陳彥軍，楊致遠(yuǎn)，徐延新

（哈爾濱師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150025）

0 引 言

目前，用于邊緣檢測的一階、二階算子較多，常見的有Roberts算子，Sobel算子和Laplacian算子等，這些算子本質(zhì)上是計算圖像的一階或者二階導(dǎo)數(shù)，并將局部最大，最小或者零交叉點確定為邊緣點。然而，這些算子通常只有一個方向或者兩個方向，其方向性較差。

雖然可以使用一個算子在不同旋轉(zhuǎn)方向上的模板，但是算子的方向最多只有8個。一個較好的方法是同時應(yīng)用幾個方向的濾波器算子，根據(jù)組合基本線性濾波器的過濾結(jié)果來確定哪個方向的濾波器算子的反應(yīng)強(qiáng)烈。Freeman和Adelson首先引入了“Steerable（方向可控）濾波器”的概念，該方法將多個基本濾波器線性組合成一族任意方向的濾波器，該濾波器的反應(yīng)隨方向變化，求出圖像中各點反應(yīng)最強(qiáng)的方向及其梯度幅度，對其進(jìn)行閾值分割，從而完成邊緣檢測［1］；Jacob和Unser設(shè)計了基于類似Canny準(zhǔn)則的最優(yōu)方向可控濾波器，該濾波器通過考慮信噪比、錯檢和精確定位，可獲得較好的性能［2］。

在對梯度圖像進(jìn)行閾值分割時，閾值的選取決定檢測到的邊緣點數(shù)量，最常使用的是迭代法。Tsai提出一種基于矩恒定原理的閾值確定方法，可以根據(jù)需要分別對具有雙峰或多峰的灰度條形圖確定兩個或多個閾值，該方法后來得到了更廣泛的應(yīng)用［3-6］。

本文首先對方向可控濾波器簡要介紹，之后將其與矩恒定原理組合使用對維納斯雕像圖像進(jìn)行邊緣檢測。實驗結(jié)果表明該方法要略優(yōu)于其它算子。

1 方向可控濾波器原理

Canny的邊緣檢測算法已經(jīng)得到了廣泛使用，作為方向可控濾波器的特例，本文用方向可控濾波器原理重新進(jìn)行解釋。首先，對平滑去噪后的圖像分別計算水平和垂直方向的梯度幅度，若e-（x2+y2）為窗口函數(shù)，式（1）和式（2）：

假定邊緣的法線方向為θ，則將水平和垂直方向的梯度算子向該方向投影，得到新的算子，用其對圖像進(jìn)行卷積。θ的值為θ*時卷積和最大，式（3）。

欲求θ*，對式子（3）右端關(guān)于θ求導(dǎo)，并令其為0，式（4）：

對于任意邊緣點，其方向和梯度由式（5）和（6）給出：

以上對Canny算子用方向可控原理重新進(jìn)行了解釋，對其進(jìn)行推廣。用一組互相成一定角度的基本濾波器線性組合，構(gòu)成一個方向可控濾波器，其中每一個基本濾波器有確定的方向，式（7）：

確定一個方向可控濾波器f（r，Φ）的最小基本濾波器數(shù)量等于等式（8）的非0參數(shù)a n（r）的數(shù)量。使用形式（9）：

其中，g（x，y）是各向同性的窗口函數(shù)；M是方向可控基本濾波器的序數(shù)；αki是第k i項的系數(shù)。h（x，y）在任意方向的模板為h（Rθx），這里x＝（x，y）＇。Rθ是方向矩陣，式（10）。

信號f（x，y）與任意旋轉(zhuǎn)后的模板h（Rθx）的卷積可以表示為式（11）：

函數(shù)f k，i（x，y）是信號f（x，y）與g k，i（x，y）卷積的結(jié)果，式（12）：

方向權(quán)重b k，i（θ）由式（13）給出：

這里S（k，j，i）是集合（14）：

得到f k，i（x，y）之后，就可以通過關(guān)于θ的三角多項式對f（x）*h（Rθx）的最大值及方向進(jìn)行有效估值［2］。 在圖像用基本濾波器卷積后，任意方向的濾波器反應(yīng)可以表示為式（15）：

其中，hθ是濾波器h（x，y）的方向可控模板，q0，…，q M可以由基濾波器與系數(shù)αk，i得到。 等式（15）是一個僅關(guān)于變量θ的函數(shù)。因此在f*hθ的局部最大和局部最小值處有式（16）：

將得到的多個角度值代入式（15），θ*令f*hθ的值最大，式（17）：

使用方向可控濾波器進(jìn)行邊緣檢測的流程圖如圖1所示。輸入圖像先與基本濾波器分別進(jìn)行卷積，其結(jié)果再與對應(yīng)的方向系數(shù)分別相乘，并將相乘結(jié)果相加求和，最后得到自適應(yīng)過濾結(jié)果。

圖1 方向可控自適應(yīng)濾波器流程圖Fig.1 Flow chart of steerable adaptive filter

2 邊緣檢測

為了確定邊緣檢測的最優(yōu)方向可控濾波器，需要確定等式（9）中各向同性窗口函數(shù)g（x，y），系數(shù)αk i以及方向可控濾波器的次數(shù)M。 關(guān)于各向同性函數(shù)，本文選擇高斯函數(shù)，式（18）：

由于該最優(yōu)定位方法基于不確定性原理，系數(shù)αk i可以通過參考的類Canny最優(yōu)準(zhǔn)則得到。如果選擇的理想陡峭邊緣模型為式（19）：

最大化最優(yōu)準(zhǔn)則的濾波器作為邊緣特征提取的最優(yōu)濾波器。另外，本文所以選擇使用高次的方向可控濾波器，是因為其具有較好的方向選擇性和更多的自由度。

本文設(shè)計了一個關(guān)于高斯函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的方向可控基本濾波器集合，最多需要3個基本函數(shù)，由于插值函數(shù)存在式（20）的關(guān)系：

令θ1＝0°，θ2＝60°，θ3＝120°，由式（20）解得，

使用3次多項式，利用最小二乘法，擬合可以獲得滿意的近似水平（誤差僅為總信號能量的1%），用H2表示擬合結(jié)果。

對于多數(shù)的方向可控濾波器，x，y并不是分離的，這樣會花費較高的計算代價，因此本文使用xy分離濾波器，即將所有的基本濾波器寫成關(guān)于x，y的多項式形式。由于基本濾波器的數(shù)量及運算復(fù)雜性隨次數(shù)M增加，作為在計算復(fù)雜性和檢測精度之間的折中，本文選擇M＝3，則有：

用其對圖像信號進(jìn)行卷積，式（21）：

其中，

對式子（21）右端關(guān)于θ求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為0。

使用包含最少基本濾波器的二階擬合x-y分離濾波器，該方向可控濾波器可表示為式（22）：

其中，

3 實驗結(jié)果

圖2 （a）為一幅背景較暗的圖，圖2（b）為方向可控濾波器過濾的梯度圖，圖2（c）為使用Canny算子及一個閾值進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果，而圖2（d）為使用方向可控濾波器檢測邊緣，并使用基于矩恒定原理得到的兩個閾值分割圖像的結(jié)果；圖3（a）為另外一幅格雷碼結(jié)構(gòu)光投影圖像，圖3（b）為使用Canny算子及默認(rèn)閾值的檢測結(jié)果，圖3（c）為使用所提出的策略進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果，在錯漏檢方面，其效果明顯優(yōu)于使用Canny算子及默認(rèn)閾值的邊緣檢測方法。

從時間代價上看，在Intel（R）Pentium（R）Dual CPU T2390 1.86GHz 782MHz 1.00GB計算機(jī)上，使用Canny算子對一幅尺寸為1200×1600大小圖像進(jìn)行邊緣檢測所花費的時間為5.712 1 s，而對同一幅圖像使用方向可控濾波器進(jìn)行邊緣檢測所花費的時間為6.812 2 s，時間僅多花費19.26%。

圖2 基于矩恒定原理邊緣檢測Fig.2 Moment invariance principle based edge detection

圖3 基于方向可控濾波器及矩恒定原理邊緣檢測Fig.3 Steerable filter and moment invariance principle based edge detection

4 結(jié)束語

在對圖像進(jìn)行邊緣檢測方面，本文提出了一種新的策略，將方向可控濾波器與基于慣性恒定原理確定閾值方法結(jié)合進(jìn)行邊緣檢測。方向可控濾波器具有較好的方向選擇性和計算高效性。基于理想陡峭邊緣模型，本文使用類Canny準(zhǔn)則的高次方向可控濾波器。為了抑制噪聲在邊緣檢測之前使用了一個自適應(yīng)中值濾波器。非最大抑制和雙閾值處理方法的引入保證了獲取最大的邊緣長度，同時可以有效地消除非邊緣點，使用基于慣性恒定原理獲取的閾值更加準(zhǔn)確。實驗結(jié)果表明，在時間花費增加不到20%的前提下，使用所提出的策略進(jìn)行邊緣檢測可得到更好效果。