余 震，余靜嫻，張晨陽

(1. 武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2. 武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

近年來，隨著對(duì)制造精度要求的不斷提升，精密表面的微形貌測(cè)量技術(shù)至關(guān)重要[1]。目前，常用的微結(jié)構(gòu)表面形貌測(cè)量方法包括接觸式和非接觸式兩種。非接觸式測(cè)量技術(shù)(如光學(xué)掃描方法)具有高速、無損等優(yōu)點(diǎn)，但該技術(shù)不僅受被測(cè)物體表面反射率的限制，還存在掃描速度慢、設(shè)備成本高、測(cè)量效率低等問題。接觸式測(cè)量技術(shù)精度和可靠性相對(duì)較高，此外，還可以通過更換測(cè)頭來實(shí)現(xiàn)不同材料微結(jié)構(gòu)表面的測(cè)量。

聚偏氟乙烯(PVDF)壓電材料除了具有良好的耐化學(xué)腐蝕性、耐高溫性和壓電性能外，還具有質(zhì)輕、柔性好等特點(diǎn)，可以根據(jù)需要加工成各種形狀、厚度的元件，有望應(yīng)用于微結(jié)構(gòu)表面形貌感測(cè)，其優(yōu)越性[2-3]具體表現(xiàn)在：①由PVDF制成的薄膜質(zhì)量輕、柔性極好，能以大面積陣列的形式貼附于被測(cè)結(jié)構(gòu)表面，對(duì)于不規(guī)則表面也能保證充分接觸；②PVDF由于具有優(yōu)異的壓電性能和介電性能，靈敏度相對(duì)較高，頻帶響應(yīng)范圍寬(0～500 Hz)；③ PVDF具有良好的力學(xué)性能，在進(jìn)行應(yīng)力檢測(cè)時(shí)，誤差相對(duì)較小，并且適用于動(dòng)態(tài)檢測(cè)，對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng)迅速。

近年來，關(guān)于PVDF壓電薄膜在結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)方面的應(yīng)用已有大量報(bào)道，如Sharma等[2]等采用靜電紡絲技術(shù)制備了一種高密度、密集排列的核-殼結(jié)構(gòu)PVDF納米纖維，可以應(yīng)用于血管內(nèi)的壓力監(jiān)測(cè)；Shapiro等[3]提出一種由PVDF壓電材料制成的偏轉(zhuǎn)傳感器，有望應(yīng)用于對(duì)機(jī)械手和柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)過程的監(jiān)測(cè)與控制；李濤[4]以 PVDF 壓電薄膜為觸覺傳感器，設(shè)計(jì)出一種能有效分析三維空間觸覺信號(hào)的四棱臺(tái)式仿人機(jī)械手；李琳杰等[5]結(jié)合PVDF壓電薄膜開發(fā)了一種足底壓力測(cè)試系統(tǒng)；Ling等[6]基于PVDF壓電薄膜提出了一種自感知的壓電驅(qū)動(dòng)XYZ撓性機(jī)構(gòu)傳感器，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性機(jī)械手的精確控制；Youssef等[7-8]使用由PVDF制成的聚合物壓電薄膜，實(shí)現(xiàn)了對(duì)推力軸承內(nèi)部接觸壓力的感測(cè)；Cong[9]開發(fā)了一種使用PVDF壓電薄膜的傳感器陣列，以檢測(cè)軸向流動(dòng)中葉片尖端的動(dòng)態(tài)壓力場(chǎng)。

基于此，本文首次提出將PVDF智能材料應(yīng)用于微結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)領(lǐng)域，并利用形貌特征曲線，對(duì)所提出方法的可行性和預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 PVDF陣列形貌特征曲線感測(cè)原理

基于PVDF壓電薄膜的微結(jié)構(gòu)表面形貌感測(cè)結(jié)構(gòu)如圖1所示。由圖1可見，該結(jié)構(gòu)由具有一定硬度的襯底和呈陣列排列的PVDF壓電薄膜組成，在進(jìn)行接觸表面檢測(cè)時(shí)，將該結(jié)構(gòu)壓在被測(cè)物體表面。為簡(jiǎn)化計(jì)算，推導(dǎo)PVDF微形貌感測(cè)數(shù)學(xué)模型時(shí)作如下假設(shè)：①將PVDF壓電片看作理想的介電材料，其損耗、單元溫度效應(yīng)、壓電體自感應(yīng)電場(chǎng)等影響因素均忽略不計(jì)；②不考慮PVDF壓電薄膜與襯底之間的“漏電”現(xiàn)象；③彈性襯底為各向同性材料；④在進(jìn)行材料表面微形貌檢測(cè)時(shí)，假設(shè)以應(yīng)力形式作用于PVDF壓電薄膜表面，并且視為僅沿其寬度方向進(jìn)行電荷輸出。

圖1 基于PVDF薄膜的微形貌檢測(cè)結(jié)構(gòu)圖

圖2所示為該微形貌感測(cè)結(jié)構(gòu)的原理示意圖，其中圖2(b)為圖2(a)上取得的結(jié)構(gòu)微元。由圖2(a)可見，基底材料為剛性體，載荷以均布載荷的形式施加于PVDF薄膜表面；對(duì)于其結(jié)構(gòu)微元而言，可以將均布載荷函數(shù)F(t)近似為集中載荷施加在微元表面，如圖2(b)所示。

(a) 感測(cè)結(jié)構(gòu)原理

(b) 結(jié)構(gòu)微元

如圖2所示，在載荷作用下，PVDF薄膜輸出電極的輸出量是電感應(yīng)強(qiáng)度，極化方向?yàn)閤方向，根據(jù)簡(jiǎn)化條件，PVDF壓電薄膜只需考慮沿厚度方向(該方向的壓電應(yīng)變常數(shù)是d33)的受力，壓電方程可簡(jiǎn)化為：

(1)

當(dāng)電場(chǎng)為0且只考慮電學(xué)邊界條件時(shí)，PVDF壓電薄膜的壓電方程為忽略電場(chǎng)后的第一類壓電方程，不同受力方向及不同表面上電荷積累是不同的，忽略自感應(yīng)電場(chǎng)二階響應(yīng)的影響，E3近似為0，可忽略不計(jì)，故沿極化方向的電荷密度表示為：

D3=d33σ3

(2)

在微小應(yīng)變作用下，PVDF薄膜上的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系，可表示為：

σ=Eε

(3)

若將PVDF薄膜放入直角坐標(biāo)系中，在PVDF薄膜上任取一點(diǎn)(x,y)，其應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(4)

由式(4)可見，PVDF薄膜各點(diǎn)上的電荷密度隨位置坐標(biāo)變化而改變，若已知任意點(diǎn)的電荷密度，即可求出該點(diǎn)的應(yīng)變量。但由于PVDF陣列微元感測(cè)的微形貌是一定面積，目前尚不能檢測(cè)出任一點(diǎn)的電荷密度，故可根據(jù)該區(qū)域的平均應(yīng)變來實(shí)現(xiàn)對(duì)所測(cè)形貌的近似檢測(cè)。

對(duì)于PVDF薄膜微元而言，其產(chǎn)生的電荷總量為：

(5)

根據(jù)積分中值定理，即：

(6)

故在進(jìn)行表面形貌檢測(cè)時(shí)，由PVDF產(chǎn)生的表面電荷量可表示為：

(7)

電荷量一般不容易直接通過測(cè)量得到，需要對(duì)電荷進(jìn)行放大后，轉(zhuǎn)換測(cè)得其電壓信號(hào)。理想情況下，當(dāng)電荷放大器的放大倍數(shù)A足夠大時(shí)，傳感器本身的電容及電纜長度將不影響電荷放大器的輸出，電荷放大器輸出電壓U0只與電荷Q、反饋電容Cf有關(guān)。電荷放大器輸入電荷和輸出電壓關(guān)系可近似表示為：

(8)

將式(7)帶入后可得：

(9)

(10)

式中：E表示PVDF薄膜的彈性模量。由式(10)可知，PVDF薄膜應(yīng)變的檢測(cè)精度取決于電壓值的檢測(cè)精度。

在利用PVDF薄膜檢測(cè)材料微形貌特征曲線時(shí)，需要利用薄膜與被測(cè)結(jié)構(gòu)的接觸進(jìn)行形貌曲線型值點(diǎn)的檢測(cè)。為使檢測(cè)點(diǎn)盡可能接近形貌曲線，特取薄膜中點(diǎn)的應(yīng)變值為型值點(diǎn)。圖3為使用一整片與被測(cè)結(jié)構(gòu)大小相同的PVDF薄膜進(jìn)行接觸表面形貌檢測(cè)時(shí)的結(jié)構(gòu)示意圖。如圖3所示，采用一種軟基材料附著在PVDF薄膜上形成觸覺智能結(jié)構(gòu)，該軟基材料具有一定流動(dòng)性，會(huì)隨著變形空間改變而填充空間；基底為一層剛性較好的均質(zhì)材料，以保證作用在基底材料上的載荷能最終均勻作用在PVDF薄膜上，使PVDF薄膜隨著被測(cè)結(jié)構(gòu)充分變形。由于薄膜與被測(cè)結(jié)構(gòu)表面完全貼合，薄膜所產(chǎn)生的應(yīng)變量即為被測(cè)結(jié)構(gòu)形貌特征曲線的函數(shù)值，故薄膜的應(yīng)變曲線與形貌特征曲線為同一曲線，如圖4所示。

圖3 單片PVDF薄膜接觸被測(cè)表面的結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 單片PVDF薄膜變形后的等效平均應(yīng)變

圖4中，x表示被測(cè)對(duì)象的長度方向，y表示被測(cè)對(duì)象厚度方向。若要利用PVDF薄膜應(yīng)變量反映被測(cè)材料的形貌特征曲線，則需對(duì)總應(yīng)變量進(jìn)行歸一化處理，根據(jù)積分中值定理，整片PVDF薄膜的平均應(yīng)變量可表示為：

(11)

變形最大處的檢測(cè)誤差為：

(12)

變形最小處的檢測(cè)誤差：

(13)

當(dāng)PVDF薄膜片數(shù)增加時(shí)，單元尺寸變小，型值點(diǎn)檢測(cè)精度有所提高，對(duì)應(yīng)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌檢測(cè)精度也會(huì)提高，如圖5和圖6所示。

圖5 m片PVDF薄膜接觸表面的結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 m片PVDF薄膜發(fā)生變形后的等效平均應(yīng)變

當(dāng)使用m片PVDF薄膜進(jìn)行材料表面形貌檢測(cè)時(shí)，在已知材料形貌特征曲線的情形下，PVDF薄膜的平均應(yīng)變值可表示為：

(14)

式中：d為薄膜間距，μm；y為PVDF薄膜微元產(chǎn)生的微位移量，μm。

在考慮薄膜間距的情況下，相鄰壓電薄膜之間為等間距排布，以被測(cè)物體的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)壓電片的中心點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為x，則第i片薄膜中點(diǎn)坐標(biāo)xi可以表示為：

(15)

將第i片壓電薄膜測(cè)得的電壓值通過計(jì)算轉(zhuǎn)化為平均應(yīng)變值，記為yi，則取坐標(biāo){(xi,yi),i=1,2,…,m}為被測(cè)i點(diǎn)的形貌型值點(diǎn)。

為了重構(gòu)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌，需要針對(duì)被測(cè)形貌的特征曲線建立數(shù)學(xué)模型。常用的方法有最小二乘法、多項(xiàng)式插值法和三次樣條插值法。三次樣條法克服了最小二乘法及多項(xiàng)式插值法在曲線擬合方面的不足，可生成帶有拐點(diǎn)的平面曲線，目前大多數(shù)曲線擬合均可采用該方法來實(shí)現(xiàn)，并且隨著型值點(diǎn)的增加，曲線擬合精度有所提高。

曲線的擬合誤差采用均方根誤差RMSE表示,即：

(16)

式中：N表示擬合曲線上樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；δi表示樣本點(diǎn)與原形貌曲線上點(diǎn)的誤差。

2 形貌曲線擬合與誤差分析

在利用PVDF薄膜陣列對(duì)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌特征曲線進(jìn)行感測(cè)時(shí)，由于薄膜片尺寸決定著型值點(diǎn)精度，故選取PVDF陣列結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，設(shè)每片PVDF壓電薄膜的寬度為w，在基底上可以排布n片薄膜。假設(shè)被測(cè)表面的微形貌特征曲線為y=10sin(0.01x)，則被測(cè)表面水平寬度為π μm，最高點(diǎn)ymax=100 μm。對(duì)PVDF薄膜檢測(cè)的形貌特征曲線設(shè)置等分區(qū)間，對(duì)每一等分區(qū)間進(jìn)行積分求取平均值，并把每段應(yīng)變條形圖的中點(diǎn)作為型值點(diǎn)。

在3等分和5等分條件下，對(duì)獲得的型值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，可以得到近似的形貌特征曲線和擬合曲線如圖7所示。

(a) 三等分情況

(b) 五等分情況

當(dāng)有3個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，由于型值點(diǎn)數(shù)目的限制，只能擬合出二次曲線，即：

y=-43.54(x-52.36)2+91.19(x-52.36)+

47.75 (0≤x≤314.16)

(17)

當(dāng)有5個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，被測(cè)結(jié)構(gòu)形貌曲線可由4段三次曲線組成，表示為：

(18)

由圖7可以看出，當(dāng)有5個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)PVDF薄膜單元尺寸減小，每段PVDF薄膜單元產(chǎn)生的平均應(yīng)變更接近原曲線，所擬合的曲線也更符合原曲線的形貌特征。表1列出了不同等分尺寸和薄膜間距下所得擬合曲線的均方根誤差和型值點(diǎn)誤差，可以看出，隨著等分?jǐn)?shù)量的增加，所對(duì)應(yīng)擬合曲線的均方根誤差和型值點(diǎn)誤差均明顯減小。

為進(jìn)一步了解薄膜參數(shù)對(duì)被測(cè)結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)精度的影響規(guī)律，采用二次多項(xiàng)式數(shù)學(xué)回歸法建立表面薄膜尺寸w和薄膜間距d之間的關(guān)系，即：

ε=a1w+a2d+a3wd+a4w2+a5d2

(19)

式中：a1～a5為多項(xiàng)式待定系數(shù)。

基于表1中的數(shù)據(jù)，利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件繪制得到型值點(diǎn)誤差與薄膜尺寸和薄膜間距的擬合圖形，如圖8所示，得到擬合誤差與單元參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為：

ε=-1.32×10-4w+2.637×10-3d+

1.891×10-6wd+

5.658×10-6w2-1.437×10-7d2

(20)

由圖8可以看出，該擬合圖形基本反映了曲線形貌擬合精度的變化趨勢(shì)，通過MATLAB軟件計(jì)算得到該模型的擬合優(yōu)度R2為 0.9256。由此看來，有約92.6%的表面形貌檢測(cè)精度與所研究的兩個(gè)因素(PVDF薄膜尺寸和薄膜間距)有關(guān)，有7.4%的誤差不能由該模型來解釋。擬合的均方根誤差為0.002 911，表明該模型擬合程度良好。通過建立誤差與單元尺寸以及間距的函數(shù)關(guān)系，為形貌檢測(cè)逆向設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，在已知形貌精度的情況下可進(jìn)行PVDF單元尺寸的選擇。

表1 不同PVDF薄膜尺寸和薄膜間距下的擬合誤差

圖8 PVDF單元尺寸和單元間距對(duì)形貌感測(cè)精度的影響

3 結(jié)語

本文基于對(duì)PVDF壓電材料的特性分析，提出了一種通過接觸實(shí)現(xiàn)微結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)的方法，利用函數(shù)y=10sin(0.01x)模擬被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌特征曲線，對(duì)該方法的可行性和準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，并從PVDF陣列結(jié)構(gòu)的角度，分析了擬合誤差與薄膜尺寸和間距之間的關(guān)系，為PVDF薄膜陣列式形貌檢測(cè)方法的實(shí)現(xiàn)及單元尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。由于本文采用的模型較特殊，而實(shí)際測(cè)量過程中，被測(cè)結(jié)構(gòu)的表面形貌更加復(fù)雜，擬合曲線誤差會(huì)隨著被測(cè)形貌、薄膜尺寸、擬合方法等多種因素的改變而改變。因此，后續(xù)研究應(yīng)該圍繞更具一般性的被測(cè)結(jié)構(gòu)表面形貌輪廓曲線而展開；此外，由于缺乏實(shí)驗(yàn)條件，目前尚無法通過實(shí)驗(yàn)對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，這也是后續(xù)工作的重點(diǎn)。