劉延薇

摘要：數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能。本文從數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展過程出發(fā)，以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷為例，分析試卷對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查情況，并且針對考查情況提出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);2020年高考;試題分析;教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）提出要求：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。并且《課標(biāo)》清晰明確地指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相互獨立又相互交融，構(gòu)成一個有機的整體[1]。寧銳構(gòu)建的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)將6大核心素養(yǎng)分別歸為了3個功能性的組：數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)（包含直觀想象、數(shù)學(xué)抽象）、數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)（包含數(shù)學(xué)運算、邏輯推理）、數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)（包含數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模）[2]。2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷（理科）中處處都考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此本文將根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功能性結(jié)構(gòu)分層地分析2020年數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷所考查的核心素養(yǎng)，并提出教學(xué)建議。

1高考題中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的分析

1.1對數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)是按照數(shù)學(xué)方式來認(rèn)識事物和理解數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界”的思維性目標(biāo)[2]，包含數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。

1.1.1對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，抽象是數(shù)學(xué)的特性之一，數(shù)學(xué)的推理與應(yīng)用都離不開抽象。試卷中有多題考察了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，主要有：第4、6、9、11、14、16、18、21、23題。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第9題為例解析試題并分析數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在高考題中的滲透。

例1 4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種。

本題以“垃圾分類宣傳”為背景，巧妙地將計數(shù)原理的綜合應(yīng)用以及分步乘法融入其中。題目插入了積極向上的實踐勞動實例，落實了立德樹人的要求，幫助學(xué)生形成正確的人生觀、價值觀和世界觀。題目既到達(dá)了對垃圾分類的宣傳效果，又合理地考查了考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算能力。

1.1.2對數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的考查

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解和解決數(shù)學(xué)問題的重要素養(yǎng)[1]。通過直觀想象，學(xué)生利用圖形進(jìn)行問題的描述和分析，并且通過與外界環(huán)境的接觸直接感知，得到對二維、三維空間圖形及其性質(zhì)的理解。試卷中有多題考察了數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)，主要有：第2、5、7、8、10、15、16、19、20、22題。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第16題為例解析試題并分析數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)在高考題中的滲透。

例2 設(shè)有下列四個命題：

p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi);

p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面;

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行;

p4：若直線l∩平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l。

則下述命題中所有真命題的序號是

本題是一道有難度的填空題，題目涉及空間中線面關(guān)系、復(fù)合命題判斷的考試內(nèi)容，主要是考查了學(xué)生對線線平行、面面垂直、線面角的判斷。該題中考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象，而解題判斷過程中的關(guān)鍵是清楚分辨空間中的線、面、角的相互關(guān)系，對平面以及空間的直觀想象。利用幾何直觀和空間想象推導(dǎo)線、面位置，具體體會三線共面、三點共線等的滿足條件。

1.2對數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)基礎(chǔ)上構(gòu)建和推演數(shù)學(xué)，以及運用數(shù)學(xué)知識來解決問題的素養(yǎng)，體現(xiàn)出“用數(shù)學(xué)思維來思考世界”的方法性目標(biāo)[2]，包含了數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

1.2.1對數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的特點，邏輯推理能力是學(xué)生必須具有的基本數(shù)學(xué)能力之一。邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)中的邏輯推理能力是指正確地運用思維規(guī)律和形式對數(shù)學(xué)對象的屬性或數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析綜合、推理證明的能力。試卷中有大量的題都著重考察了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，主要有：第4、5、6、8、9、10、11、12、13、16、17、19、20、21、22、23題。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第6題為例解析試題并分析數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)在高考題中的滲透。

本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式。題目中全是數(shù)學(xué)符號，需要學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)分析、猜測、洞察、演繹等能力。在解題過程中首先必須根據(jù)已知的數(shù)學(xué)等式特殊化并推理構(gòu)造出含通項的遞推關(guān)系，然后運用等比數(shù)列的基本知識對公式進(jìn)行運算。題目中通過綜合分析、演繹推理深刻地對數(shù)學(xué)邏輯推理進(jìn)行了考查。

1.2.2對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)運算是指明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)運算即是能夠根據(jù)概念、公式、法則和運算律，進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確運算和變形;能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，并能進(jìn)行近似的運算。數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的品格和關(guān)鍵能力之一，試卷中（除了第7、16題外）幾乎所有題都考察了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第1題為例解析試題并分析數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)在高考題中的滲透。

本題是一道簡單的集合的并集、補集混合運算的選擇題。該題考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算，要求學(xué)生能夠理解集合的基本概念、掌握集合運算的基本法則，并能夠在解題過程中體會數(shù)學(xué)運算的意義。

1.3對數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)是運用數(shù)學(xué)知識和方法向外解決問題的素養(yǎng)，體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)世界”的工具性目標(biāo)[2]，包含數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

1.3.1對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)建模是很接近生活的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。試卷中對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查的試題有第4、12、18題。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第4題為例解析試題并分析數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高考題中的滲透。

例5北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層。上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊。下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊。已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（如圖1）

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊

本題以“北京天壇的圜丘壇”為背景，巧妙地將數(shù)列知識融入情景之中，體現(xiàn)了對中國傳統(tǒng)建筑的所展示的數(shù)學(xué)美，讓考生們感受數(shù)學(xué)藝術(shù)之美，隱性的對學(xué)生進(jìn)行了人文底蘊的熏陶。題目涉及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，而主要考查得是等差數(shù)列前n項和有關(guān)建模和計算問題。

1.3.2對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)[1]。數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，隨著大數(shù)據(jù)時代的到來、“互聯(lián)網(wǎng)+”的不斷發(fā)展，數(shù)據(jù)分析能力也就顯得更為重要。試卷中就有第3、14、18題對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)進(jìn)行了查考。

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第3題為例解析試題并分析數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)在高考題中的滲透。

例6 在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.5。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

該題結(jié)合時事，以“新冠疫情防控”“志愿者參加配貨工作”為背景，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生要“德智體美勞”全面發(fā)展，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)可以解決生活中的實際問題。題目涉及數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，考查了簡單的概率與統(tǒng)計知識。本題也是文字較多，考生需將文字快速分析、提煉出所需數(shù)據(jù)，最終分析解出結(jié)果。

2試題考查情況數(shù)據(jù)匯總及教學(xué)建議

2.1數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查分析

下表是2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷（理科）試題對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的數(shù)據(jù)匯總情況表：

根據(jù)上表可知：

（1）試卷綜合考查了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)高考試卷中各題往往涉及了多個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相互交融、不可分割，是一個有機的整體。這樣看來基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考對于考生的綜合能力的測試呈必然的趨勢。

（2）試卷考查數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)最多。數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)的考查幾乎涵蓋了所有數(shù)學(xué)高考試題，足以證明數(shù)學(xué)方法的重要性，是解決數(shù)學(xué)問題所必不可少的素養(yǎng)。

（3）試卷較少考查數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)。對于數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)的考查主要集中在解決實際問題的試題。數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)是針對數(shù)學(xué)應(yīng)用的素養(yǎng)，解決問題的素養(yǎng)，雖然數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)考查較少，但是數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)卻在解決實際問題、引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識方面起著至關(guān)重要的作用。

（4）試卷考查數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)較多。數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的查考則主要體現(xiàn)在幾何與代數(shù)、函數(shù)等數(shù)學(xué)知識當(dāng)中。

2.2教學(xué)建議

（1）將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿整個教學(xué)活動。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課堂教學(xué)需要落實的重要內(nèi)容，因此要求教師將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)綜合的培養(yǎng)貫穿于整個教學(xué)活動，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中重視學(xué)生的綜合能力訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展數(shù)學(xué)綜合核心素養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。

（2）在解題教學(xué)中提升數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)。

推理是數(shù)學(xué)的“命根子”，運算是數(shù)學(xué)的“童子功”。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)注重對學(xué)生的解題訓(xùn)練，通過解題，讓學(xué)生在運算過程中明確運算對象，深入理解、運用運算法則。并且教學(xué)中可通過幾何與代數(shù)解題來訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性。理性思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的靈魂，因此數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式，善于使學(xué)生學(xué)會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考。

（3）在活動教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)。

在教學(xué)過程中可圍繞某個數(shù)學(xué)問題，開展趣味數(shù)學(xué)、自主探究、小組合作等活動，在教師的幫助下解決問題。在教學(xué)中多以現(xiàn)實生活為例，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)貼近生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法。

（4）在課堂教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)主要體現(xiàn)在概念、基本定理、幾何圖形的考查，因此在教學(xué)中要善于啟發(fā)學(xué)生，要幫助學(xué)生從“事實”到“概念”，以“概念”形成“方法”，注重對基礎(chǔ)知識的教授、強化以及圖形的觀察，促進(jìn)學(xué)生思維能力、空間想象能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)對象，去發(fā)現(xiàn)、探索、研究有意義的數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 寧銳，李昌勇，羅宗緒. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)及其教學(xué)意義[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報. 2019， 28（02）： 24-29.

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