甘露, 晏自紅, 劉晉紅, 羅明良

西華師范大學(xué)，四川 南充 637002

Mandelbrot發(fā)表《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)?統(tǒng)計(jì)自相似和分?jǐn)?shù)維度》提出分形理論后，分形方法在不同領(lǐng)域內(nèi)都得到廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用于溝谷形態(tài)分析[1-5]、地貌格局差異[6]，以及土壤侵蝕響應(yīng)[7,8]等方面。度量水系結(jié)構(gòu)復(fù)雜性常用指標(biāo)之一就是分形維數(shù)[9]，朱曉華應(yīng)用分形理論研究了整個(gè)中國(guó)水系及其各組成水系的分形結(jié)構(gòu)特征[3]。孟憲萌對(duì)不同地貌類型的長(zhǎng)江流域進(jìn)行分形分維計(jì)算，通過(guò)盒維數(shù)判定對(duì)應(yīng)的地貌發(fā)育階段[10]。梁春玲計(jì)算祖厲河流域分維值，刻畫(huà)了流域地貌形態(tài)特征[11]。何直立將秦嶺地區(qū)的22個(gè)典型流域利用盒維數(shù)法進(jìn)行分析，探索流域形態(tài)特征及水文特征的相關(guān)性和空間分異性[12]。前人基于分維研究，劃分了流域地貌發(fā)育階段[13]。上述研究從全國(guó)[3]、流域[10,11]、區(qū)域[12]等不同尺度對(duì)河網(wǎng)或水系的形態(tài)特征進(jìn)行了研究。從研究的熱點(diǎn)區(qū)域來(lái)看，主要涉及秦嶺山區(qū)、長(zhǎng)江流域等地。我國(guó)黃土高原被譽(yù)為全球最具有地學(xué)研究?jī)r(jià)值的地理研究區(qū)域之一[14]，黃土溝谷承襲下伏基巖，在構(gòu)造、風(fēng)力和水力等內(nèi)外營(yíng)力共同作用下，經(jīng)流水等的侵蝕，形成了現(xiàn)在形態(tài)差異明顯的溝谷[15,16]。黃土溝谷研究方面，前人在黃土溝頭[17]、溝谷節(jié)點(diǎn)提取及分析[7,18]、溝谷密度及空間分異[19]、河網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其自相似性[20]、橫剖面形態(tài)特征[21]等進(jìn)行了深入研究，分析了影響黃土溝谷發(fā)育的上坡匯水面積閾值及其影響因素[22]，探討了黃土地貌發(fā)育階段[23,24]及溝谷侵蝕-堆積過(guò)程[25]。這些研究，豐富和發(fā)展了黃土溝谷研究，尤其是數(shù)字高程模型（Digital elevation model，DEM）及數(shù)字地形分析方法，在地貌形態(tài)研究中得到深入應(yīng)用，啟迪了基于DEM的黃土溝谷分維特征研究的新思索，產(chǎn)生了新的疑問(wèn)：流域的上游一般坡度較大[22,26]，與中下游相比形態(tài)差異明顯；如果采用盒維數(shù)D=1.6來(lái)劃分全流域地貌發(fā)育階段，將無(wú)法體現(xiàn)流域源頭與其他河段的差異，結(jié)論相對(duì)勉強(qiáng)[27]。能否分別對(duì)河流上游及其他河段進(jìn)行形態(tài)分析，研究其盒維數(shù)差異?一級(jí)支流盒維數(shù)如何區(qū)別于其他級(jí)別?基于上述考慮，以黃土高原綏德典型小流域?yàn)槔治隽瞬煌瑓R流閾值提取溝谷對(duì)盒維數(shù)的影響；對(duì)比了全流域尺度盒維數(shù)與不同河段盒維數(shù)的差異；探索了級(jí)別差異如何影響盒維數(shù)。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 實(shí)驗(yàn)樣區(qū)

典型小流域溝位于陜西省綏德縣（見(jiàn)圖1），在黃土高原丘陵溝壑區(qū)第一副區(qū)具有代表性。該流域的氣候類型為半干旱大陸性氣候，區(qū)域內(nèi)水土流失嚴(yán)重，多年平均降雨量為475.1 mm；全年64.4%的降雨集中于七、八、九月的汛期中，多出現(xiàn)暴雨天氣。該小流域是無(wú)定河中游的一條支溝，流域面積70.7 km2，主溝長(zhǎng)18 km，溝壑密度是5.34 km·km-2。

1.2 水系提取的基本步驟

圖1 綏德流域 DEMFig.1 DEM of Suide valley

采用1∶1萬(wàn)DEM作為基本數(shù)據(jù)，基于地表徑流漫流模型河網(wǎng)水系提取。水文分析步驟如下：填洼DEM；在ArcGIS平臺(tái)下通過(guò)D8算法來(lái)確定水流方向；流量累積柵格的確定；提取水系。設(shè)置200和1 800兩個(gè)閾值對(duì)該小流域進(jìn)行河網(wǎng)的提取。當(dāng)匯流累積量為1 800 時(shí)，所提取的河網(wǎng)密度3.15 km·km-2最接近實(shí)際情況?？紤]不同閾值對(duì)盒維數(shù)的影響，選擇了閾值差距接近為10倍的200作為對(duì)比閾值參數(shù)（見(jiàn)圖2）。

圖2 盒維數(shù)流程圖Fig.2 Box dimension flow char

1.3 盒維數(shù)法

水系的分維一定程度上反映了水系發(fā)育程度，常用的分形維數(shù)有盒維數(shù)，關(guān)聯(lián)維數(shù)。本文采用盒維數(shù)法來(lái)描述小流域的分形特征?；谒档拈L(zhǎng)度流域面積關(guān)系采用網(wǎng)格覆蓋法來(lái)計(jì)算盒維數(shù)。即為，采用正方形格網(wǎng)來(lái)覆蓋研究范圍的河網(wǎng)，再求出覆蓋整個(gè)水系的正方形格網(wǎng)數(shù)目。隨著格網(wǎng)邊長(zhǎng)的變化，網(wǎng)格數(shù)據(jù)也隨之改變。用邊長(zhǎng)和格網(wǎng)數(shù)目做雙對(duì)數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合出的直線斜率即為所求盒維數(shù)。

何隆華、趙宏等人提出了基于盒維數(shù)劃分流域地貌發(fā)育階段的標(biāo)準(zhǔn)。認(rèn)為，當(dāng)流域范圍里的水系的分維數(shù)小于1.6時(shí)，流域地貌處于侵蝕發(fā)育階段的幼年期；當(dāng)分維值大于1.6小于1.89時(shí)，流域地貌屬于壯年期；當(dāng)分維值大于1.89小于2.0時(shí)，流域地貌處于侵蝕發(fā)育階段的老年期。

2 結(jié)果與分析

基于綏德典型小流域1∶1萬(wàn)的DEM，選取閾值為1 800進(jìn)行水文分析，構(gòu)建河網(wǎng)。采用網(wǎng)格法進(jìn)行分形分維分析計(jì)算盒維數(shù)，網(wǎng)格長(zhǎng)度和網(wǎng)格數(shù)目分別求對(duì)數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行線性分析，得到以下關(guān)系式，如圖3所示：

其中X為網(wǎng)格長(zhǎng)度對(duì)數(shù)，Y為網(wǎng)格數(shù)目對(duì)數(shù)，其線性回歸關(guān)系式的相關(guān)系數(shù)R2為0.99，表明網(wǎng)格長(zhǎng)度與網(wǎng)格數(shù)目密切相關(guān)，證明在1 800閾值下河網(wǎng)的分形分維特性是客觀存在的。1.23為閾值1 800提取的河網(wǎng)的盒維數(shù)（見(jiàn)表1）。

圖3 閾值 1 800 網(wǎng)格法計(jì)算Fig.3 Threshold 1 800 grid computing

由圖3可以看出，盡管得到較好的雙對(duì)數(shù)線性關(guān)系，但是圖中點(diǎn)對(duì)應(yīng)存在兩段線性趨勢(shì)。分別擬合兩段線性關(guān)系得到的回歸方程如（2）（3）所示。其中（2）對(duì)應(yīng)的無(wú)標(biāo)度區(qū)間為[3.66, 2.64]，（3）對(duì)應(yīng)的無(wú)標(biāo)度區(qū)間為[2.30, 1.17]。

為探究?jī)蓚€(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)間對(duì)應(yīng)的溝谷位置，將無(wú)標(biāo)度區(qū)間對(duì)應(yīng)的柵格像素疊合得到圖4所示的空間示意圖。從圖中可以看出，該無(wú)標(biāo)度區(qū)間所對(duì)應(yīng)的位置大致為小流域源頭區(qū)。另一個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)間對(duì)應(yīng)的空間位置大致為小流域的中下游。

由此可知，盡管盒維數(shù)可以用來(lái)描述流域地貌形態(tài)，但源頭區(qū)和小流域中下游顯著不同。為了印證這一觀點(diǎn)，進(jìn)一步單獨(dú)提取了小流域一級(jí)支流，其盒維數(shù)為1.08.表示這部分為溝谷幼年期，代表了溝谷源頭區(qū)的發(fā)育狀態(tài)。

為了印證這一觀點(diǎn)，設(shè)定閾值為200，重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)，得出小流域整體盒維數(shù)為1.48；分段擬合的盒維數(shù)為1.07和1.66。一級(jí)支流的盒維數(shù)為1.29（見(jiàn)表1）。

3 討論

（1）閾值對(duì)溝谷盒維數(shù)的影響

從表1可知，閾值在200時(shí)提取的河網(wǎng)在全局、源頭區(qū)和中下游計(jì)算的盒維數(shù)分別為1.48，1.07和1.66。閾值為1 800時(shí)提取的河網(wǎng)在全局、源頭區(qū)和中下游計(jì)算的盒維數(shù)分別為1.23，1.02和1.66。閾值為200和1 800提取的河網(wǎng)在全局和源頭區(qū)盒維數(shù)均小于1.6，表明流域發(fā)育階段均為幼年期；中下游階段均大于1.6，則流域發(fā)育階段為壯年期。

表1 小流域盒維數(shù)值Tab.1 Box dimension of Suide small valley

圖4 研究區(qū)提取河網(wǎng)Fig.4 Extraction of river network in the study area

閾值為200提取的河網(wǎng)和閾值為1 800提取的河網(wǎng)如圖4所示。從圖4可以看出，閾值為200提取的河網(wǎng)是包括小溝谷在內(nèi)的溝谷網(wǎng)絡(luò)，而閾值為1 800提取的河網(wǎng)是相對(duì)較大的溝谷網(wǎng)絡(luò)。并且如表1所示，閾值為1 800的河網(wǎng)的盒維數(shù)均比閾值為200時(shí)河網(wǎng)的盒維數(shù)小，由于1 800時(shí)的溝谷密度為3.15 km·km-2，小于200時(shí)的溝谷維數(shù)，表明溝谷密度對(duì)盒維數(shù)影響較大。

（2）河流上中下游對(duì)盒維數(shù)的影響

小流域進(jìn)行分段擬合其盒維數(shù)，通過(guò)表1可以得到，河流的源頭區(qū)閾值為200和1 800提取的河網(wǎng)盒維數(shù)分別為1.07和1.02，為河谷發(fā)育的幼年期；河流的中下游盒維數(shù)均為1.66，為河谷發(fā)育的壯年期。從河流的分段來(lái)看，河流源頭區(qū)的盒維數(shù)比中下游盒維數(shù)小，河流源頭區(qū)比中下游發(fā)育階段更年輕。

研究區(qū)域的全局及分段的變化會(huì)影響溝谷的盒維數(shù)，從表1看出，溝頭處一般為幼年期，中下游可能是壯年期。實(shí)際小流域地貌受流域地區(qū)的植被分布情況，地貌類型，地質(zhì)構(gòu)造等因素共同作用，全局的單一分維數(shù)而言，并不能代表整個(gè)小流域的分形特征。

（3）河網(wǎng)等級(jí)對(duì)溝谷盒維數(shù)的影響

閾值為200和1 800提取的河網(wǎng)一級(jí)支流全局盒維數(shù)分別為1.29和1.08，全流域盒維數(shù)分別為1.48和1.23。一級(jí)支流全局盒維數(shù)均小于全流域盒維數(shù)。一級(jí)支流源頭區(qū)和中下游區(qū)盒維數(shù)也同樣小于全流域源頭區(qū)和中下游區(qū)盒維數(shù)。表明，一級(jí)支流河網(wǎng)發(fā)育階段比全流域更加年輕。對(duì)分級(jí)支流來(lái)看，本文僅分析一級(jí)支流的分維數(shù)，對(duì)于不同級(jí)別的支流之間分形分維特征的變化趨勢(shì)也值得進(jìn)一步研究。