賀明 李成柱 宋文愛

摘? 要： 針對圖像處理中存在噪聲放大、過度增強高頻分量的問題，提出了一種基于二階差分的頻域濾波反銳化增強算法。首先在頻率域內(nèi)利用同態(tài)濾波器和高斯低通濾波器對圖像進行對比度增強和平滑處理，并將二者進行減運算得到圖像細(xì)節(jié);然后利用二階差分曲率控制細(xì)節(jié)成分對輸出圖像的貢獻;最終通過反銳化掩膜法進行增強處理。實驗結(jié)果表明，增強后的圖像有效地抑制了噪聲，突出了圖像細(xì)節(jié)信息，具有較好的視覺效果。

關(guān)鍵詞： 圖像增強; 同態(tài)濾波; 低通濾波; 反銳化掩膜; 二階差分

中圖分類號：TP391?????? ???文獻標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1006-8228（2021）01-16-05

Image unsharp masking algorithm in frequency domain based on second-order difference

He Ming1， Li Chengzhu1， Song Wenai2

（1. Army Special Operations College， Guangxi， Guilin 541002， China; 2. College of Software， North University of China）

Abstract： Aiming at the problems of noise amplification and excessive enhancement of high-frequency components in image processing， an image unsharp masking algorithm based on second-order difference in frequency domain filtering is proposed. Firstly， in the frequency domain， homomorphic filtering and Gaussian low-pass filtering are used to enhance and smooth the contrast of the image， and subtract the two to obtain image details; Then use the second-order differential curvature to control the contribution of the detail component to the output image; Finally， the unsharp masking method is used for enhancement processing. The experimental results show that the enhanced image effectively suppresses the noise， highlights the image details， and has a better visual effect.

Key words： image enhancement; homomorphic filtering; low-pass filtering; unsharp masking; second order difference

0 引言

近年來，圖像處理技術(shù)的使用越來越廣泛，已覆蓋軍事、航空航天、通信工程、生物醫(yī)學(xué)工程、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域。一般數(shù)字化的圖像存在噪聲和對比度差的缺陷，給進一步檢測和識別帶來很大不便。圖像增強是圖像預(yù)處理中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，其目的是為了突出圖像某些特點和信息，改善視覺效果，為下一步識別和檢測提供前提和基礎(chǔ)。

目前，圖像增強方法有很多種，如直方圖均衡化法、頻域濾波法、反銳化掩膜法、圖像銳化法等。直方圖均衡化法[1-2]雖然可以有效地調(diào)節(jié)圖像對比度，但細(xì)節(jié)信息增強效果不明顯。盡管形態(tài)學(xué)方法[3]擴展了傳統(tǒng)的對比度增強方法，但其存在不必要的過增強以及對細(xì)節(jié)缺乏自適應(yīng)的缺陷;頻域濾波方法[4-7]處理后圖像存在對比度不夠，前景和背景反差較小的缺點。反銳化掩膜法[8-9]是圖像處理中經(jīng)常用到的一種方法，該方法簡單可行，但對噪聲敏感，影響圖像的后續(xù)處理。

對于以上圖像增強處理中存在噪聲放大、過度增強以及細(xì)節(jié)缺乏自適應(yīng)等問題，提出一種基于二階差分的頻域濾波反銳化掩膜方法。該方法在抑制噪聲方法和防止邊緣過沖的同時，能夠有效地增強圖像的對比度和細(xì)節(jié)成分。

1 頻域處理

1.1 同態(tài)濾波

同態(tài)濾波是在頻域范圍內(nèi)調(diào)整圖像亮度和增強對比度的一種方法。圖像的高頻分量對應(yīng)反射分量，低頻分量對應(yīng)照射分量，因此可以通過抑制低頻分量，增強高頻分量的來實現(xiàn)圖像增強。

假設(shè)一幅圖像[f（x，y）]由照射分量[fi（x，y）]與反射分量[fr（x，y）]構(gòu)成，其數(shù)學(xué)表達式為：

[fx，y=fi（x，y）×fr（x，y）]?? ⑴

其中，照射分量[fi（x，y）]在空間中變化緩慢，反射分量[fr（x，y）]在物體交界處變化劇烈。所以圖像在傅里葉變換中低頻部分對應(yīng)照明分量，高頻部分對應(yīng)反射分量。

因此，可設(shè)計一個對低頻和高頻分量影響不同的濾波函數(shù)[H（u，v）]來調(diào)整圖像的動態(tài)范圍和對比度。如圖1所示為[H（u，v）]函數(shù)的截面圖，將其沿垂直方向旋轉(zhuǎn)一周，可得到完整的二維[H（u，v）]。

同態(tài)濾波傳遞函數(shù)為：

[H（u，v）=（γH-γL）1-e-cD（u，v）D02n+γL]? ⑵

其中，[γH]與[γL]分別表示高頻增益和低頻增益，文中設(shè)置為[γH]=1.9，[ γL]=0.7;常量[c]用于調(diào)節(jié)同態(tài)濾波函數(shù)的斜面銳化程度。

[D（u，v）=（u-u0）2+（v-v0）2]為點[（u，v）]到傅里葉變換中心[（u0，v0）]的歐式距離;[D0]為截止頻域，其值越大，保留低頻成分少，圖像越亮;反之越暗。經(jīng)反復(fù)試驗將截止頻域設(shè)置為[D0]=50。如圖2（b）為同態(tài)濾波后的圖像。

1.2 高斯低通濾波

低通濾波也稱平滑濾波，經(jīng)過低通濾波器處理可以濾除圖像中的高頻分量，剔除尖峰和邊緣跳變信息。為了在反銳化掩膜法中更好地提取圖像的細(xì)節(jié)成分以及減少圖像增強時的振鈴現(xiàn)象。文中采用高斯低通濾波器對原始圖像作平滑處理。

高斯低通濾波傳遞函數(shù)為：

[H（u，v）=e-D2（u，v）2D20]??? ⑶

其中，[D（u，v）]為距離頻率中心的距離，[D0]為截止頻率，經(jīng)過反復(fù)試驗設(shè)置為[D0]=55，如圖3（a）為經(jīng)過高斯低通平滑處理后的圖像。圖3（b）為同態(tài)濾波處理后的圖像與高斯低通處理后的圖像作減運算所得的結(jié)果。

2 基于差分的反銳化掩膜法

2.1 反銳化掩膜法

本文在傳統(tǒng)反銳化掩膜法的基礎(chǔ)上，將算法改進如下：

[g（x，y）=f（x，y）+λ（ft（x，y）-fdx，y ]?? ⑷

其中，[f（x，y）]為原始圖像，[ft（x，y）]為同態(tài)濾波后圖像，[fd（x，y）]為低通濾波后圖像，[g（x，y）]為增強后的圖像，[λ]為增強控制因子：

[λ=α×exp（Kβ）]?????? ⑸

其中，[α]與[β]為常數(shù)，0<[α]<1，60<[β]<120。

通過利用原始圖像的差分信息計算增強程度因子[λ]，進而通過[λ]控制高頻細(xì)節(jié)成分對輸出圖像的貢獻。其中，差分曲率[K]的取值是圖像銳化的關(guān)鍵。

2.2 差分公式

一般地，二階導(dǎo)數(shù)能夠有效地區(qū)分一維信號的邊緣區(qū)域和平緩區(qū)域[10]。將其拓展到數(shù)字圖像而言，提出了一種利用圖像的二階導(dǎo)數(shù)來區(qū)分的圖像的邊緣和平緩區(qū)域的方法。該公式表達如下：

[K=?2f?n2-?2f?s2]??? ⑹

其中，[K]表示能區(qū)分邊緣區(qū)域和平緩區(qū)域的二階差分曲率值，[?2f?n2]表示沿梯度方向的二階導(dǎo)數(shù)，[?2f?s2]表示垂直于梯度方向的二階導(dǎo)數(shù)。[?2f?n2]與[?2f?s2]推導(dǎo)如下：

對于一幅圖像[f（x，y）]對變量[x]，[ y]的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的梯度，記作[?f]：

[?f=（fx，fy）]?? ⑺

梯度的模為：

[?f=f2x+f2y]??? ⑻

任一點的梯度方向為：

[n=（fx，fy）?f=?f?f]?? ⑼

則梯度的方向?qū)?shù)為：

[?f?n=?f?f?f=?f≥0]??? ⑽

根據(jù)上式：

[?2f?n2=??f?n=??f?n ]?? ⑾

又由于：[?f=f2x+f2y]，因此：

[??f=?f2x+f2y]

[=（fxxfx+fxyfyf2x+f2y，fxyfx+fyyfyf2x+f2y）]

[=（fxxfx+fxyfy?f，fxyfx+fyyfy?f）]??????? ⑿

[?2f?n2=（fxxfx+fxyfy?f，fxyfx+fyyfy?f）?fx，fy?f]

[=fxxf2x+2fxyfxfy+fyyf2xf2x+f2y]?????????? ⒀

同理可得，在[s=（-fy，fx）?f]方向上，有：

[?2f?s2=fxxf2y-2fxyfxfy+fyyf2xf2x+f2y]?? ⒁

下面對[fx，fy，fxx，fyy，fxy]的求解方法作如下推導(dǎo)：

假定圖像[f（x，y）]為連續(xù)且可導(dǎo)的二元函數(shù)，該函數(shù)在平行于x軸的某一領(lǐng)域內(nèi)，（例如[（x-δ，x+δ）]，[?δ>0）]），它只隨x坐標(biāo)的變化而變化，則鄰近點[（i，j）]處，函數(shù)[f]可展開成泰勒級數(shù)：

[f=fi，j+fxi，jx-xi，j+12！fxxi，jx-xi，j2+]

[?????? 13！fxxxi，jx-xi，j3+…]?? ⒂

在像素點[（i-1，j）]和[（i+1，j）]處，[x]分別等于[xi，j-1]和[xi，j+1]，所以[x-xi，j]分別等于-1和1，代入上式可得：

[fi-1，j=fi，j-fxi，j+12！fxxi，j-13！fxxxi，j+…] ⒃

[fi+1，j=fi，j+fxi，j+12！fxxi，j+13！fxxxi，j+…] ⒄

由于三次冪及以上各項的值很小可忽略不計，以上兩式可簡化為：

[fi-1，j=fi，j-（fx）i，j+12?。╢xx）i，j]???? ⒅

[fi+1，j=fi，j+（fx）i，j+12！（fxx）i，j]? ⒆

聯(lián)立式⒅、⒆，解得沿[x]軸方向的差分公式為：

[（fx）i，j=fi+1，j-fi-1，j2]??? ⒇

[（fxx）i，j=fi+1，j-2fi-1，j+fi-1，j]????????? （21）

同理可得，沿[y]軸方向的差分公式為：

[（fy）i，j=fi，j+1-fi，j-12]? （22）

[（fyy）i，j=fi，j+1-2fi，j+fi，j-1]?????????? （23）

根據(jù)式⒇、（22），推得二階混合偏導(dǎo)數(shù)差分公式為：

[（fxy）i，j= [ fyx]i，j=12[? fyi+1，j-? fyi-1，j]]

[=14fi+1，j+1-fi+1，j-1-fi-1，j+1+fi-1，j-1] （24）

將上式推導(dǎo)結(jié)果代入式⑹，從而得到圖像的二階差分曲率[K]。下面對利用二階差分曲率值如何判斷圖像的邊緣區(qū)域和平緩區(qū)域進行說明。

⑴ 對于邊緣區(qū)域，圖像梯度和梯度的變化率都較大，因此計算出的[?2f?n2]值較大，而梯度方向垂直的[?2f?s2]較小，所以二階差分曲率[K]也較大。

⑵ 而對于平緩區(qū)域，圖像梯度和梯度的變化率較小，因此[?2f?n2]與[?2f?s2]的值較小，所以二階差分曲率[K]也較小。

綜上，文中的編程實現(xiàn)步驟如下：

⑴ 分別用同態(tài)濾波器和高斯低通濾波器對圖像進行增強和平滑處理，得：[ftx，y， fd（x，y）];

⑵ 提取圖像細(xì)節(jié)成分：[ft（x，y）-fd（x，y）];

⑶ 計算出[fx，fy，fxx，fyy，fxy]，然后代入式⒀，⒁求出[?2f?n2]與[?2f?s2]，進而求出二階曲率值：[K];

⑷ 根據(jù)式⑸，計算增強控制因子：[λ];

⑸ 最終根據(jù)式⑷，計算增強后圖像：[g（x，y）]。

3 實驗結(jié)果及分析

實驗環(huán)境為：Intel（R） Core（TM） i5-7200 CPU @ 2.50GHz，8GB的內(nèi)存，windows 7操作系統(tǒng)。利用MATLAB （R2014a）進行仿真實驗。

3.1 主觀評價

為了驗證本文算法的處理效果，本文采用lena圖像作為實驗對象。將本文算法與直方圖均衡化算法、反銳化掩膜法、各向同性增強算法對比，如圖4所示，圖中（a）為原始圖像;（b）為多尺度直方圖均衡化（MHE）算法;（c）為基于亮度維持的動態(tài)直方圖均衡化（BPDH）算法;（d）為多尺度非線性反銳化掩膜法;（e）為拉普拉斯各項同性增強算法;（f）為本文提出的算法，在參數(shù)設(shè)定為[α]=0.15，[β]=105后的處理結(jié)果。

從圖4中可以看到，多尺度直方圖均衡法處理后，圖像細(xì)節(jié)不夠清晰;基于亮度維持的直方圖均衡法處理后，圖像對比度不夠強;多尺度反銳化掩膜法處理后，細(xì)節(jié)存在過度增強的現(xiàn)象;拉普拉斯算法處理后，存在噪聲放大和過度增強高頻分量的問題。本文處理后算法，有效地提高圖像的對比度，增強了圖像細(xì)節(jié)信息，抑制了噪聲，具有較好的視覺效果。

3.2 客觀對比

為了客觀評價圖像增強的效果，需要對處理后的圖像作定量表述，本文選用常用指標(biāo)信息熵（Entropy）、均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）來檢測增強后的效果。其定義分別如下：

⑴ 信息熵（Entropy）

[H（x）=-x∈Lqxlnq（x）]???????? （25）

其中，[qx]為增強后圖像的灰度分布密度。

信息熵，是衡量圖像質(zhì)量的重要指標(biāo)，對于圖像而言，熵值越大，圖像越細(xì)膩。

⑵ 均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）

[MSE=1MNi=1Mj=1Ngx，y-f（x，y）2 ] （26）

[PSNE=10lg2552×M×Ni=1Mj=1Ngx，y-f（x，y）2]??????? （27）

式（26）、式（27）中， [f]和[g]分別表示原圖像和增強后的圖像，[M×N]表示圖像的大小。

均方誤差主要反映去除噪聲效果的好壞，其值越小，表明有較好的抑制噪聲。峰值信噪比主要反映兩幅圖的差異，其值越大，表示圖像質(zhì)量越高。

4 結(jié)束語

本文針對圖像增強中存在噪聲放大和過度增強高頻分量的問題，提出了一種基于二階差分的頻域濾波反銳化圖像增強方法。利用同態(tài)濾波處理結(jié)果和高斯低通濾波處理結(jié)果作減運算，提取圖像細(xì)節(jié)，并利用二階差分來控制細(xì)節(jié)成分對輸出圖像的貢獻，最終通過反銳化方法進行增強處理。通過實驗主觀對比和客觀分析，處理后的圖像較好地抑制了噪聲，提高了峰值信噪比，圖像細(xì)節(jié)更加清晰。但在增強過程中，對于灰度變化適中的區(qū)域，圖像細(xì)節(jié)提取不明顯，因此，這是算法下一步改進的方向。

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收稿日期：2020-08-21

基金項目：國家重點研發(fā)計劃（No.2017YFB1400803）

作者簡介：賀明（1991-），男，山西忻州人，研究生/碩士，助教，主要研究方向：數(shù)字圖像處理。