李 暢，賀景瑞，李 懋，賴 鵬

（中國(guó)人民解放軍63795部隊(duì)，北京100089）

1 引言

太陽(yáng)、地球和衛(wèi)星，三者在太空中依據(jù)其軌道運(yùn)行規(guī)律不停變換相對(duì)位置關(guān)系。在某些特殊時(shí)間和條件下，衛(wèi)星處于地球相對(duì)太陽(yáng)背面，從而受地球遮擋無(wú)法接收太陽(yáng)光，此類現(xiàn)象叫做“地影”[1-2]，如圖1所示。

圖1 地影示意圖

作為天體運(yùn)動(dòng)不可避免的現(xiàn)象，“地影”的覆蓋范圍相當(dāng)廣泛，包括地球同步靜止軌道衛(wèi)星、太陽(yáng)同步軌道衛(wèi)星等各類型衛(wèi)星基本上都會(huì)面臨地影約束。例如GEO衛(wèi)星地影期出現(xiàn)在星下點(diǎn)當(dāng)?shù)卮悍?、秋分前后，每期延續(xù)天數(shù)約46 d，單次最長(zhǎng)地影時(shí)長(zhǎng)約72 min[3]。由于“地影”期間太陽(yáng)光被地球遮擋，在缺失陽(yáng)光這一太空中最重要的自然能量來(lái)源后，航天器在軌健康運(yùn)行管理將面臨嚴(yán)峻考驗(yàn)[4]。

首先，地影期間航天器無(wú)法接收太陽(yáng)光，部分賴以依靠陽(yáng)光工作的部件將失去效能。如太陽(yáng)帆板無(wú)法采集能量進(jìn)行光電轉(zhuǎn)換，衛(wèi)星系統(tǒng)只能通過(guò)星載蓄電池進(jìn)行放電供電。同時(shí)，太陽(yáng)敏感器也將無(wú)法正常開展工作[5]。其次，在無(wú)光照條件下，航天器表面溫度將會(huì)出現(xiàn)驟降，這對(duì)衛(wèi)星熱控防護(hù)提出了較高要求。此外，缺乏太陽(yáng)光直射意味著衛(wèi)星受到太陽(yáng)光壓攝動(dòng)影響消失，將會(huì)引起航天器不同程度姿態(tài)和軌道變化[6-7]。因此衛(wèi)星地影精確預(yù)報(bào)對(duì)在軌航天器長(zhǎng)期安全運(yùn)行和工作效能充分發(fā)揮具有重要意義，同時(shí)其特征規(guī)律也可對(duì)衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)提供參考和建議，加快新技術(shù)、新方法研究應(yīng)用[8]，如智能充放電管理、零部件溫度余量設(shè)計(jì)等。

綜上所述，本文將從模型分類、判定標(biāo)準(zhǔn)、計(jì)算方法、總結(jié)與展望等方面對(duì)“地影”問(wèn)題進(jìn)行分析，行文思路如圖2所示。

圖2 文章結(jié)構(gòu)圖

2 地影模型

1957-10-04，世界第一顆人造衛(wèi)星——人造地球衛(wèi)星1號(hào)發(fā)射升空。緊隨其后，1958年太陽(yáng)能電池陣開始應(yīng)用于衛(wèi)星供電[9]，對(duì)其有重要影響的地影問(wèn)題研究迅速展開。目前，較為通用的地影模型有兩種，分別是柱形地影模型和錐形地影模型，二者關(guān)鍵區(qū)別在于是否將太陽(yáng)視為點(diǎn)光源[10]。下面對(duì)這兩種模型進(jìn)行詳細(xì)闡述。

2.1 柱形地影模型

在柱形地影模型中，太陽(yáng)作為非點(diǎn)光源存在，即將太陽(yáng)光視作平行光束。受地球阻擋，在其后方形成“圓柱形”的陰影區(qū)域，因此稱為柱形地影模型，當(dāng)衛(wèi)星飛行至該區(qū)域時(shí)即進(jìn)入地影期。在此模型中，衛(wèi)星狀態(tài)分為有光照和無(wú)光照兩種，如圖3所示。

柱形模型認(rèn)為太陽(yáng)、地球間距離足夠遠(yuǎn)、太陽(yáng)半徑足夠大，可抵消太陽(yáng)光在傳播過(guò)程中產(chǎn)生的方向畸變。從數(shù)值來(lái)看，相對(duì)于太陽(yáng)半徑（6.963×105km）和地球半徑（6.371×104km），日地距離（1.5×108km）已超出二者三四個(gè)數(shù)量級(jí)?；诖耍糠謱W(xué)者認(rèn)為即便是高軌衛(wèi)星在定軌弧段不太長(zhǎng)時(shí)，采用圓柱形地影模型仍可以將精度保持在米級(jí)范圍[11]。

圖3 柱形地影模型

2.2 錐形地影模型

然而，隨著各類工程應(yīng)用對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的要求越來(lái)越高，柱形地影模型中太陽(yáng)光為平行光束前提已無(wú)法被輕易忽視。研究指出柱形模型僅適用于低軌衛(wèi)星陰影計(jì)算，對(duì)于高軌衛(wèi)星計(jì)算誤差將越來(lái)越大[12]，時(shí)間相差甚至達(dá)1 min以上[13]。因此，需精確考慮太陽(yáng)光傳播實(shí)際情況、太陽(yáng)和地球半徑及日地距離，錐形地影模型應(yīng)運(yùn)而生，如圖4所示。太陽(yáng)光與地球形成的陰影區(qū)如同圓錐形狀，故稱為錐形地影模型。該模型將衛(wèi)星所處區(qū)域分為四類，分別是全影區(qū)（完全無(wú)光照）、半影區(qū)（部分光照）、光照區(qū)（完全無(wú)遮擋）和偽影區(qū)。其中，偽影區(qū)因距地球過(guò)遠(yuǎn)，通常不作考慮。

2.3 常見判定條件

在兩種模型描述地影問(wèn)題的幾何關(guān)系基礎(chǔ)上，眾多研究學(xué)者利用不同的陰影區(qū)物理量標(biāo)準(zhǔn)得到了不同的判定條件和約束方程，這些物理量標(biāo)準(zhǔn)主要有日衛(wèi)地心夾角、影錐投影半徑和影錐特征角等[14-15]。下面對(duì)這些判定方法進(jìn)行闡述。

圖4 錐形地影模型

2.3.1 日衛(wèi)地心夾角

日衛(wèi)地心夾角判定標(biāo)準(zhǔn)通常用于相對(duì)簡(jiǎn)單的柱形地影模型。在圖3中，RS1表示太陽(yáng)地心矢量，RS2表示衛(wèi)星地心矢量，RE表示地球半徑。根據(jù)相對(duì)位置關(guān)系可得衛(wèi)星處于陰影期的限制條件[16]：衛(wèi)星和太陽(yáng)地心矢量夾角β大于90°，且衛(wèi)星處于地影陰影柱范圍之內(nèi)。公式如下：

2.3.2 影錐投影半徑

如圖4所示，設(shè)定L為衛(wèi)星在陰影軸（即日地連線）上的垂直高度，L1為本影邊界在陰影軸上的垂直高度，L2為半影邊界在陰影軸上的垂直高度。C1和C2分別為衛(wèi)星至前照點(diǎn)A1、后照點(diǎn)A2在陰影軸上的距離。通過(guò)計(jì)算各參數(shù)值并比較各參數(shù)之間的大?。ㄈ绫?所示），可確定衛(wèi)星所處區(qū)域的光照條件。

表1 衛(wèi)星光照條件判定

2.3.3 影錐特征角

影錐特征角的定義為，以A1為頂點(diǎn)的半影圓錐和以A2為頂點(diǎn)的本影圓錐的半錐角，分別用α和β表示，易知本影圓錐嵌套于半影圓錐中。在地球周年繞日運(yùn)動(dòng)中，日地距離變化范圍為1.47×108～1.52×108km，β變化范圍分別為0.264 8°～0.273 8°和0.260 0°～0.268 8°，變化率分別為5.707 8×10-10°/s和5.580 9×10-10°/s，可知二者變化均極小，可視為常數(shù)[17]。

此方法判定思路為，首先計(jì)算出衛(wèi)星至A1、A2點(diǎn)與陰影軸的夾角，分別用ζ和η表示[18]，計(jì)算方法見公式（1）。衛(wèi)星若處于陰影中，則滿足ζ＜α、η＜β，同時(shí)滿足衛(wèi)星在地表之上的距離限定條件。

不難看出，本判定標(biāo)準(zhǔn)與影錐投影半徑判定標(biāo)準(zhǔn)本質(zhì)相同，都是出于本影、半影錐形角來(lái)限定地影邊界，不同的是后者應(yīng)用長(zhǎng)度來(lái)代替角度進(jìn)行判定。對(duì)于上述兩種判定條件，謝文杰等進(jìn)行了仿真和驗(yàn)證，結(jié)果證明相較于影錐投影半徑判定法，影錐特征角的計(jì)算精度和計(jì)算效率明顯提升[17]。影錐角條件判定如圖2所示。

表2 影錐角條件判定

3 計(jì)算方法

在根據(jù)地影模型得到不同判定標(biāo)準(zhǔn)和約束方程后，如何精確求解方程的同時(shí)又保證計(jì)算效率，成為了諸多學(xué)者研究的重點(diǎn)。在計(jì)算方法方面，主要分為天體視半徑計(jì)算法和軌道根數(shù)計(jì)算法兩種。

3.1 天體視半徑法

太陽(yáng)遮擋示意圖（衛(wèi)星視角）如圖5所示。此方法基于衛(wèi)星視角，計(jì)算此視角下未受遮擋的太陽(yáng)視面積，通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)太陽(yáng)視面積比較判斷衛(wèi)星是否處于地影期。具體計(jì)算方法為，設(shè)計(jì)算地球視半徑為a，太陽(yáng)視半徑為b，兩天體中心點(diǎn)視距離為c。則太陽(yáng)視面積（未受遮擋區(qū)域）計(jì)算公式為：

由公式（2）易知當(dāng)S=πb2時(shí)，衛(wèi)星處于完全光照時(shí)期；當(dāng)0＜S＜πb2時(shí)，衛(wèi)星被部分遮擋；當(dāng)S=0時(shí)，衛(wèi)星則處于陰影區(qū)[19]。然而此種方法存在精度較低問(wèn)題，原因?yàn)樘?yáng)距離地球、衛(wèi)星較遠(yuǎn)，導(dǎo)致衛(wèi)星視角下太陽(yáng)角半徑很小，經(jīng)計(jì)算視半徑約為相對(duì)的計(jì)算誤差較大，因此不適用于高精度計(jì)算[13]。

圖5 太陽(yáng)遮擋示意圖（衛(wèi)星視角）

3.2 軌道根數(shù)法

顧名思義，軌道根數(shù)法利用衛(wèi)星軌道六根數(shù)、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程以及地影判定條件進(jìn)行求解，主要分為解析法和數(shù)值法。

3.2.1 解析法

求解地影進(jìn)/出時(shí)間本質(zhì)上是解方程問(wèn)題，聯(lián)立衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程和陰影約束方程（公式3），可得到一個(gè)一元四次方程，如公式（4）所示：

式中Ci包含三角函數(shù)和實(shí)時(shí)變化的日地距離、地心至A1和A2距離等復(fù)雜項(xiàng)，因此得到精確的方程解析解幾乎不可能。張世杰等通過(guò)簡(jiǎn)化上述方程中的變化小量，得到實(shí)系數(shù)四元方程及近似解，然而卻導(dǎo)致精度下降[20]。這也是解析法面臨的主要困難。

3.2.2 數(shù)值法

部分學(xué)者研究表明，對(duì)于受攝軌道的動(dòng)力學(xué)方程，數(shù)值方法求解是唯一途徑[21]。相比于解析法，數(shù)值法可以解決四次方程精確求解問(wèn)題，能夠充分利用衛(wèi)星高精度定軌參數(shù)，將地影計(jì)算精度保持在同等水平。然而數(shù)值法也存在一些缺陷：因涉及到大量數(shù)值積分運(yùn)算導(dǎo)致計(jì)算量較大，不適合長(zhǎng)時(shí)間大跨度地影規(guī)律統(tǒng)計(jì)和計(jì)算[22]，需要適當(dāng)增加積分步長(zhǎng)，而積分步長(zhǎng)增加后往往導(dǎo)致精度下降；由于光壓攝動(dòng)在邊界突然消失或出現(xiàn)，導(dǎo)致數(shù)值法在地影邊界計(jì)算時(shí)存在“間斷”問(wèn)題[23]。

公式（5）為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)基本方程，其中v為蝕因子，ρs為光壓強(qiáng)度。衛(wèi)星處于地影中時(shí)取0、地影外取1。由于v的非連續(xù)性，在進(jìn)出地影時(shí)公式（5）的右函數(shù)會(huì)出現(xiàn)間斷，導(dǎo)致誤差增大，從而影響計(jì)算精度。

針對(duì)數(shù)值法存在問(wèn)題，王歆和劉林展開計(jì)算并驗(yàn)證了間斷對(duì)計(jì)算的影響程度，并對(duì)單步法和多步法進(jìn)行算法改進(jìn)和驗(yàn)證；賈向華等提出了一種變步長(zhǎng)的積分?jǐn)?shù)值方法，在陰影預(yù)報(bào)時(shí)逐步減小計(jì)算步長(zhǎng)，同時(shí)保證了計(jì)算精度和計(jì)算效率[10]。陳劉成通過(guò)應(yīng)用改進(jìn)Encke積分方法，調(diào)整積分步長(zhǎng)和節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)單步法誤差在厘米級(jí)下；通過(guò)選擇合適的積分步長(zhǎng)，可將多步法對(duì)柱形地影模型和錐形地影模型跨邊界帶來(lái)的積分誤差雙雙控制在厘米級(jí)下[23]。

4 總結(jié)與展望

通過(guò)對(duì)比兩種地影模型可知，柱形地影模型代表著一種簡(jiǎn)化、近似的方法，判定條件和計(jì)算方法簡(jiǎn)單，適用于中低軌衛(wèi)星地影的快速計(jì)算；而錐形地影模型能夠更加真實(shí)地反映太陽(yáng)、地球、衛(wèi)星三者實(shí)際情況，完善了限制條件導(dǎo)致計(jì)算量加大，能夠覆蓋各軌道衛(wèi)星計(jì)算需求，已成為高精度陰影預(yù)報(bào)的不二選擇。模型對(duì)比如表3所示。

基于上述研究進(jìn)展，如今衛(wèi)星地影預(yù)報(bào)已達(dá)到了相當(dāng)精確的程度，可滿足地影期間衛(wèi)星電源系統(tǒng)、姿軌控系統(tǒng)、熱控系統(tǒng)及重要器件防護(hù)對(duì)時(shí)間精確度的要求，相關(guān)應(yīng)對(duì)措施及設(shè)計(jì)研究進(jìn)展已頗具成效。崔波等針對(duì)高軌衛(wèi)星的鋰離子蓄電池組自主管理系統(tǒng)，充分考慮地影期影響，設(shè)計(jì)了分模式管理方法并進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證[24]；吳文瑞等結(jié)合地影模型，對(duì)太陽(yáng)同步軌道熱控分系統(tǒng)進(jìn)行了分析與優(yōu)化[25]；嚴(yán)靈杰通過(guò)分析地影等干擾因素，完善了光電跟蹤系統(tǒng)的位置預(yù)測(cè)算法[26]。未來(lái)將以星上自主解算、自主判斷、自我管理等方向?yàn)槟繕?biāo)，提高星上運(yùn)算能力，增強(qiáng)衛(wèi)星抗地影能力和智能化運(yùn)行管理發(fā)展。

表3 模型對(duì)比