張 肅，丁秀麗，黃書嶺

(長江科學(xué)院 水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010)

1 研究背景

近年來，為了解決我國水資源時(shí)空分布嚴(yán)重不均的問題，一批以長距離輸水隧洞為主要輸水建筑物的隧洞工程紛紛興建，大埋深、復(fù)雜地質(zhì)條件下的隧洞工程設(shè)計(jì)與施工成為工程建設(shè)中的難點(diǎn)，特別是穿越高地應(yīng)力區(qū)的軟巖隧洞工程，極低強(qiáng)度應(yīng)力比導(dǎo)致的圍巖大變形給隧洞襯砌設(shè)計(jì)帶來了極大的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)方法在面臨隨機(jī)變量復(fù)雜、函數(shù)不能顯式表達(dá)的問題時(shí)具有較大的局限性，基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的可靠度計(jì)算方法可以更全面地評(píng)價(jià)隧洞工程中的安全性，為工程的前期決策、施工過程、后期維護(hù)提供有力的科學(xué)依據(jù)。

20世紀(jì)80年代末期，國內(nèi)學(xué)者就對(duì)可靠度理論在隧洞工程的應(yīng)用展開了研究，例如景詩庭[1]在穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上，提出了利用模糊概率計(jì)算地下坑道的可靠度；謝錦昌[2]結(jié)合“荷載-結(jié)構(gòu)”模型對(duì)鐵路隧洞襯砌的可靠性進(jìn)行了研究；在近幾年的研究中，周澤林等[3]對(duì)深埋軟巖隧洞的軟弱圍巖的支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了受力分析和安全性評(píng)價(jià)；湖南大學(xué)的梁斌[4]在圍巖與支護(hù)協(xié)同承載理論的基礎(chǔ)上建立了運(yùn)用一維直接積分求解可靠度的方法；浙江大學(xué)的肖志鵬[5]根據(jù)支護(hù)-圍巖相互作用的機(jī)理提出了隧洞開挖的可靠度計(jì)算優(yōu)化方法等等。不同的隧洞結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法陸續(xù)提出，意味著可靠度理論在隧洞工程領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)一步深化。

對(duì)于修建在IV、V類巖體中的隧洞，特別是軟巖隧洞，通常需要圍巖和支護(hù)系統(tǒng)形成一個(gè)整體共同承受開挖釋放的荷載[6]，以此維護(hù)隧洞的穩(wěn)定性。因此，如何合理評(píng)價(jià)軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性以保障支護(hù)結(jié)構(gòu)的安全成為一項(xiàng)重要工作。現(xiàn)有的基于蒙特卡洛原理的隨機(jī)有限元是結(jié)構(gòu)可靠性分析常用方法，但該方法計(jì)算量大，計(jì)算效率低；以當(dāng)量正態(tài)化(JC)法為代表的傳統(tǒng)可靠度計(jì)算方法則依賴于功能函數(shù)的顯式表達(dá)，而地下工程隨機(jī)變量的復(fù)雜性和模糊性，難以像地面結(jié)構(gòu)一樣從理論上構(gòu)建功能函數(shù)的顯式表達(dá)，成為在隧洞工程應(yīng)用中的制約因素。為此，在可靠度計(jì)算理論基礎(chǔ)上，本文將均勻設(shè)計(jì)方法、響應(yīng)面法和有限元數(shù)值模擬方法相結(jié)合，利用《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 279—2016)[7]中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，建立圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應(yīng)響應(yīng)面顯式表達(dá)式，提出一種軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評(píng)價(jià)方法，以達(dá)到滿足計(jì)算精度且提高計(jì)算效率的目的，有助于解決軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載時(shí)可靠性評(píng)價(jià)的問題。

2 軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性評(píng)價(jià)方法

2.1 試驗(yàn)方案的均勻設(shè)計(jì)方法

作為一種統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)方法，均勻設(shè)計(jì)法考慮的是試驗(yàn)點(diǎn)在整體數(shù)據(jù)樣本內(nèi)“均勻分散”的情況。這些試驗(yàn)點(diǎn)因其代表性而可以減少設(shè)計(jì)試驗(yàn)所需的次數(shù)[8]。

能否在整體數(shù)據(jù)樣本內(nèi)確定有效的試驗(yàn)點(diǎn)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)決定性因素，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)就是利用盡可能少的試驗(yàn)得到系統(tǒng)內(nèi)最為充分和具代表性的信息。均勻設(shè)計(jì)法利用了試驗(yàn)點(diǎn)在樣本范圍內(nèi)均勻分散的特點(diǎn)，能夠較好地實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，尤其適用于多因素水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。通過對(duì)隨機(jī)變量在其取值范圍內(nèi)等間隔均勻取值，依照對(duì)應(yīng)因素與水平數(shù)的均勻試驗(yàn)表獲取試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)組合，便可獲得合理高效的數(shù)值試驗(yàn)方案。尤其是對(duì)于多元非線性的數(shù)據(jù)樣本，均勻設(shè)計(jì)法在使用上有明顯的優(yōu)勢。

例如當(dāng)試驗(yàn)中有n個(gè)因素，每個(gè)因素有m個(gè)水平，全面設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)都需要大量的試驗(yàn)次數(shù)，而均勻設(shè)計(jì)只需要m次試驗(yàn)，大大降低了計(jì)算成本。均勻設(shè)計(jì)法的使用需要配合對(duì)應(yīng)因素和水平數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表，表中的均勻設(shè)計(jì)符號(hào)Un(qs) 的示意見圖1。

圖1 均勻設(shè)計(jì)符號(hào) 示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform design symbols

值得注意的是，均勻設(shè)計(jì)體現(xiàn)的是試驗(yàn)點(diǎn)的分散而非整齊分布，方差分析法因此并不適用，而應(yīng)采用回歸分析的方法。

均勻設(shè)計(jì)-響應(yīng)面-有限元響應(yīng)面法進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)之前首先需要科學(xué)合理地設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法，而隧洞圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠度問題本身就是一個(gè)多因子影響下的高度非線性問題，其功能函數(shù)從理論上無法顯式表達(dá)。因此可以通過均勻試驗(yàn)法合理高效地設(shè)計(jì)數(shù)值試驗(yàn)方案，進(jìn)而擬合出函數(shù)模型。

2.2 可靠度計(jì)算的響應(yīng)面方法

作為一種可靠度計(jì)算方法，響應(yīng)面法的核心思想是通過響應(yīng)面函數(shù)擬合出明確的函數(shù)關(guān)系[9]，從而將結(jié)構(gòu)中難以求得的真實(shí)功能函數(shù)進(jìn)行顯示表達(dá)。

假設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)中含有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)，結(jié)構(gòu)中真實(shí)的功能函數(shù)可用Z=G(Xi)表示,但該功能函數(shù)難以從理論上求出準(zhǔn)確的表達(dá)式。設(shè)響應(yīng)面函數(shù)Z=g(Xi)，同樣含有隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)。原功能函數(shù)與響應(yīng)面函數(shù)曲面的關(guān)系可用圖2表示。

圖2 響應(yīng)面函數(shù)與原功能函數(shù)曲面的關(guān)系Fig.2 Relationship between response surface and real function surface

在擬合響應(yīng)面的各種方法中，響應(yīng)面法的二次響應(yīng)函數(shù)運(yùn)用已十分廣泛[10]，該方法用純二次函數(shù)的形式擬合結(jié)構(gòu)中的真實(shí)功能函數(shù)Z,即

(1)

(2)

式中:mXi為Xi的平均值;σXi為Xi的標(biāo)準(zhǔn)差。則極限狀態(tài)方程可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化之后的變量表示為

(3)

(4)

坐標(biāo)系變換時(shí)其方向余弦相同，可以代入式(2)得到設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*在原坐標(biāo)下的表達(dá)式,即

(5)

鑒于點(diǎn)P*位于極限狀態(tài)曲面上，故滿足

(6)

(7)

(8)

式中:F(x)為概應(yīng)分布函數(shù)；f(x)為概率密度函數(shù)。

從而可以將非正態(tài)分布的隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)，再代入式(2)—式(6)即可求解可靠度指標(biāo)。

2.3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性評(píng)價(jià)方法及流程

軟巖隧洞的圍巖和支護(hù)系統(tǒng)協(xié)同承載理論有機(jī)地將支護(hù)結(jié)構(gòu)與圍巖聯(lián)系起來，將二者視為一個(gè)整體。在系統(tǒng)中，圍巖單元既承接變形，同時(shí)也施加荷載，作用在圍巖上的支護(hù)系統(tǒng)約束和限制了圍巖向隧洞內(nèi)變形，承受了形變壓力，相應(yīng)分擔(dān)了部分荷載；同時(shí)，支護(hù)系統(tǒng)的加固作用也使圍巖自承載的能力得以充分發(fā)揮，這充分體現(xiàn)了圍巖和支護(hù)系統(tǒng)相互作用的原理。

軟巖隧洞的圍巖和支護(hù)系統(tǒng)協(xié)同承載維護(hù)了圍巖的穩(wěn)定以及襯砌結(jié)構(gòu)的安全，是當(dāng)今地下工程主流的設(shè)計(jì)理念[12]。因此，對(duì)軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià)是一項(xiàng)重要課題?；诿商乜逶淼碾S機(jī)有限元是結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的常用方法，但其計(jì)算效率不高的缺陷制約了發(fā)展。

由于隧洞工程賦存地質(zhì)環(huán)境的隱蔽性和復(fù)雜性以及支護(hù)系統(tǒng)的多樣性，由圍巖和支護(hù)系統(tǒng)構(gòu)成的地下結(jié)構(gòu)真實(shí)的功能函數(shù)難以從理論上顯式表達(dá)，近年來發(fā)展起來的響應(yīng)面法由于能夠通過顯式表達(dá)式給出結(jié)構(gòu)體的真實(shí)極限狀態(tài)，具有廣泛的應(yīng)用前景。響應(yīng)面法的運(yùn)用需要足夠多的數(shù)據(jù)試驗(yàn)樣本，才能擬合出結(jié)構(gòu)的真實(shí)極限狀態(tài)的功能函數(shù)[13]。為減少試驗(yàn)所需的次數(shù)，提高計(jì)算效率并保證計(jì)算精度，將均勻設(shè)計(jì)方法和響應(yīng)面法相結(jié)合，通過建立圍巖與襯砌協(xié)同承載下的數(shù)值仿真模型，利用《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 279—2016)(以下簡稱《規(guī)范》)中的相關(guān)函數(shù)和推薦取值，實(shí)現(xiàn)在有限的數(shù)據(jù)條件下擬合出真實(shí)極限狀態(tài)的功能函數(shù)，由此建立圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應(yīng)響應(yīng)面顯式表達(dá)式。

在可靠度理論中，極限狀態(tài)方程可以表達(dá)為

Z=R-S。

(9)

式中:Z為結(jié)構(gòu)功能函數(shù);S為荷載效應(yīng)函數(shù);R為結(jié)構(gòu)抗力函數(shù)。結(jié)合式(9)，并根據(jù)《規(guī)范》中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，可表達(dá)出依照響應(yīng)面法的圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載功能函數(shù)(極限狀態(tài)方程)的表達(dá)式，即

Z=R(fd,αk)-γdγ0ψS(·)。

(10)

式中:γ0指結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)，Ⅰ級(jí)結(jié)構(gòu)、Ⅱ級(jí)結(jié)構(gòu)、Ⅲ級(jí)結(jié)構(gòu)分別按照對(duì)應(yīng)的安全等級(jí)取1.1、1.0、0.9；ψ為狀況設(shè)計(jì)系數(shù)，按照對(duì)應(yīng)工況分別取值1.0、0.95、0.85；R為支護(hù)的抗力函數(shù);γd為結(jié)構(gòu)系數(shù)，按支護(hù)類型選用；fd為材料抗壓強(qiáng)度；αk為幾何參數(shù);S(·)為荷載效應(yīng)函數(shù)。

通過均勻設(shè)計(jì)響應(yīng)面法對(duì)S(·)的表達(dá)式進(jìn)行擬合，進(jìn)而求出可靠度指標(biāo)以及失效概率，評(píng)價(jià)圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性。下面給出圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評(píng)價(jià)的具體實(shí)施流程，如圖3所示。

圖3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評(píng)價(jià)方法和流程Fig.3 Flowchart of reliability evaluation of the collabora- tive bearing of surrounding rock and lining structure

(1)建立基于圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載理論的有限元數(shù)值模型，計(jì)算和分析在單一變量影響下結(jié)構(gòu)中應(yīng)力分布的變化規(guī)律，從而確定擬合響應(yīng)面函數(shù)所需要的隨機(jī)變量。

(2)設(shè)計(jì)一個(gè)多元響應(yīng)面函數(shù)，自變量為與結(jié)構(gòu)荷載有關(guān)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量(X1，X2，X3，…)，因變量為響應(yīng)值S，要求設(shè)計(jì)函數(shù)與真實(shí)函數(shù)盡可能接近且形式盡可能簡單。

(3)依照均勻設(shè)計(jì)法進(jìn)行試驗(yàn)組合方案設(shè)計(jì)，各變量在取值范圍內(nèi)均勻間隔取值后依照相對(duì)應(yīng)因素和水平數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表組合成一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)矩陣如[X11，X21，X31，…]，根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法規(guī)則確定一系列的試驗(yàn)點(diǎn)稱設(shè)計(jì)矩陣[D]=[Xmn]，后進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)對(duì)應(yīng)得出一系列響應(yīng)值[S]。

(4)根據(jù)上述步驟得到的結(jié)果進(jìn)行回歸分析，確定擬合函數(shù)中各項(xiàng)待定系數(shù)，給出響應(yīng)面函數(shù)的顯式表達(dá)，代入功能函數(shù)Z得到極限狀態(tài)函數(shù)的顯式表達(dá)式。

(5)采用概率論和JC法，得到可靠度指標(biāo)和失效概率。具體為：假設(shè)一個(gè)驗(yàn)算點(diǎn)P*取其坐標(biāo)值xi*(一般均值mxi*)，將其當(dāng)量正態(tài)化，代入式(3)—式(6)求出β；按β值與式(5)反解驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)新的驗(yàn)算點(diǎn)重復(fù)以上步驟，直到兩次β值的誤差不大于允許誤差，既求出了可靠度指標(biāo)β，相應(yīng)地得到失效概率Pf。根據(jù)獲得的可靠度，對(duì)圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載可靠性的單因素隨機(jī)變量分析

為了確定響應(yīng)面函數(shù)中所包含的單因素隨機(jī)變量，以某深埋軟巖圓形隧洞為例，建立考慮圍巖與襯砌協(xié)同承載的有限元計(jì)算模型進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算[14],同時(shí)選取各材料的本構(gòu)模型和單元類型。

隧洞開挖以及復(fù)合襯砌施作的相對(duì)流程可通過有限元計(jì)算程序中的生死單元進(jìn)行控制?？紤]圍巖的自重應(yīng)力場與構(gòu)造應(yīng)力場，其中水平側(cè)壓系數(shù)取1.1。計(jì)算模型對(duì)兩側(cè)面的約束方向?yàn)榉ㄏ?，底面約束方向?yàn)榉ㄏ蚺c切向。計(jì)算模型的網(wǎng)格劃分與邊界條件如圖4所示。計(jì)算模型在x和y方向的邊界為100 m，開挖洞徑10.8 m，初襯厚度0.2 m，二次襯砌厚度0.5 m，襯后內(nèi)徑9.4 m，其余材料參數(shù)如表1所示。

圖4 計(jì)算模型網(wǎng)格與邊界條件Fig.4 Computational meshes and boundary conditions

表1 各材料本構(gòu)模型和單元類型Table 1 Constitutive model and element type of each material

在600 m埋深90%荷載釋放率的工況下，按照控制其余因變量不變保持單一影響因子的原則，分別計(jì)算圍巖與襯砌有關(guān)參數(shù)對(duì)二次襯砌環(huán)向軸應(yīng)力的影響(見圖5、圖6)。在襯砌與圍巖協(xié)同承載的前提下，圍巖參數(shù)和襯砌參數(shù)的變化會(huì)共同影響結(jié)構(gòu)的受力特征?？煽慷扔?jì)算應(yīng)在對(duì)襯砌應(yīng)力狀態(tài)分析的基礎(chǔ)上從影響因子中選取擬合響應(yīng)面函數(shù)所需要的基本隨機(jī)變量。

圖5 襯砌截面軸應(yīng)力隨圍巖變形參數(shù)和強(qiáng)度參數(shù)的 變化規(guī)律Fig.5 Variation of axial stress of lining section with deformation and strength parameters of surrounding rock

圖6 襯砌截面軸應(yīng)力隨混凝土襯砌彈性模量和 厚度的變化規(guī)律Fig.6 Variation of axial stress of lining section with elastic modulus and thickness of concrete lining

由于對(duì)某個(gè)確定的隧洞結(jié)構(gòu)斷面進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，其埋深、施工荷載釋放率以及水荷載等外環(huán)境均已經(jīng)確定；圍巖參數(shù)E1、φ、c與襯砌參數(shù)E2、D作為計(jì)算模型內(nèi)部“影響因子”客觀上存在著顯著的隨機(jī)性，主要由于實(shí)際工程中監(jiān)測技術(shù)、參數(shù)反演方法中存在的差異性。襯砌厚度D雖然具備以上特征，但實(shí)際中其變化幅度的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于其他參數(shù)，故忽略其隨機(jī)性帶來的影響。因此，確定襯砌可靠度計(jì)算所需的隨機(jī)變量，可從E1、φ、c、E2四個(gè)參數(shù)作為主要影響因子中選取，具體還需依據(jù)實(shí)際工程特點(diǎn)作取舍。

4 工程應(yīng)用

陽江核電站冷卻水排水隧洞中風(fēng)化花崗巖斑巖洞段為IV類巖體，通過基于均勻設(shè)計(jì)-響應(yīng)面-有限元法的可靠度計(jì)算方法，獲得可靠度指標(biāo)β以及失效概率Pf，對(duì)排水隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

該洞段外壓水頭19.246 m，影響較小，實(shí)際計(jì)算時(shí)可不予考慮。模型建立過程如上文所述，側(cè)壓系數(shù)取0.9，荷載釋放率取90%，模型范圍80 m×80 m，二襯混凝土內(nèi)徑6.7 m，厚度為0.4 m。按照上文選定的圍巖的變形模量E1、內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c以及襯砌彈性模量E2這4個(gè)因變量為影響結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的隨機(jī)變量。材料各參數(shù)值參考實(shí)測結(jié)果取值，如表2和表3所示，混凝土力學(xué)參數(shù)見表4。

表2 材料參數(shù)Table 2 Material parameters

表3 陽江核電站冷卻排水隧洞Ⅳ類圍巖參數(shù)Table 3 Parameters of class Ⅳ surrounding rock of cooling and drainage tunnel of Yangjiang Nuclear Power Station

表4 混凝土力學(xué)參數(shù)Table 4 Mechanical parameters of concrete

依據(jù)均勻設(shè)計(jì)法“均勻分散”的原則在上述取值范圍內(nèi)等間隔取值，參照4因素9水平均勻設(shè)計(jì)表設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)組合，見表5。

表5 4因素9水平均勻設(shè)計(jì)表Table 5 Uniform design table with four factors and nine levels

在考慮單一影響因子的計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)各隨機(jī)變量與襯砌軸應(yīng)力呈線性或二次曲線的相關(guān)關(guān)系，故選用純二次多項(xiàng)式(Pure Quadratic)以及線性多項(xiàng)式(Liner)來擬合其真實(shí)函數(shù)(式(11))，對(duì)比兩種影響面函數(shù)模型的顯著性。

(11)

本工況下襯砌的主要破壞模式為受壓破壞，本文認(rèn)為當(dāng)襯砌內(nèi)某一點(diǎn)發(fā)生破壞時(shí)結(jié)構(gòu)即面臨失效，故選取襯砌典型截面最大軸應(yīng)力σ為響應(yīng)面函數(shù)的響應(yīng)值。依照均勻設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)并通過有限元計(jì)算程序模擬，計(jì)算結(jié)果見表6。

表6 各試驗(yàn)點(diǎn)在最危險(xiǎn)截面軸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果Table 6 Calculation results of axial stress at the most dangerous section of each test point

采用擬合的方法，得到二次多項(xiàng)式中的各項(xiàng)系數(shù)，并代入式(11)中得到

σ=-59 485.6-25.925 1E1-61.495 3E2-37 512c+

62 632.33c2-66.664 2φ2。

(12)

擬合模型的剩余標(biāo)準(zhǔn)差值越接近于0，顯著性越好。該計(jì)算模型的剩余標(biāo)準(zhǔn)差RMSE=1.177 3，表明該模型顯著性良好。

對(duì)于Liner函數(shù)擬合的線性多項(xiàng)式，得到其擬合函數(shù)為

σ=-20.578 9+0.733 0E1-0.426 1E2+

17.058 1c+0.142 6φ。

(13)

線性多項(xiàng)式的剩余標(biāo)準(zhǔn)差RMSE=2.553 3，大于純二次多項(xiàng)式擬合得到的剩余標(biāo)準(zhǔn)差RMSE=1.177 3，后者的顯著性更好?？紤]到當(dāng)待定系數(shù)增加時(shí)，試驗(yàn)的計(jì)算量會(huì)增加。純二次多項(xiàng)式的擬合模型顯著性良好，且試驗(yàn)次數(shù)相對(duì)較少，具有可行性。

根據(jù)承載力極限狀態(tài)函數(shù)，并賦予αk相應(yīng)的幾何參數(shù)，襯砌厚度D與寬度h分別取值0.4 m與1 m，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，γ0、ψ、γd分別取值1.0、1.0、0.9。參考C35混凝土與Ⅳ級(jí)圍巖的相關(guān)規(guī)定參數(shù)，得到相關(guān)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征，見表7。

表7 各隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征Table 7 Statistical characteristics of each random variable

將以上參數(shù)值代入前文擬合出的響應(yīng)面函數(shù)，得到荷載效應(yīng)S(襯砌典型截面環(huán)向軸應(yīng)力σ最大值)的統(tǒng)計(jì)分布，見表8。

表8 均勻試驗(yàn)下荷載統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)Table 8 Statistical characteristic parameters of load under uniform test

最后按照J(rèn)C法在MatLab中編制相應(yīng)的計(jì)算程序，將有關(guān)參數(shù)代入，得到按襯砌承載力抗壓極限狀態(tài)計(jì)算的可靠度指標(biāo)β=3.684以及失效概率Pf=0.000 16，與基于蒙特卡洛的隨機(jī)有限元可靠度計(jì)算結(jié)果β=3.8、Pf=0.000 4相比較[15]，兩者可靠度指標(biāo)相差在3%左右，失效概率相差較大。本文認(rèn)為其主要與不同計(jì)算模式下可靠度指標(biāo)與失效概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，且可靠度指標(biāo)較高時(shí)，較小的可靠度指標(biāo)差異會(huì)使得失效概率發(fā)生較大的變化。總體而言，對(duì)于相應(yīng)《規(guī)范》的要求，本工程獲得的可靠度指標(biāo)β為3.684，表明隧洞襯砌結(jié)構(gòu)安全性是可靠有保障的。

5 結(jié) 論

本文在可靠度計(jì)算理論的基礎(chǔ)上，將均勻設(shè)計(jì)方法、響應(yīng)面法和有限元數(shù)值模擬方法相結(jié)合，利用《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 279—2016)中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，構(gòu)建了圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應(yīng)響應(yīng)面顯式表達(dá)式，提出一種軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠度計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，建立了圍巖與襯砌協(xié)同承載數(shù)值計(jì)算模型，分析了影響圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載特性的單因素隨機(jī)變量，辨識(shí)了影響圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載可靠性的主要因素，包括圍巖的變形模量、黏聚力和內(nèi)摩擦角以及襯砌的彈性模量等。

將上述方法應(yīng)用到具體工程中，檢驗(yàn)了該方法的可靠性，同時(shí)與傳統(tǒng)可靠度計(jì)算方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明所提出的方法具有很好的適應(yīng)性和可行性，且在保證計(jì)算精度的前提下，簡化了計(jì)算流程，使計(jì)算更為高效，有助于解決水工軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載時(shí)的可靠性評(píng)價(jià)和應(yīng)用的問題。