田 綴

（西安電子科技大學(xué)，陜西西安710071）

引 言

無(wú)論是生產(chǎn)中還是生活中，振動(dòng)都是一種常見的現(xiàn)象。隨著機(jī)械設(shè)備運(yùn)行速度的提高，相關(guān)的振動(dòng)問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注。振動(dòng)不僅容易引起結(jié)構(gòu)的疲勞損傷，加速機(jī)器老化，影響設(shè)備壽命，而且還會(huì)降低儀器儀表的測(cè)量精度。除此之外，針對(duì)敏感設(shè)備面臨的日益苛刻的振動(dòng)環(huán)境適應(yīng)性要求，開展減振設(shè)計(jì)方法和應(yīng)用研究成為無(wú)法規(guī)避、必須解決的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)載電子設(shè)備的減振設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究。長(zhǎng)期以來(lái)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的發(fā)展很多都局限于線性振動(dòng)控制的研究。通常，對(duì)機(jī)載設(shè)備進(jìn)行減振一般有如下幾種方法：1）從優(yōu)化設(shè)備結(jié)構(gòu)形式上進(jìn)行減振設(shè)計(jì)[2–3]；2）通過(guò)安裝阻尼器、涂覆阻尼材料等措施增加系統(tǒng)阻尼來(lái)減小系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)[4]；3）安裝吸振器將電子設(shè)備的振動(dòng)響應(yīng)轉(zhuǎn)移到吸振器的振子上[5]。其中安裝吸振器的方式具有實(shí)施簡(jiǎn)單、減振效果明顯的優(yōu)點(diǎn)，受到大量設(shè)計(jì)師的青睞，特別是在機(jī)載電子設(shè)備領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛。

然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，僅用線性理論分析非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為還顯得很不夠，在某些特定情況下，非光滑和不連續(xù)因素對(duì)機(jī)械工程問(wèn)題的影響越來(lái)越引起人們的關(guān)注，考慮系統(tǒng)中非線性因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響已成為非線性動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)之一[6]，應(yīng)用非線性吸振器進(jìn)行振動(dòng)能量的衰減和吸收也開始引起學(xué)者們的興趣[7–8]。非線性吸振器具有多種吸振原理，如非線性能量阱、自參數(shù)共振等。自參數(shù)吸振器（Auto-parametric Vibration Absorber,AVA）是較為常見的一種非線性吸振器。在工程應(yīng)用中，為了減小主系統(tǒng)的振動(dòng)，通常給主系統(tǒng)增加一個(gè)擺或類似擺作用的輔助機(jī)構(gòu)[9]，而把原先的振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)樽詤?shù)振動(dòng)系統(tǒng)。由于自參數(shù)共振產(chǎn)生內(nèi)作用而使擺開始擺動(dòng)，吸收主系統(tǒng)的部分能量，從而減弱主系統(tǒng)的振動(dòng)。自參數(shù)動(dòng)力吸振器就是利用該原理制成。

眾所周知，線性動(dòng)力吸振器（Tuned Mass Damper,TMD）是機(jī)械結(jié)構(gòu)中常用的線性動(dòng)力吸振器，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，對(duì)其加入主動(dòng)控制策略從而引入了主動(dòng)TMD、半主動(dòng)TMD和混合TMD的概念，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)更好的減振效果以及魯棒性。而自參數(shù)吸振器是一種典型的非線性吸振器，尤其適用于機(jī)械結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)控制，其減振效果已經(jīng)被很多學(xué)者證實(shí)[10]。除此之外，為了擴(kuò)大自參數(shù)單擺的有效帶寬，文獻(xiàn)[11]還研究了一系列固有頻率略有不同的單擺。然而，如果采取被動(dòng)控制的方式抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，吸振器一旦設(shè)計(jì)制作完成，將不能適應(yīng)系統(tǒng)、環(huán)境等不斷改變的要求，其性能將發(fā)生改變[12–13]。這些因素均會(huì)使得被動(dòng)裝置結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的魯棒性不盡如人意，而半主動(dòng)控制可以解決這一問(wèn)題，尤其適用于中等振幅和大振幅。本文以單擺自參數(shù)吸振器為研究對(duì)象，詳細(xì)研究了其解的形式以及半平凡解的穩(wěn)定性，通過(guò)對(duì)單擺擺長(zhǎng)的主動(dòng)控制，提出了時(shí)變擺長(zhǎng)的概念，對(duì)半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器進(jìn)行研究設(shè)計(jì)。最后利用數(shù)值仿真的方法驗(yàn)證了半主動(dòng)自參數(shù)吸振器較好的減振效果。

1 單擺自參數(shù)吸振器

考慮一個(gè)帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動(dòng)力吸振器的自參數(shù)耦合動(dòng)力系統(tǒng)（圖1）。其中，t為時(shí)間；m1,c1,k1為線性主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；m2,c2為擺的質(zhì)量和阻尼系數(shù)；l為其擺長(zhǎng)；x為主結(jié)構(gòu)在外力Fcos(ωt)作用下的垂直振動(dòng)響應(yīng)；ω為激勵(lì)頻率；θ為非線性耦合項(xiàng)ml¨xsinθ對(duì)單擺自參數(shù)吸振器進(jìn)行參數(shù)激勵(lì)而產(chǎn)生的擺幅。

圖1 帶有單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)

根據(jù)Hamilton原理，該耦合系統(tǒng)的控制方程為：

利用表1定義的符號(hào)，式（1）的控制方程可以轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱形式：

表1 文中的無(wú)量綱符號(hào)定義

1.1 半平凡解與非平凡解

本文討論由外力引起的自參數(shù)耦合系統(tǒng)的諧波運(yùn)動(dòng)。通常情況下，有兩種解。一種是半平凡解，即單擺不擺動(dòng)，主結(jié)構(gòu)受外力激勵(lì)而進(jìn)行諧波振動(dòng)。即：

主系統(tǒng)的響應(yīng)幅值A(chǔ)0可表示為：

另一種是非平凡解。單擺AVA平衡位置由于2:1的內(nèi)共振而變得不穩(wěn)定，從而引起單擺的擺動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)減小。這時(shí)，施加在主結(jié)構(gòu)上的力不僅包括外激勵(lì)，還包括由于單擺AVA的振動(dòng)而產(chǎn)生的反作用力。假設(shè)耦合系統(tǒng)的非平凡解為：

式中：?1,?2分別為響應(yīng)y,θ的相位差；B0為響應(yīng)θ的幅值。將式（5）代入式（2），主系統(tǒng)的響應(yīng)幅值A(chǔ)0可表示為[9]：

由式（6）可以看出，當(dāng)αβ=1/2（ω2/ω=1/2）時(shí)，A0可以得到最小的響應(yīng)。此外，和線性TMD相似，單擺AVA的減振效果主要取決于自身參數(shù)的合理設(shè)計(jì)。本文主要利用變剛度的方法使主結(jié)構(gòu)在耦合系統(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]的響應(yīng)A0最小，即在定義為[ωa,ωb]的自參數(shù)共振區(qū)域中一直有ω2/ω≈1/2。因此，為了減小主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，應(yīng)首先得到式（2）中耦合系統(tǒng)的非平凡解。

1.2 半平凡解穩(wěn)定邊界

自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解和非平凡解之間的穩(wěn)定邊界的尋找最終歸結(jié)于經(jīng)典的Mathieu方程的穩(wěn)定性邊界研究。假設(shè)ε為無(wú)窮小量，Mathieu方程是最簡(jiǎn)單的具有參數(shù)不穩(wěn)定性的方程，其中有無(wú)窮多個(gè)頻率是不穩(wěn)定的，而最不穩(wěn)定的是第一次諧波頻率：

圖2給出了不同阻尼比下非線性耦合系統(tǒng)第一次諧波頻率的穩(wěn)定邊界。不穩(wěn)定區(qū)域?yàn)榉前肫椒步獾念l率區(qū)域。可以看到：隨著阻尼比的增大，不穩(wěn)定區(qū)域有縮小的趨勢(shì)。也就是說(shuō)，對(duì)于較小的阻尼比，半平凡解更容易變得不穩(wěn)定，單擺吸振器也更容易被激勵(lì)，從而吸收主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量。

圖2 自參數(shù)系統(tǒng)半平凡解的穩(wěn)定邊界

隨著自參數(shù)激勵(lì)幅值A(chǔ)0的增大，次諧波頻率附近的不穩(wěn)定區(qū)域呈不對(duì)稱趨勢(shì)。在不穩(wěn)定區(qū)域的非對(duì)稱區(qū)域，文獻(xiàn)[14]發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)非平凡解的Hopf分岔，唯一的非平凡解將失去穩(wěn)定性。因此，為了避免非平凡解的進(jìn)一步不穩(wěn)定，進(jìn)而發(fā)生混沌現(xiàn)象，本文研究在小幅激勵(lì)下的半主動(dòng)自參數(shù)吸振器的減振性能。

2 半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器

半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器的實(shí)現(xiàn)主要是通過(guò)向單擺增加控制，進(jìn)而根據(jù)外界激勵(lì)頻率來(lái)主動(dòng)控制單擺的固有頻率，使主結(jié)構(gòu)在自參數(shù)共振區(qū)域響應(yīng)最低點(diǎn)處相應(yīng)的αβ始終等于或接近1/2。

2.1 半主動(dòng)自參數(shù)單擺數(shù)值建模

為了用相應(yīng)的精確αβ來(lái)跟蹤最低點(diǎn)，用不同的頻率比β計(jì)算了一系列的幅值響應(yīng)曲線，然后確定每個(gè)幅值響應(yīng)曲線對(duì)應(yīng)的最低點(diǎn)（對(duì)應(yīng)的α）。圖3顯示了在每個(gè)最低點(diǎn)選擇的α和β的值，并給出了α與β的線性擬合曲線?？梢钥闯?，在小激勵(lì)幅度下與解αβ=1/2的擬合曲線吻合較好。

使用圖3自參數(shù)共振區(qū)中的精確值進(jìn)行計(jì)算，圖4是主結(jié)構(gòu)和分別帶有被動(dòng)和半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線。可以看出：與被動(dòng)自參數(shù)吸振器相比，半主動(dòng)方法改善了單擺自參數(shù)吸振器的阻尼效果，增大了耦合系統(tǒng)的自參數(shù)共振區(qū)域（有效帶寬）。圖5是單擺的相應(yīng)頻響曲線，表明了主結(jié)構(gòu)和被動(dòng)、半主動(dòng)自參數(shù)吸振器的自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]。值得一提的是：在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]內(nèi)，單擺的頻率隨激勵(lì)頻率而變化；而在該區(qū)域之外，擺的頻率是固定的，頻率比β設(shè)定為0.5。

圖3 在幅值響應(yīng)最低點(diǎn)的α和β的關(guān)系圖

圖4 主結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)帶有被動(dòng)、半主動(dòng)單擺AVA的頻響曲線（精確值見圖3 ）

圖5 被動(dòng)和半主動(dòng)單擺AVA的頻響曲線

圖6和圖7將利用自參數(shù)共振區(qū)域中的精確值和擬合值計(jì)算得到的半主動(dòng)自參數(shù)吸振器的減振效果進(jìn)行了比較?？梢钥闯觯涸隈詈舷到y(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]，依據(jù)ω2/ω=1/2，半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器在工程中可以線性實(shí)現(xiàn)。

圖6 主結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)帶有半主動(dòng)單擺AVA的頻響曲線

圖7 半主動(dòng)單擺AVA的頻響曲線（精確值和擬合值見圖3 ）

2.2 時(shí)變擺長(zhǎng)設(shè)計(jì)

眾所周知，單擺的固有頻率可以很簡(jiǎn)單地根據(jù)其長(zhǎng)度來(lái)調(diào)整。因此，在一定的掃頻速度下，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)單擺長(zhǎng)度隨掃頻激勵(lì)頻率ω變化的半主動(dòng)自參數(shù)吸振器。單擺長(zhǎng)度可以根據(jù)每個(gè)頻響曲線的最低點(diǎn)αβ的值來(lái)調(diào)整，其變化規(guī)律如下：

圖8是式（8）中的掃頻激勵(lì)頻率與單擺長(zhǎng)度之間的關(guān)系圖。擺長(zhǎng)隨激勵(lì)頻率的增加呈拋物線型變化。可以看出：基于分段線性化方法，可以在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]進(jìn)行線性化處理，因此可以得到一個(gè)便于工程應(yīng)用的時(shí)變擺長(zhǎng)的半主動(dòng)自參數(shù)吸振器。

圖8 擺長(zhǎng)與激勵(lì)頻率的變化規(guī)律

然而，在工程應(yīng)用中，實(shí)現(xiàn)時(shí)變長(zhǎng)度是一個(gè)有待解決的問(wèn)題。一方面，可以使用帶有記憶元件的智能材料來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，形狀記憶合金允許從溫度變化引起的相變中恢復(fù)高達(dá)5%的應(yīng)變[15]。擺的時(shí)變長(zhǎng)度應(yīng)通過(guò)在線識(shí)別信號(hào)進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償[16]。另一方面，如果將由永磁體組成的剛度調(diào)節(jié)裝置連接到單擺上，可以根據(jù)所產(chǎn)生的磁力直接調(diào)節(jié)單擺的固有頻率[17]。

3 數(shù)值仿真

利用Simulink對(duì)圖1的自參數(shù)耦合系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，其主結(jié)構(gòu)有量綱參數(shù)為：ξ0=1%，?=4.8 Hz，m1=5 kg。在工程應(yīng)用中，為了不改變主結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為，被動(dòng)TMD的質(zhì)量通常為主結(jié)構(gòu)的1%～3%。對(duì)于自參數(shù)吸振器的被動(dòng)裝置也同樣如此。假設(shè)單擺自參數(shù)吸振器的質(zhì)量為主結(jié)構(gòu)的3%，激勵(lì)振幅為0.35 N，為了便于得到自參數(shù)吸振器的非平凡解，將其單擺阻尼比設(shè)定為0.1%，接近于零。給單擺施加主動(dòng)控制后，單擺自參數(shù)吸振器的減振性能可通過(guò)其長(zhǎng)度來(lái)調(diào)節(jié)。單擺擺長(zhǎng)通過(guò)掃頻速度進(jìn)行線性調(diào)節(jié)。

圖9是帶有被動(dòng)和半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線?？梢钥闯觯涸诰€性掃頻激勵(lì)下，采用半主動(dòng)方式提高了被動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器的減振性能。需要注意的是，當(dāng)單擺自參數(shù)吸振器在自參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)振動(dòng)時(shí)，由于其非線性效應(yīng)，主結(jié)構(gòu)的頻響曲線會(huì)出現(xiàn)微小的振蕩現(xiàn)象。此外，在恒定掃描速度0.03 Hz?s下，在自動(dòng)參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)的單擺長(zhǎng)度可從48 mm線性變化到39 mm。

圖9 帶有被動(dòng)AVA和半主動(dòng)AVA的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種半主動(dòng)自參數(shù)吸振器的數(shù)值設(shè)計(jì)方法；通過(guò)對(duì)帶有吸振器的線性主結(jié)構(gòu)的自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解穩(wěn)定性邊界的探討，找出了在自參數(shù)共振區(qū)域半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器頻率的線性變化規(guī)律；進(jìn)而基于分段線性化方法，提出了便于工程應(yīng)用的時(shí)變擺長(zhǎng)的設(shè)計(jì)方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明：在相同質(zhì)量的條件下，半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器很好地改善了被動(dòng)自參數(shù)吸振器的減振性能。受目前條件所限，不能對(duì)該半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，僅用數(shù)值仿真的辦法對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。關(guān)于半主動(dòng)單擺自參數(shù)吸振器的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕⒓捌錅p振效果的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，將是后續(xù)工作中的研究重點(diǎn)。