謝素英　王陽

摘 ?要：研究生階段的分析類課程大部分與本科階段的數學分析相聯(lián)系。這些分析類課程主要以數學分析為基礎，拓展了數學分析中的連續(xù)函數空間到一些更復雜的函數空間。而這些復雜函數空間理論非常抽象難于理解，對于初學者掌握帶來了很大困擾。文章針對研究生分析類課程常用函數空間如何結合數學分析中的連續(xù)函數來講解做了初步研究和探索， 給出了一些講解技巧和方法，使同學更容易理解和掌握。

關鍵詞：連續(xù)函數;函數空間;講解探索

中圖分類號：G642 ? ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）13-0071-05

Abstract： Most of the analysis courses in graduate stage are related to Mathematical Analysis in undergraduate stage. These analysis courses are mainly based on Mathematical Analysis， expanding the continuous function space in Mathematical Analysis to some more complex function spaces. But these complex function space theories are very abstract and difficult to understand， which brings great trouble to beginners. A preliminary study and exploration on how to explain the common function space of analysis courses in graduate stage by combining the continuous functions in Mathematical Analysis is given， some explanation skills and methods are shown in this paper， so that students can understand and master it more easily.

Keywords： continuous functions; function space; explanation and exploration

研究生階段分析類課程有很多，主要包括實分析、復分析、泛函分析、微分方程、非線性分析等課程。而這些分析類課程的本科基礎課主要是數學分析[1-3]、實變函數和泛函分析[4]等。我們在研究和講解這些分析類課程時主要從函數空間入手。本科階段對數學分析的學習主要在連續(xù)函數空間，各種定義、定理以及運算基本都是在連續(xù)函數空間進行的。但隨著實際研究的需要和課程的深入僅僅停留在連續(xù)函數空間是不夠的，因此本科的高年級以及研究生階段會用到很多函數空間理論，例如：Hlder連續(xù)空間，Lipschitz連續(xù)空間，Lebesgue可積空間，L1，Lp（0

一、從連續(xù)函數空間到Lebesgue可積函數空間

數學分析中最常用的函數空間分別為C0，C1，C2，Cn，C∞，即分別對應函數連續(xù)，一階導函數連續(xù)，二階導函數連續(xù)，n階導函數連續(xù)，任意階導函數連續(xù)。數學分析的學習階段我們主要在以上這些空間中進行微積分的運算。而數學分析階段對函數空間要求的條件較強。例如：一些不定積分和定積分以及重積分和曲線、曲面積分存在常用的“充分條件”是被積函數連續(xù)， 關于積分的題目主要是針對連續(xù)函數設計的。而尤其一些函數運算需要更強的光滑性質即導函數連續(xù)，例如： 關于函數的泰勒展開的運算，不僅需要函數連續(xù)還需要函數的任意階導數也連續(xù)。在泰勒展開中常用的函數ex，sinx，cosx等都屬于C∞類的充分光滑的函數。綜上可知，數學分析階段主要研究一些“好”函數，即連續(xù)函數或其導函數仍連續(xù)的函數。我們還發(fā)現關于數學分析中的定積分，在有限閉區(qū)間上連續(xù)的被積函數都有很好的Riemann可積性（以下簡稱R-可積），而且R-可積的“必要條件”是被積函數在積分區(qū)間上必須“有界”。但是處處不連續(xù)的狄里克萊函數D（x）=1，x∈Q0，x∈Qc，x∈[0，1]，盡管在[0，1]區(qū)間有界，但根據Riemann積分的定義可知R-積分D（x）dx是不存在的。而且這個有界非黎曼可積的狄里克萊函數經常作為數學分析中的反例來說明“有界”僅僅是可積的必要條件而非充分條件。顯然在給定的區(qū)間內狄里克萊函數是一個處處不連續(xù)，處處不可導的函數，也就是數學分析中的“好”函數所對應的“壞”函數。但研究中發(fā)現這樣的“壞”函數是大量存在的，為了研究這類函數，因此出現了后續(xù)課程實變函數。

在實變函數中引入了Lebesgue測度和可測的概念，通過測度可以研究一類處處不連續(xù)，處處不可導的“壞”函數的測度。有了測度的概念之后，為了研究這類函數的積分，引出了Lebesgue可積函數空間（以下簡稱L-可積）。從“好”函數的黎曼積分過度到“壞”函數的勒貝格積分，需要在講解時讓同學真正理解二者在概念上的差異。我們已經知道定義在R1上的狄里克萊函數是Riemann不可積的最典型的例子，但在實變函數中它在R1的任意可測子集上的Lebesgue積分為零。在學習和講解過程中同學最難理解Riemann定積分和Lebesgue積分的區(qū)別，往往把二者相混淆。下面以狄里克萊函數為例討論Riemann定積分和Lebesgue積分的本質，以及兩種積分在應用中的差異。

對比R-積分和L-積分，我們發(fā)現二者不僅在定義方式上有很大區(qū)別，而且在后續(xù)應用中存在很大的不同。在數學分析階段我們經常遇到極限與極限換續(xù)、極限與級數符號換續(xù)、極限與積分號換續(xù)、級數符號與積分號的換續(xù)題目， 而這些換續(xù)的條件都要求函數列或函數項級數“一致收斂”[1-3]。我們發(fā)現在有界函數范圍內R-積分存在以下缺陷：首先R-積分與極限可交換的條件要求太強，即要求一致收斂;而L-積分比R-積分要求的條件要“弱”很多，對于非負函數項級數幾乎無條件地逐項可積分[4]，即級數符號與L-積分號的換續(xù)不再需要逐一驗證一致收斂了。而常用的Lebesgue-控制收斂定理只需找到一個控制函數g（x），使得|f（x）|

此外，若有界函數f（x）在[a，b]上R-可積，則f（x）在[a，b]上也L-可積。顯然L-積分比R-積分應用更廣。我們還發(fā)現在R-積分中，f（x）可積，則有|f（x）|也可積，但反之不然，例如f（x）=1， x∈Q-1，x∈Qc，x∈[0，1]，f（x）在[0，1]的R-積分是不存在的，但|f（x）|=1，其在[0，1]上是R-可積的，且積分值為1。而L-積分中存在比R-積分更好的結論，即f（x）在集合E上可測，f（x）是L-可積的充要條件是|f（x）|是L-可積的。當然對有興趣的研究者還可以更深入地進行剖析兩種積分的優(yōu)缺點。通過對比R-積分和L-積分的優(yōu)缺點，不僅使同學對這兩種積分的認識更加深刻，而且在使用兩種積分時能夠更加靈活。

我們從連續(xù)函數空間入手，通過“好”函數和“壞”函數逐步引出R-積分和L-積分的本質區(qū)別，由淺入深使同學從本科階段的數學分析層次逐步過渡到研究生階段的實分析層次。

H1和BMO的出現不僅有自身的理論價值，而且為研究算子在其他空間上的作用帶來了方便。BMO和VMO的引入不僅促進了復分析、奇異積分算子、曲線上的Cauchy積分算子領域的飛速發(fā)展，而且對Ap權理論和微分方程領域的發(fā)展也產生了很大的促進作用。

五、結束語

研究生階段分析類課程中常用的函數空間講解一定要立足于數學分析的內容，由淺入深地講解，把各種現代復雜的函數空間與數學分析中的連續(xù)、可導、R-可積等知識點掛鉤，分析異同點、優(yōu)缺點，通過分析對比和應用舉例讓學生很好地掌握和運用。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陳傳璋，等.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]陳紀修，等.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]郭懋正.實變函數與泛函分析[M].北京：北京大學出版社，2015.

[5]Robert A. Adams and John J. F. Fournier. ?Sobolev Spaces 2nd ed [M].北京：世界圖書出版公司北京公司，2009.

[6]William P. Ziemer. Weakly Differentiable Functions[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，1999.

[7]王明心.數學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2005.

[8]David Gilbarg and Neil S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，1998.

[9]程民德，鄧東皋，龍瑞麟.實分析[M].北京：高等教育出版社，1993.

[10]Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation[J]. Transactions of the American Mathematical Society，1975，207（1）：391-405.

基金項目：杭州電子科技大學研究生教育教學改革項目課題“研究生分析類課程的教學難點研究”（編號：JXGG2019YB007）

作者簡介：謝素英（1966-），女，漢族，河北保定人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程與復分析。