沈海軍，李 偉,2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092； 2. 中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院， 天津 300300)

先進(jìn)復(fù)合材料，相較于傳統(tǒng)的金屬材料，具有比強(qiáng)度高、比模量高、耐腐蝕、抗疲勞以及可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。在航空航天領(lǐng)域，飛機(jī)的主承力結(jié)構(gòu)件已開始大量采用復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，其用量已成為衡量現(xiàn)代飛機(jī)先進(jìn)性的重要指標(biāo)之一。然而，一方面，由于飛機(jī)主承力構(gòu)件中復(fù)合材料用量的增加，急需高精度的層間局部響應(yīng)結(jié)果；另一方面，隨著復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)水平和整體成型工藝的不斷提高，整體加筋復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)、先進(jìn)格柵增強(qiáng)層合結(jié)構(gòu)及空間點(diǎn)陣復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)也對(duì)現(xiàn)有的復(fù)合材料層合板殼分析理論提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)[1]。因此，復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜整體成型結(jié)構(gòu)的高精度板殼分析理論成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題之一。

傳統(tǒng)的板殼分析方法大多基于等效單層板(Equivalent Single Layer，ESL)理論。ESL理論通過對(duì)板殼結(jié)構(gòu)沿厚度方向的變形特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，將三維彈性理論轉(zhuǎn)為二維問題進(jìn)行分析處理。ESL理論主要有經(jīng)典層合板理論(Classical Laminated Theory，CLT)、一階剪切變形理論(First-order Shear Deformation Theories，F(xiàn)SDT)以及高階剪切變形理論(Higher-order Shear Deformation Theories，HSDT)。ESL理論的位移場(chǎng)可統(tǒng)一簡(jiǎn)化表示[2]為：

(1)

傳統(tǒng)的等效單層板理論在薄板假設(shè)的基礎(chǔ)上忽略了體積力的影響，是工程上一種應(yīng)用廣泛的層合板殼結(jié)構(gòu)分析理論。其具有計(jì)算簡(jiǎn)便和未知量少等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于薄板的力學(xué)問題往往能夠較好地得到整體變形、臨界屈曲載荷和固有振動(dòng)頻率等宏觀響應(yīng)結(jié)果。然而，隨著對(duì)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)分析精度要求的日益提高，等效單層板理論已不能完全滿足復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的工程需求，尤其是其在分析大厚度層合板及其局部的層間剪切效應(yīng)時(shí)所帶來的誤差是不可接受的。例如，圖1所示為復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)相鄰兩層之間的層向橫向應(yīng)力示意圖，根據(jù)力的平衡原理，層間橫向應(yīng)力分量在相鄰的兩層之間應(yīng)滿足連續(xù)性要求，即(σxz,σyz,σzz)k=(σxz,σyz,σzz)k+1。等效單層板理論中的位移假設(shè)模式是厚度坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，這使得其橫向應(yīng)變分量沿厚度坐標(biāo)也是連續(xù)的，在相鄰兩層材料剛度不同的情況下，導(dǎo)致橫向應(yīng)力分量具有不連續(xù)性，即(σxz,σyz,σzz)k≠(σxz,σyz,σzz)k+1，與層間橫向應(yīng)力的連續(xù)性相矛盾。因此對(duì)于較厚的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)及其局部損傷問題，不但無法滿足精度要求，甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。為此，Reddy將層合結(jié)構(gòu)離散為若干個(gè)獨(dú)立的數(shù)值層，并單獨(dú)模擬每個(gè)數(shù)值層內(nèi)的位移場(chǎng)，然后再利用層間的位移協(xié)調(diào)來建立整個(gè)層合結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)假設(shè)模式，該建模思想即為層向理論(layerwise theories)。相較于等效單層板理論，層向理論的位移場(chǎng)沿層合結(jié)構(gòu)的厚度方向呈C0連續(xù)性，即層向理論沿厚度方向僅位移是連續(xù)的，而應(yīng)變(位移的一階導(dǎo)數(shù))在層間界面處是不連續(xù)的，從而保證了橫向應(yīng)力在層間界面處的連續(xù)性，而且層向理論的位移假設(shè)模式還能夠準(zhǔn)確反映截面的橫向翹曲。

圖1 層合板層間橫向應(yīng)力平衡[2]Fig.1 Equilibrium of interlaminar transverse stresses between laminates[2]

回溯層向理論的研究歷史，Reddy等最早提出了一種針對(duì)厚板結(jié)構(gòu)的基于位移的廣義層合板理論(displacement-based laminated plate theory)[3-5]。近二十幾年來，研究人員將Reddy的層向理論廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)、壓電復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)以及功能梯度層合結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)分析中，并且不斷地對(duì)層向理論進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。目前，已有相關(guān)的書籍[2,6-9]系統(tǒng)地介紹了層向理論的基本原理及其數(shù)值分析方法，并且關(guān)于層合板殼理論的綜述性文獻(xiàn)[10-19]對(duì)層向理論也有所提及。然而文獻(xiàn)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，近年來還沒有綜述文獻(xiàn)系統(tǒng)地介紹層向理論的最近發(fā)展及應(yīng)用。為此，本文深入調(diào)查和研究了近年來層向理論的相關(guān)文獻(xiàn)，系統(tǒng)性地介紹了層向理論的基本原理、發(fā)展情況、數(shù)值解法及應(yīng)用現(xiàn)狀，最后展望了層向理論的研究趨勢(shì)和工程應(yīng)用前景。

1 層向理論的基本原理及發(fā)展

迄今為止，許多學(xué)者們都基于層向理論的基本思想建立了相應(yīng)的層向理論。例如：Carrera的統(tǒng)一理論(unified formulation)[20]、Ferreira的層向一階剪切理論[21]以及Reddy的層向理論[22]。其中，最早提出的是Reddy的層向理論，其發(fā)展最為成熟，應(yīng)用也最為廣泛。因此，著重介紹Reddy的層向理論。通過將厚度方向上的插值節(jié)點(diǎn)分別布置于層合結(jié)構(gòu)的層間界面以及上、下表面處，Reddy的層向理論的一般形式[2]為：

(2)

其中：(u,v,w)分別表示結(jié)構(gòu)沿(x,y,z)方向的位移分量；(uk,vk,wk)為結(jié)構(gòu)厚度方向上第k個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處的位移分量；t為時(shí)間變量；N為層合結(jié)構(gòu)中數(shù)值層的個(gè)數(shù)，因此厚度方向上含有N+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，如圖2所示；φk為厚度方向上的一維拉格朗日插值函數(shù)。

圖2 層向理論位移假設(shè)模式Fig.2 Displacement approximation mode in layerwise theory

根據(jù)是否對(duì)橫向位移進(jìn)行層向離散，Reddy的層向理論可分為部分層向理論(partial layerwise theory)和全層向理論(full layerwise theory)兩大類。部分層向理論，相較于等效單層理論，不但可以模擬面內(nèi)位移沿厚度方向的Zig-Zag變化特性，還能夠描述層間的橫向剪切效應(yīng)。而且與全層向理論相比，具有更好的計(jì)算效率。全層向理論在部分層向理論的基礎(chǔ)上，還可以分析層合結(jié)構(gòu)的層間正應(yīng)力效應(yīng)。

即便層向理論能夠較為精確地描述中厚復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)的局部響應(yīng)，但是由于需要在厚度方向布置足夠多的插值節(jié)點(diǎn)才可以保證計(jì)算精度，因此，層向理論相較于等效單層板理論而言，計(jì)算工作量會(huì)大幅度增加。因此，近二十年來，研究人員不但從結(jié)構(gòu)形式以及新材料的多場(chǎng)耦合等方面發(fā)展和豐富了層向理論，還提出了各種高階非線性理論和混合方法，對(duì)層向理論進(jìn)行了優(yōu)化和改進(jìn)。

1.1 結(jié)構(gòu)形式

自從Reddy的層向理論被提出以來，學(xué)者們基于層向理論已經(jīng)發(fā)展了各種結(jié)構(gòu)形式的層向理論分析方法，主要包括復(fù)合材料層合梁、板、殼結(jié)構(gòu)、加筋層合結(jié)構(gòu)以及夾層結(jié)構(gòu)等。

層向梁板殼理論是利用層向理論，結(jié)合不同結(jié)構(gòu)形式的幾何關(guān)系方程(應(yīng)變-位移關(guān)系)，發(fā)展得到的層向理論模型。針對(duì)復(fù)合材料層合梁及其壓電智能結(jié)構(gòu)，通過對(duì)面內(nèi)位移進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，學(xué)者們采用層向理論相繼建立和研究了層合梁、層合曲梁以及夾層梁結(jié)構(gòu)。針對(duì)復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)，采用部分層向理論和全層向理論，研究人員相繼提出和研究了復(fù)合材料層合板、夾層板、層合圓柱殼、層合雙曲殼、層合環(huán)殼、層合球殼，層合扁殼、層合錐殼以及夾層殼等層合結(jié)構(gòu)的層向分析方法。隨著復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)整體成型工藝的不斷提升，層向理論也應(yīng)用于大型復(fù)雜加筋復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)的精確分析模型中。例如，Li等[23]分別采用層向理論和有限元方法建立了復(fù)合材料層合圓柱殼結(jié)構(gòu)的層向有限元模型和加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)的三維實(shí)體有限元模型，進(jìn)而通過圓柱殼和加筋結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)和內(nèi)力平衡關(guān)系耦合建立了整個(gè)加筋層合圓柱殼的層向有限元控制方程。采用上述建模思想，Li等[24]和Lu等[25]相繼提出了復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)和加筋復(fù)合材料層合板的層向離散耦合分析方法。以上文獻(xiàn)的研究結(jié)果均表明：基于層向理論的離散耦合分析方法在研究復(fù)雜復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)問題時(shí)，能夠得到更為準(zhǔn)確的靜動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，尤其在描述加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)以及芯子的局部響應(yīng)特性時(shí)，更具優(yōu)勢(shì)。

1.2 非線性

首先，早期大多數(shù)研究工作采用的是線性層向理論，計(jì)算效率不夠高。另外，早期研究大多考慮線性幾何關(guān)系，所建立的層向理論無法分析結(jié)構(gòu)的大變形問題。為此，學(xué)者們相繼從幾何非線性以及高階非線性兩方面對(duì)層向理論提出改進(jìn)。

采用幾何非線性理論可以提高層向理論在分析復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)大變形問題時(shí)的精確度。研究人員利用Von-Karman非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，分別提出了復(fù)合材料層合梁[26-28]、板[29-32]、圓柱殼[33-35]、圓錐殼[36]以及夾層梁板殼結(jié)構(gòu)[37-40]的幾何非線性層向理論。由于新材料在智能板殼層合結(jié)構(gòu)領(lǐng)域得到應(yīng)用，學(xué)者們相繼研究了壓電復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)[41-42]、功能梯度材料層合結(jié)構(gòu)[43-45]、形狀記憶合金復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)[46]以及多鐵性復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)[47]的幾何非線性層向理論。以上文獻(xiàn)研究結(jié)果表明：基于層向理論的幾何非線性理論在分析復(fù)合材料及其智能層合結(jié)構(gòu)的大變形和低速?zèng)_擊問題時(shí)，不但能夠獲得精確的整體靜動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，而且計(jì)算得到的層間局部響應(yīng)量可更好地應(yīng)用于模擬層間分層裂紋擴(kuò)展特性研究。

在高階非線性方面，Reddy等[48]最早將厚度坐標(biāo)的二次拉格朗日插值函數(shù)引入層向理論的位移假設(shè)模式中，對(duì)線性層向理論進(jìn)行了優(yōu)化。Plagianakos和Saravanos分別將二次和三次插值函數(shù)引入復(fù)合材料夾層厚板結(jié)構(gòu)的層向線性位移場(chǎng)的假設(shè)模式中，相繼研究了其靜態(tài)響應(yīng)[49]和低速度沖擊響應(yīng)[50]特性；采用相同的建模方法，作者將其高階層向理論應(yīng)用于壓電復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合分析理論中[51-52]。Sun等[53]利用其高階層向理論模型，研究了多層旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。近年來，Rekatsinas等[54-57]采用三階Hermite多項(xiàng)式樣條函數(shù)來描述位移場(chǎng)分量沿厚度方向的分布，建立了含壓電傳感/作動(dòng)器的復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)的層向機(jī)電耦合方程。Batra等基于三階層向理論和幾何非線性理論，分別提出了復(fù)合材料層合直梁[58]和曲梁[59]結(jié)構(gòu)的高階層向理論；研究結(jié)果表明：在不借助任何應(yīng)力修正方法的基礎(chǔ)上，其得到的橫向應(yīng)力結(jié)果與解析結(jié)果和三維彈性實(shí)體有限元結(jié)果吻合較好。

由于復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)的芯體厚度較大，因此較多采用高階位移理論對(duì)芯體結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)進(jìn)行模擬假設(shè)。Loja等[60]基于不同的高階層向剪切變形理論，分別模擬了面板結(jié)構(gòu)和芯體結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)，通過引入Kriging面內(nèi)插值函數(shù)，建立了含黏彈性軟質(zhì)芯體復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)的層向/Kriging有限元控制方程?；贚oja的層向/Kriging有限元理論，學(xué)者們隨后研究了復(fù)合材料夾層柱[61]、梁[62-64]以及板殼[64-65]結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題。

近年來，研究人員受到有限元理論的等參單元思想啟發(fā)，將計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(Computer-Aided Geometric Design, CAGD)中用于表達(dá)幾何模型的高階B樣條基函數(shù)作為形函數(shù)，并與層向理論相結(jié)合，形成了層向等幾何高階有限元方法[45，66-69]。

1.3 多場(chǎng)耦合

研究人員最早將溫度場(chǎng)的假設(shè)模式作為獨(dú)立變量引入層向理論中，通過材料的力-熱本構(gòu)關(guān)系方程來建立傳統(tǒng)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的力-熱層向耦合分析理論[32，36，70-75]。文獻(xiàn)[44，76-79]基于層向理論分析了功能梯度材料板殼結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力響應(yīng)特性。另外，學(xué)者們[46，80-82]還采用層向理論研究了形狀記憶合金復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的熱屈曲特性。

Robbins等[83]最早采用層向理論建立了壓電層合梁的機(jī)電耦合有限元模型，并且與基于等效單層板理論的有限元模型進(jìn)行了靜力學(xué)和模態(tài)響應(yīng)結(jié)果的對(duì)比。其研究結(jié)果表明：相較于等效單層板理論的有限元模型，層向機(jī)電耦合有限元模型計(jì)算得到的靜力學(xué)響應(yīng)橫向應(yīng)力滿足層間連續(xù)性要求；而且，在模態(tài)分析方面，層向機(jī)電耦合有限元模型對(duì)于高階模態(tài)以及大厚度結(jié)構(gòu)的分析結(jié)果更精確。Reddy等又相繼建立了壓電復(fù)合材料層合板的幾何非線性層向機(jī)電耦合理論[84]和層向機(jī)電耦合混合板理論[85]。Heyliger等和Han等基于Reddy的部分層向理論，分別建立了壓電復(fù)合材料層合圓柱殼[86]和平板[87]的層向機(jī)電耦合有限元模型。Li等在其基礎(chǔ)上，采用全層向理論對(duì)位移場(chǎng)和電勢(shì)場(chǎng)獨(dú)立地進(jìn)行模擬假設(shè)，分別提出了壓電復(fù)合材料層合圓柱殼的全層向機(jī)電耦合有限元模型[88]和含分層損傷壓電復(fù)合材料層合板的細(xì)化全層向機(jī)電耦合有限元模型[89]。

除了力熱耦合和力電耦合的兩場(chǎng)耦合以外，層向理論還被廣泛地應(yīng)用于三場(chǎng)及以上的耦合分析建模。文獻(xiàn)[101-104]采用層向理論提出了壓電復(fù)合材料層合梁、板、殼結(jié)構(gòu)的力熱電多場(chǎng)耦合層向理論。文獻(xiàn)[105-108]則提出了智能復(fù)合材料層合梁和板結(jié)構(gòu)的力電磁耦合層向分析模型。文獻(xiàn)[109-110]還基于層向理論研究了智能復(fù)合材料的力-熱-電-磁四場(chǎng)耦合效應(yīng)。

2 層向理論的有限元解法

層向理論被提出以來，研究人員主要通過解析法、半解析法及有限元法等理論來求解和建立相應(yīng)的層向分析理論。解析方法雖能夠獲得較為滿意的結(jié)果，但較大程度受結(jié)構(gòu)和加載形式以及約束條件等方面的制約。因此建立各種層向有限元分析方法成為該領(lǐng)域最主要、也是最具活力的研究方向之一。研究結(jié)果表明[2，10]，層向有限元理論不但在分析精度方面與三維彈性有限元模型相同；而且相較于三維彈性有限元理論，還具有以下優(yōu)點(diǎn)：①減少了系統(tǒng)的自由度；②由于層向有限元理論的面內(nèi)離散和橫向離散是獨(dú)立進(jìn)行的，因此可以根據(jù)計(jì)算精度需要進(jìn)行選擇性的優(yōu)化，無須重新構(gòu)建三維有限元模型。

研究人員從縮減系統(tǒng)總自由度和提高計(jì)算效率角度出發(fā)，對(duì)層向有限元提出了各種優(yōu)化方法。學(xué)者們最早采用一種“整體-局部方法”的可變動(dòng)力學(xué)單元模型。Robbins和Reddy[10，111]最早將層向理論和等效單層板理論結(jié)合，在局部(分層、邊緣等)通過高精度的層向有限元模擬位移場(chǎng)，其余部分采用高效率的等效單層板模擬位移，建立了層合板殼的“整體-局部方法”的可變動(dòng)力學(xué)有限元模型，其模型中的有限元網(wǎng)格劃分模型如圖3所示。模型中，內(nèi)部整體區(qū)域采用FSDT單元建模，自由邊區(qū)域的有限元模型采用層向理論，并且通過變形協(xié)調(diào)關(guān)系來保證局部與整體單元節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性?；谙嗤摹罢w-局部”建模思想，Botshekanan Dehkordi等[112-113]采用Reissner的混合變分定理，提出了夾層板結(jié)構(gòu)的層向/等效單層板混合板理論。其他涉及“整體-局部方法”的層向有限元研究成果，可參考文獻(xiàn)[67，114-119]。

圖3 基于“整體-局部分析方法”的可變動(dòng)力學(xué)有限元模型[10]Fig.3 Variable kinematic finite element model based on “global-local analysis”[10]

層向理論的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，如式(2)所示，每一個(gè)位移分量都可以獨(dú)立地進(jìn)行假設(shè)模擬，因此可以根據(jù)需要，對(duì)位移分量分別采用等效單層板理論、Zig-Zag理論或?qū)酉蚶碚撨M(jìn)行假設(shè)模擬，或者對(duì)位移分量采用不同階數(shù)的級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行描述。例如，在文獻(xiàn)[10]中，Reddy在保持面內(nèi)離散單元不變的情況下，僅通過對(duì)橫向插值函數(shù)進(jìn)行細(xì)化，大大提高了復(fù)合材料層合板橫向剪切應(yīng)力的預(yù)測(cè)精度。文獻(xiàn)[22，120-121]都基于該思想對(duì)層向有限元方法進(jìn)行深入的研究。

此外，近年來采用不同的單元類型對(duì)層向有限元理論進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化也成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。Phung-Van等[122-123]提出了三節(jié)點(diǎn)三角形單元層向有限元理論，并用于分析復(fù)合材料層合板及夾層板結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。Belarbi等[124]基于層向理論，建立了復(fù)合材料夾層板結(jié)構(gòu)的四節(jié)點(diǎn)四邊形等參元模型；其中，面板結(jié)構(gòu)采用2自由度的節(jié)點(diǎn)，而芯體部分采用了9自由度的節(jié)點(diǎn)。相似地，文獻(xiàn)通過各種單元優(yōu)化方法，相繼提出了復(fù)合材料夾層殼[125]、夾層玻璃光伏組件[126-127]以及含分層損傷的復(fù)合材料層合殼結(jié)構(gòu)的層向有限元分析方法。

3 層向理論的應(yīng)用

3.1 靜力學(xué)分析

靜力學(xué)分析是工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和應(yīng)用的基礎(chǔ)，其核心任務(wù)是精確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在靜態(tài)載荷作用下的響應(yīng)量，如位移、應(yīng)力和應(yīng)變以及壓電智能結(jié)構(gòu)的電勢(shì)分布等。相較于傳統(tǒng)的等效單層板理論，層向理論能夠更為精確地描述復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)，尤其是大厚度層合結(jié)構(gòu)的靜態(tài)響應(yīng)特性。

Robbins和Reddy作為層向理論的奠基人，在文獻(xiàn)[22]中詳細(xì)地討論了層向理論在分析復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)方面的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)大厚度復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，采用層向理論深入研究了其局部響應(yīng)特性。其中，以鋪層順序?yàn)閇0°/90°/0°]的四邊簡(jiǎn)支正方形層合板(長(zhǎng)/厚=4)為研究對(duì)象，采用層向理論計(jì)算了在四邊簡(jiǎn)支的邊界約束條件下橫向剪切應(yīng)力分量σxz沿層合板厚度方向的分布，并與采用等效層合板理論(CLT和FSDT)和三維精確解的預(yù)測(cè)結(jié)果相比較，如圖4所示。從圖4中可以看出，基于等效單層板理論的模型在分析厚板結(jié)構(gòu)的橫向切剪應(yīng)力時(shí)，與三維精確解相差較大，而層向理論與三維精確解幾乎完全吻合；另外，從圖4還可以看出，層向理論計(jì)算得到的層向剪切應(yīng)力完全滿足沿層間的連續(xù)性要求，而等效層合板理論給出的計(jì)算結(jié)果則不滿足連續(xù)性要求。此外，文獻(xiàn)[22]中還以鋪層順序?yàn)閇45°/-45°/-45°/45°]的長(zhǎng)條形層合板(長(zhǎng)/寬=10，寬/厚=4)為研究對(duì)象，采用層向理論進(jìn)一步研究了自由邊效應(yīng)。圖5給出了在結(jié)構(gòu)自由邊附近的三個(gè)不同位置處，層向理論預(yù)測(cè)得到的橫向剪切應(yīng)力沿厚度方向的分布情況，可以看出橫向應(yīng)力完全滿足在自由邊處為零的條件。后來，學(xué)者們還相繼分析了大厚度復(fù)合材料層合板[128]、圓拱[129]、雙曲殼結(jié)構(gòu)[130]以及復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)[37，49，131-133]的靜力學(xué)特性；基于層向理論在分析自由邊效應(yīng)問題的優(yōu)異性，學(xué)者們分別研究了反對(duì)稱角鋪設(shè)層合板[134]、非正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板[135]、一般鋪層形式復(fù)合材料層合板[136]以及復(fù)合材料膠接鋪層結(jié)構(gòu)[137]的自由邊效應(yīng)。

-- 三維精確解 ○ 層向理論(mesh 1)● 層向理論(mesh 2) CLT … FSDT圖4 橫向剪切應(yīng)力沿層合板厚度方向的分布[22]Fig.4 Distributions of transverse shear stresses through the thickness of laminates[22]

圖5 橫向剪切應(yīng)力在自由邊處沿層合板厚度方向的分布[22]Fig.5 Distributions of transverse shear stresses through the thickness of laminates near the free edge[22]

Heyliger等[86，138]最早將部分層向理論引入電勢(shì)場(chǎng)的假設(shè)模式中，提出了含壓電鋪層復(fù)合材料層合圓柱殼和層合梁的層向靜力學(xué)有限元模型，并分析了壓電傳感器對(duì)智能層合殼結(jié)構(gòu)主動(dòng)靜力學(xué)響應(yīng)特性的影響。Han等[87]同樣采用部分層向理論，分析了壓電作動(dòng)器對(duì)智能復(fù)合材料層合板靜態(tài)特性的影響。近年，Li等[88]采用了精度更高的全層向理論建立了壓電復(fù)合材料層合圓柱殼結(jié)構(gòu)的層向有限元模型，并深入研究了徑厚比對(duì)智能結(jié)構(gòu)的機(jī)械場(chǎng)和電場(chǎng)靜態(tài)響應(yīng)結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[51-52，91-92]均采用不同形式的層向理論深入分析了壓電復(fù)合材料的靜力學(xué)力電耦合特性。

3.2 振動(dòng)分析

除了能夠精確預(yù)測(cè)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的局部靜態(tài)響應(yīng)以外，層向理論還被學(xué)者們廣泛用來分析大厚度復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。Nosier等[139]最早將三維層向理論應(yīng)用于各向同性單層板以及正交各向異性層合板的自由振動(dòng)頻率分析，并與等效單層板理論和解析方法的結(jié)果進(jìn)行了深入的比較和分析。其研究結(jié)果表明：對(duì)于各向同性單層板，層向理論和等效層合板均能獲得高精度的振動(dòng)頻率結(jié)果；然而隨著正交各向異性復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)厚度的增加，等效單層板理論與精確解的誤差逐漸增大，而層向理論依然能夠保證精確的預(yù)測(cè)水平。后來，Zhang等基于層向B樣條有限條法研究了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性，進(jìn)一步驗(yàn)證了Nosier等[139]的研究結(jié)論。另外，文獻(xiàn)也采用層向理論深入討論了邊厚比等參數(shù)對(duì)大厚度復(fù)合材料層合板[128，140-141]以及復(fù)合材料夾層板結(jié)構(gòu)[142]自由振動(dòng)頻率的影響。

Shakeri等[143]較早地基于層向理論研究了大厚度壓電功能梯度材料層合板的自由振動(dòng)特性，作者重點(diǎn)討論了跨厚比和組分體積比對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)固有頻率及動(dòng)態(tài)感應(yīng)電勢(shì)的影響。研究結(jié)果表明：基于層向理論的三維有限元分析方法能夠精確預(yù)測(cè)大厚度壓電功能梯度材料板的固有振動(dòng)頻率?；赟hakeri等[143]的研究，Pandey等[44]研究了熱環(huán)境下功能梯度材料夾層板的自由振動(dòng)特性，并分析了熱載荷和幾何尺寸等參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。學(xué)者們同樣采用層向理論相繼研究了含壓電層大厚度復(fù)合材料層合梁[104]、板[100]以及夾層板結(jié)構(gòu)[95]的動(dòng)態(tài)特性。

近年來，考慮到層向理論建模能力強(qiáng)的特點(diǎn)，Li等[144-145]采用層向有限元和三維實(shí)體有限元分別建立復(fù)合材料層合面板和芯體結(jié)構(gòu)的有限元振動(dòng)方程，并利用面板和芯體結(jié)構(gòu)之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系和內(nèi)力平衡方程構(gòu)建了整個(gè)夾層結(jié)構(gòu)的層向/實(shí)體有限元振動(dòng)控制方程，并通過與三維實(shí)體有限元方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該層向/實(shí)體有限元方法的正確性和優(yōu)勢(shì)性。Li等還將相同建模思想應(yīng)用于加筋復(fù)合材料圓柱殼的自由振動(dòng)特性分析[23]。

3.3 含損傷問題的分析

研究結(jié)果表明[146-147]：層間分層和基體裂紋已成為復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)最常見的兩種損傷形式。由于層向理論能夠更精確地描述復(fù)合材料板殼結(jié)構(gòu)層間局部響應(yīng)特性，因此結(jié)合層向理論建立復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的局部損傷模型以及分析其靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性成為層向理論非常重要的應(yīng)用之一。

文獻(xiàn)[152-154]研究了含分層損傷壓電智能復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，尤其是分層損傷對(duì)感應(yīng)電勢(shì)分布的影響。近年，Li等[89]在Barbero等[148]層向分層損傷模型的基礎(chǔ)上，考慮層間應(yīng)變分量的不連續(xù)性，建立了含分層損傷壓電復(fù)合材料層合板的層向細(xì)化有限元分析方法，分析了分層損傷尺寸和位置對(duì)于壓電智能結(jié)構(gòu)電勢(shì)場(chǎng)的分布；而且如圖6所示，獲得了含分層損傷層合結(jié)構(gòu)所特有的張開型模態(tài)，并進(jìn)一步討論模型在復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的損傷監(jiān)測(cè)和定位方面的應(yīng)用。

(a) 25%

(b) 50%

(c) 75%圖6 不同分層損傷程度下壓電復(fù)合材料層合板的張開型模態(tài)[89]Fig.6 Opening mode shapes of plates with various delamination sizes[89]

層向損傷擴(kuò)展分析模型的研究目前主要集中于層間分層裂紋的擴(kuò)展行為預(yù)測(cè)[155-157]，而采用層向理論同時(shí)分析分層和基體裂紋擴(kuò)展行為的較少。Li等在Barbero等[148]層向分層損傷模型的基礎(chǔ)上，利用擴(kuò)展有限元方法(eXtended Finite Element Method, XFEM)來描述基體裂紋，提出了一種擴(kuò)展層向理論(eXtended LayerWise Theories, XLWT)，對(duì)同時(shí)含有層間分層裂紋和基體裂紋的復(fù)合材料層合梁[158]、板殼[159-160]以及雙曲殼[161]結(jié)構(gòu)的靜態(tài)斷裂行為進(jìn)行了深入的分析和討論,其中，含分層復(fù)合材料層合殼基體裂紋任意擴(kuò)展時(shí)的位移和應(yīng)力云圖如圖7所示，圖中位移和應(yīng)力均為無量綱。近年，Li等進(jìn)一步提出了力熱耦合的XLWT[162]，實(shí)現(xiàn)了熱環(huán)境下分層和基體裂紋同時(shí)任意擴(kuò)展的高精度預(yù)測(cè)。

另外，學(xué)者們[29，50，57，163-167]還將層向理論應(yīng)用于復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在低速?zèng)_擊載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和失效特性分析。

(a) u1 (b) u2 (c) u3

(d) σ11 (e) σ22 (f) σ12 圖7 含分層復(fù)合材料層合殼基體裂紋任意擴(kuò)展時(shí)的位移和應(yīng)力云圖[161]Fig.7 Cloud pictures of displacements and stresses for the laminated shell with crack and delamination[161]

4 層向理論研究方向展望

層向理論具有理論簡(jiǎn)單、易于編程實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，并且還易于擴(kuò)充至任意的多場(chǎng)耦合問題，再加之其便于與其他數(shù)值理論相結(jié)合，因此層向理論無論在理論發(fā)展還是在工程應(yīng)用上都具有廣闊的研究前景。

1) 將層向理論與XFEM結(jié)合，建立復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的多損傷分析模型。目前，只有很少的文獻(xiàn)將層向理論與XFEM結(jié)合，用于分析復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)的分層和基體裂紋擴(kuò)展問題。因此，有必要進(jìn)一步考慮孔洞、夾雜等間斷問題，提出含多種損傷形式的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的層向擴(kuò)展有限元分析方法。

2) 基于層向理論的無網(wǎng)格方法。由于層向有限元方法在處理幾何不連續(xù)性等問題時(shí)的計(jì)算效率和精度不夠理想，因此可以考慮結(jié)合無網(wǎng)格方法，提出一種層向無網(wǎng)格分析方法，用于高效模擬復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的大變形和幾何不連續(xù)問題。

3) 層向理論在智能結(jié)構(gòu)損傷監(jiān)測(cè)和主動(dòng)控制領(lǐng)域的應(yīng)用。目前，很多學(xué)者已經(jīng)采用層向理論構(gòu)建了壓電智能復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力電耦合關(guān)系。因此，結(jié)合層向理論在局部的高精度電勢(shì)預(yù)測(cè)水平，可一步擴(kuò)展應(yīng)用于含壓電傳感器智能層合結(jié)構(gòu)的損傷監(jiān)測(cè)研究；再結(jié)合適當(dāng)?shù)目刂祁I(lǐng)域，可以建立含壓電作動(dòng)器的智能結(jié)構(gòu)的層向主動(dòng)控制模型，用于精確分析壓電智能層合結(jié)構(gòu)的變形和振動(dòng)控制問題。同樣的思想可用于構(gòu)建含磁致伸縮材料或形狀記憶合金材料等其他智能結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制模型。

4) 復(fù)雜復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的層向理論模型。目前，層向理論絕大多數(shù)應(yīng)用于形式較為簡(jiǎn)單的層合板殼結(jié)構(gòu)；雖然有部分學(xué)者通過有限元節(jié)點(diǎn)連接技術(shù)實(shí)現(xiàn)了加筋層合結(jié)構(gòu)的建模，但是隨著復(fù)合材料設(shè)計(jì)和制造水平的提高，可以通過結(jié)合適當(dāng)?shù)倪B接技術(shù)，如固連接觸法和面面接觸法等，實(shí)現(xiàn)層向理論在復(fù)雜復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)(如空間點(diǎn)陣復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)和格柵型復(fù)合材料結(jié)構(gòu)等)領(lǐng)域的應(yīng)用。