白 潔

遼寧大學 遼寧 沈陽 110036

基于翻轉(zhuǎn)課堂的比例模型教學設計主要從教學方案、教學過程和教學效果與未來展望三個部分展開。

一、利用比例性建模的教學方案

采用“以問題為導向,以趣味為動力”的教學理念來組織利用比例性建模的教學。具體來講：

1.教學目的。利用比例性進行建模的教學目的是：(1)掌握比例性概念和幾何解釋,理解比例性的關鍵是直線必須通過原點；(2)建立比例模型,并化簡求解；(3)將理論結(jié)果應用于現(xiàn)實；(4)探索模型的應用和推廣。

2.教學方法和模式。基于翻轉(zhuǎn)課堂教學方法,采用線上線下混合教學模式,通過課前準備、課中講授、課后反饋的教學過程,達到“興趣驅(qū)動探索”的教學效果。

3.教學內(nèi)容。利用雨課堂課件講解比例性概念和比例性的幾何解釋[1]。然后課堂舉例講解比例性模型的建模過程。最后反饋教學效果并展望未來。

二、利用比例性建模的教學過程

本節(jié)課教學過程包括三個部分：課前預習,課中講解,課后反饋。具體來講：

1.課前預習：在授課時間前一天將比例性性概念、幾何解釋和四個模型以課件的形式提交到雨課堂平臺,其中四個模型包括雨滴的終極速度,“駭鳥”尺寸的建模,劃艇比賽的成績,評選舉重總冠軍。

2.課中講授：

(1)首先解答學生的疑問。

(2)然后指出歷史上著名的比例性：虎克定律,牛頓定律,歐姆定律,波義耳定律,愛因斯坦相對論,開普勒第三定律[1]。

(3)最后以問題為導向,用趣味性帶動學生主動探索,通過七個模型的講解來拓展學生建模視野。

利用體積、面積和特征尺寸的比例關系建模原理：對事物的任何特征量l都有S∝l2,V∝l3,能夠得到S∝V2/3,其中S,V分別表示事物表面積和體積。因為質(zhì)量m與體積成正比,由比例性的傳遞規(guī)則有S∝m2/3.

模型延伸1啟發(fā)學生利用雨滴終極速度模型來解釋為什么可以通過雨滴落在身上的感覺來判斷大雨還是小雨。經(jīng)過短暫思考,有學生回答由動量守恒定律：mv=Ft,如果是小雨,則雨滴質(zhì)量m比較小,雨滴終極速度v較小,而雨滴打到人身上的時間t固定,所以雨滴對人的作用力F會比較小,感覺雨滴比較輕。大雨相反。

模型延伸2[1]已知3英尺高20磅重的火烈鳥腿長2英尺,根據(jù)“駭鳥”尺寸模型,對100磅的火烈鳥的高度和腿長進行建模。

解答：如果把腿長作為特征量,由 W=kl3,當腿長為2英尺,k=20/8=2.5,則100磅火烈鳥腿長英尺；如果把高度作為特征量,由W=kl3,當高度為3英尺,k=20/27=0.7407,則100磅火烈鳥腿長英尺。

模型延伸3[2]建模說明八人艇重量級組(86kg)比輕量級組(73kg)成績大約好5%。

解答：因為劃槳功率p與漿手體重w成正比,而n=8不變,則原模型中的v∝(n/S)1/3變?yōu)関∝(w/S)1/3.所以重量級組速度vz∝(wz/Sz)1/3,輕量級組速度vq∝(wq/Sq)1/3,且比賽需用時間tz/tq=vq/vz=(wq/wz)1/3(Sz/Sq)1/3,資料顯示Sz/Sq不超過1.05,代入wz=86,wq=73,可以得到tz/tq≈0.96。

例1[2].超市購物時選大包裝的合理性。

模型建立 生產(chǎn)成本主要與質(zhì)量w成正比,包裝成本主要與包裝表面積S成正比,則商品價格P=aw+bw2/3+c,其中c表示價格中與質(zhì)量和表面積無關的成分,且a＞0,b＞0,c＞0.單位質(zhì)量價格p=P/w=a+bw-1/3+cw-1.

模型解釋 因為p'=(-1/3)bw-4/3-cw-2小于0,則p是w的減函數(shù),說明大包裝比小包裝商品便宜；p''=(4/9)bw-7/3+2cw-3大于0,則曲線是向上凹的,說明隨著包裝的變大單價的減少量是逐漸下降的。所以購買大包裝商品適可而止,不能過度追求。

例2[2].利用魚的長度估計魚的質(zhì)量。

模型假設 同一種魚的整體形狀是相似的,密度大體相同。

模型構(gòu)成 質(zhì)量與身長的立方成正比,即m=k1l3.

模型改進 假定魚的橫截面是相似的,則m=k2d2l,其中d表示魚身最大周長。

模型檢驗 利用實際數(shù)據(jù)估計k1和k2,將模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)比較,兩個模型結(jié)果都比較滿意[3]。

例3[4].汽車剎車距離：判斷“2秒準則”的合理性。

模型假設 (1)剎車距離d=反應距離d1+制動距離d2；(2)d1=vt1,其中v表示車速,t1表示反應時間；(3)Fd2=mv2/2,F∝m,其中F表示剎車最大制動力,m表示汽車質(zhì)量。

模型建立 由牛頓第二定律和假設(3)可知,d2=kv2,其中k為比例系數(shù),且k=1/2a.由假設(1)和(2),d=vt1+kv2.對于t1,利用經(jīng)驗估計值0.75秒；對于k,利用數(shù)據(jù)擬合得到k=0.0256,則d=0.75v+0.0256v2.根據(jù)實際數(shù)據(jù)檢驗模型結(jié)果,與實際吻合較好[4]。

模型應用 通過計算發(fā)現(xiàn),車速為0～10英里/小時,t為1秒；車速為10～40英里/小時,t為2秒；車速為40～60英里/小時,t為3秒；車速為60～80英里/小時,t為4秒,其中t表示后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)t秒鐘后到達同一標志。所以“2秒準則”應該修正為“t秒準則”。

例4[1].描述汽車速率和燃油里程之間的關系。

模型假設 汽車以常速v行駛；燃油轉(zhuǎn)換成能量的比例K不變；功率轉(zhuǎn)換率不變；限制垂直于汽車運動方向的汽車橫截面積S相同。

模型構(gòu)成 首先單位時間燃燒掉的燃油的量記為Cr,由該車可利用功率與燃油轉(zhuǎn)換功率成比例,有F∝CrK/v∝Cr/v,其中F表示汽車推進力。在高速公路上,常用的設計是阻力f∝Sv2,則f∝v2.由牛頓第二定律,F=f,得到Cr∝v3.定義燃油里程=距離vt/油耗Crt,所以有燃油里程∝v-2.

模型解釋 汽油里程和速度的平方成反比。本模型對很多變化因素做了不變制約,而且是在限制速率的范圍里的定性解釋,具有很大的局限性。

3.課后反饋：留一個比例模型作為練習,通過雨課堂平臺與學生進行交流。

三、利用比例性建模的教學效果與未來展望

基于翻轉(zhuǎn)課堂教學方法和線上線下混合教學模式進行的比例模型教學設計,能夠?qū)崿F(xiàn)“以學生為主體”,利用問題的趣味性帶動學生主動探索和建模,達到了很好的教學效果。

未來展望是融入更多的利用比例性建模的競賽題,進一步拓展建模視野。