guò)歸一化處理后，誤差元素xi的一階敏感度系數(shù)Si成為誤差模型輸出方差的直接貢獻(xiàn)，即

(33)

全局敏感度系數(shù)為

(34)

式中V-i——不包括誤差元素xi的所有誤差元素方差之和

(5)根據(jù)EFAST方法獲得的輸入誤差元素的一階敏感度系數(shù)和全局敏感度系數(shù)，判斷單個(gè)誤差元素對(duì)機(jī)床精度的影響以及耦合作用對(duì)機(jī)床精度的影響。

3.3 敏感性分析結(jié)果

EFAST方法應(yīng)用于幾何誤差的全局敏感性分析時(shí)，需要預(yù)先知道幾何誤差的概率分布。在立式加工中心的工作區(qū)中采用9線法測(cè)量幾何誤差，如圖5a所示，EFAST方法要求采樣數(shù)須大于幾何誤差元素?cái)?shù)的65倍，分析結(jié)果才有意義，因此根據(jù)拉丁超立方抽樣技術(shù)[26]，在每個(gè)測(cè)點(diǎn)中針對(duì)每個(gè)幾何誤差元素采集1 200個(gè)數(shù)據(jù)，作為幾何誤差全局敏感性分析模型的輸入?yún)?shù)。18項(xiàng)幾何誤差元素通過(guò)圖5b所示的激光干涉儀測(cè)得。表2給出了立式加工中心幾何誤差元素的概率特征，所有誤差元素均滿(mǎn)足正態(tài)分布。

表2 幾何誤差元素的概率特征

幾何誤差全局敏感性分析模型基于幾何誤差模型和全局敏感性分析方法建立，計(jì)算得到的幾何誤差的一階敏感度系數(shù)和全局敏感度系數(shù)以及分析結(jié)果如圖7、8所示。

以立式加工中心的誤差分量Ex的敏感性分析為例，根據(jù)圖7比較一階敏感度，識(shí)別出關(guān)鍵幾何誤差元素為：δxx、δxz、δxy、εyx、Sxz，敏感度系數(shù)分別為：0.3、0.23、0.14、0.04、0.03。根據(jù)圖8比較全局敏感度，識(shí)別出的強(qiáng)耦合幾何誤差元素為：δxx、εzx、δxz、δxy，敏感度系數(shù)分別為：0.17、0.09、0.08、0.06。因此，為減小X軸的幾何誤差Ex，應(yīng)著重補(bǔ)償修正上述幾何誤差元素，并合理強(qiáng)化X軸和Y軸的精度。同理，根據(jù)圖7和圖8，其余兩個(gè)軸的誤差分量和總幾何誤差對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵誤差元素、強(qiáng)耦合誤差元素均可識(shí)別，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 各軸幾何誤差與總幾何誤差的關(guān)鍵誤差元素識(shí)別結(jié)果

從敏感性分析結(jié)果可知，3項(xiàng)定位誤差、6項(xiàng)直線度誤差和1項(xiàng)垂直度誤差對(duì)立式加工中心的空間定位精度影響較大，而角度誤差的影響較小，可以看作是非關(guān)鍵誤差，另外，垂直度誤差是系統(tǒng)誤差，因此對(duì)其他誤差影響較小。這些誤差應(yīng)通過(guò)在機(jī)床設(shè)計(jì)中合理分配公差或補(bǔ)償誤差來(lái)嚴(yán)格控制。同時(shí)，敏感度系數(shù)可用于在加工和誤差補(bǔ)償過(guò)程中控制相關(guān)運(yùn)動(dòng)軸的關(guān)鍵誤差元素來(lái)提高機(jī)床的加工精度。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 補(bǔ)償策略

誤差補(bǔ)償對(duì)于驗(yàn)證幾何誤差模型和提高機(jī)床精度非常重要，為了在機(jī)床上實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，基于EFAST的全局敏感性分析方法，綜合考慮幾何誤差的隨機(jī)性和耦合效應(yīng)，通過(guò)反向添加補(bǔ)償值重構(gòu)理想加工代碼，修正運(yùn)動(dòng)軸的實(shí)際位置，來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何誤差補(bǔ)償。

(35)

通過(guò)式(35)建立了公差、標(biāo)準(zhǔn)差和敏感度系數(shù)之間的關(guān)系。一階敏感度是幾何誤差的主要敏感度，敏感度系數(shù)表示對(duì)幾何誤差總方差的直接貢獻(xiàn)，因此，選擇式(35)所示的幾何誤差元素的一階敏感度系數(shù)作為輸入?yún)?shù)。根據(jù)設(shè)計(jì)精度要求，高精度三軸機(jī)床的幾何誤差小于25 μm。 根據(jù)一階敏感度和機(jī)床的設(shè)計(jì)精度，可以獲得各幾何誤差元素補(bǔ)償值的標(biāo)準(zhǔn)差。

補(bǔ)償值可以通過(guò)本文建立的幾何誤差模型、幾何誤差辨識(shí)值和加工代碼計(jì)算得到，補(bǔ)償值的均值為幾何誤差重復(fù)測(cè)量辨識(shí)值的平均值，補(bǔ)償值的標(biāo)準(zhǔn)差取決于EFAST全局敏感性分析結(jié)果，如表4所示。通過(guò)選擇合理范圍內(nèi)的補(bǔ)償值，可以有效地控制幾何誤差的隨機(jī)特征和耦合特征。

表4 幾何誤差元素補(bǔ)償值的標(biāo)準(zhǔn)差

4.2 補(bǔ)償與驗(yàn)證

為驗(yàn)證幾何誤差敏感性分析方法的有效性，本研究在具有開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)Carver800T型三軸立式加工中心上進(jìn)行幾何誤差補(bǔ)償試驗(yàn)。Carver800T型機(jī)床的X軸、Y軸和Z軸的行程分別為600、800、300 mm，絲桿螺距為16 mm，3個(gè)軸的定位精度和重復(fù)定位精度分別為0.008 mm和0.005 mm。幾何誤差補(bǔ)償基于伺服控制系統(tǒng)中的位置控制進(jìn)行，插補(bǔ)指令在總線接口的前端進(jìn)行修改，通過(guò)反饋中斷補(bǔ)償方法實(shí)現(xiàn)，補(bǔ)償原理如圖9所示。

幾何誤差補(bǔ)償試驗(yàn)系統(tǒng)如圖10所示，主要包括Carver800T型三軸立式加工中心、伺服電機(jī)、直線光柵尺、放大器和dSPACE開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)。補(bǔ)償試驗(yàn)系統(tǒng)由dSPACE開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)控制，每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸由與伺服電機(jī)及其放大器耦合的滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)。dSPACE開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)由主機(jī)和從機(jī)組成，主機(jī)通過(guò)基于dSPACE的特殊軟件進(jìn)行人機(jī)交互代碼的生成和數(shù)據(jù)保存，從機(jī)負(fù)責(zé)實(shí)時(shí)控制和信號(hào)采集。從機(jī)上的數(shù)字PID運(yùn)動(dòng)控制器生成控制信號(hào)，該信號(hào)發(fā)送到相應(yīng)的放大器。安裝在機(jī)床床身的直線光柵尺生成位置反饋信號(hào)，速度和扭矩反饋信號(hào)可以通過(guò)直接耦合到伺服電機(jī)的編碼器獲得，最后，位置信號(hào)、速度信號(hào)和扭矩信號(hào)通過(guò)數(shù)據(jù)總線發(fā)送到主機(jī)，主機(jī)根據(jù)采集的數(shù)據(jù)計(jì)算幾何誤差補(bǔ)償值，生成補(bǔ)償加工代碼實(shí)現(xiàn)幾何誤差補(bǔ)償。

誤差補(bǔ)償后再次進(jìn)行測(cè)量，將測(cè)量結(jié)果代入式(18)中可獲得相應(yīng)的空間誤差分量，圖11為沿X、Y和Z3個(gè)運(yùn)動(dòng)軸方向的幾何誤差補(bǔ)償與未補(bǔ)償結(jié)果比較。

由圖11可以看出，對(duì)關(guān)鍵幾何誤差元素進(jìn)行補(bǔ)償后，Ex、Ey和Ez幾何誤差范圍分別為：-6.4～5.5 μm、-4.2～4.6 μm和-2.1～1.6 μm，而補(bǔ)償前，3個(gè)誤差分量的幾何誤差范圍分別為：-13.6～14.8 μm、-12.8～11.2 μm和-6.7～0 μm。從比較結(jié)果可知，經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后，Ex、Ey和Ez的幾何誤差遠(yuǎn)小于未補(bǔ)償前的幾何誤差，其補(bǔ)償率分別達(dá)到60%、66%和74%。

幾何誤差補(bǔ)償前后的結(jié)果表明，采用開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)可以對(duì)三軸立式加工中心的幾何誤差進(jìn)行有效補(bǔ)償，而基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析的補(bǔ)償方法對(duì)提高加工精度是有效的。

5 結(jié)論

(1)基于POE旋量理論和串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，綜合考慮機(jī)床部件的幾何誤差，建立了三軸立式加工中心幾何誤差預(yù)測(cè)模型。

(2)根據(jù)幾何誤差模型，提出了三軸立式加工中心幾何誤差敏感性分析方法，采用EFAST全局敏感性分析法進(jìn)行三軸機(jī)床的敏感性分析建模，并推導(dǎo)出立式加工中心的敏感性分析模型。

(3)以誤差檢測(cè)試驗(yàn)為例對(duì)立式加工中心進(jìn)行誤差敏感性分析，得到了影響Ex、Ey和Ez3個(gè)誤差分量的關(guān)鍵誤差和強(qiáng)耦合誤差元素，最終識(shí)別出影響機(jī)床加工精度的關(guān)鍵性誤差，實(shí)現(xiàn)了誤差溯源，為精密數(shù)控機(jī)床設(shè)計(jì)提供了重要的理論依據(jù)。

(4)使用立式機(jī)床和開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)構(gòu)建了誤差補(bǔ)償系統(tǒng)，進(jìn)行了誤差補(bǔ)償試驗(yàn)，試驗(yàn)表明，對(duì)識(shí)別出的關(guān)鍵誤差元素進(jìn)行補(bǔ)償后，Ex、Ey和Ez3個(gè)誤差分量的幾何誤差遠(yuǎn)小于未補(bǔ)償前的幾何誤差，其補(bǔ)償率分別達(dá)到60%、66%和74%，從而驗(yàn)證了本文方法的可行性、準(zhǔn)確性和有效性。