冼家煒 盛業(yè)青 黎進吉 柳欣怡 潘嘉琪 呂銘

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?現(xiàn)如今很多日常生活中的問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決，而數(shù)學模型的建立是聯(lián)系實際問題和數(shù)學工具的重要橋梁，它讓數(shù)學工具得以運用于實際生活問題中。數(shù)學建模就是將現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為理論模型，然后利用理論研究成果進行后期預測。常微分方程是模擬一些實際問題發(fā)展規(guī)律的重要數(shù)學工具之一。主要討論了多年來建立常微分方程數(shù)學模型的數(shù)學模型競賽問題及其原型，以及常微分方程數(shù)學模型在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，并分析了SIR模型在大學生戀愛模型中的相關(guān)應(yīng)用。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?常微分方程;數(shù)學模型;生活實際

[中圖分類號] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2021）06-0064-02

早在300多年前，常微分方程理論便被數(shù)學家提出來了，一開始是一門自然科學學科，在經(jīng)過多位科研工作者嘔心瀝血的研究后，它現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為一門理論意義與實踐應(yīng)用并重的學科。目前，常微分方程在許多學科中有著重要的應(yīng)用。本文列舉生活中有關(guān)常微分方程建模的一些實例，討論了常微分方程知識在數(shù)學建模中的相關(guān)應(yīng)用[1]。

一、常微分方程模型與全國大學生數(shù)學建模大賽

（一）火箭推進力及升空速度（一階微分方程模型）

數(shù)模競賽題目：

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略（2014年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）

在高速飛行條件下，嫦娥三號的關(guān)鍵問題是著陸軌道和控制策略的設(shè)計，以保證在月球預定區(qū)域的精確軟著陸。根據(jù)課題要求，建立數(shù)學模型，確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小和方向;確定嫦娥三號的著陸軌道和最優(yōu)控制策略;對設(shè)計的著陸軌道和控制策略進行誤差分析和靈敏度分析。

分析：在確定嫦娥三號著陸軌道和六個階段最優(yōu)控制策略時，實際上是建立燃料消耗、時間和衛(wèi)星速度之間的動量守恒方程，在列出六個階段的方程后，經(jīng)過一系列的運算，再列出等式，便可知這是一個可以建立一階微分方程模型來進行求解的實際應(yīng)用問題。最后我們便可以通過求解這個一階微分方程來得到火箭的最優(yōu)控制策略。

題目參考原型[2]：

一個簡單的火箭模型由發(fā)動機和燃料倉組成。燃料燃燒從火箭的末端產(chǎn)生大量的氣體，給火箭一個向前的推力?；鸺w行受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的影響，使火箭起飛后做曲線運動。為了簡化問題，現(xiàn)假設(shè)：（i）火箭在噴氣推動下做直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計。（ii）從火箭末端噴出氣體的速度（相對火箭本身）為常數(shù)u。

（二）紅綠燈問題（非齊次二階微分方程）

數(shù)模競賽題目：

車道被占用對城市通行能力的影響（2013年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）

車道被占用的情況復雜多樣，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

分析：在交通管理方案的設(shè)計中，設(shè)置黃燈的持續(xù)時間，一般都是由司機的反應(yīng)時間和車子的制動距離所決定的，我們只要確定正常人看到黃燈并決定踩剎車的反應(yīng)時間和車輛的剎車距離。再根據(jù)牛頓第二定律列出相關(guān)方程可知這是一個可以建立非齊次二階微分方程模型進行求解的實際問題。通過求解該非齊次二階微分方程方程，便可以計算出黃燈的持續(xù)時間。

題目參考原型[2]：

在十字路口的交通管理中，黃燈應(yīng)該亮一段時間，然后紅燈亮。這是為了讓那些在十字路口開車的人注意一下，告訴他們紅燈就要亮了。如果能停車，應(yīng)立即剎車，以免闖紅燈違反交通規(guī)則。請根據(jù)實際數(shù)據(jù)預測黃燈應(yīng)該亮多久。

二、模型在生活中的相關(guān)應(yīng)用：牛頓冷卻的妙用

現(xiàn)實生活中，常常有人或其他生物突然暴斃，雖然這些事情不常見，但卻是真實存在的，而牛頓冷卻定律就可應(yīng)用在這類生物尸體死亡時間的鑒定中?，F(xiàn)在假設(shè)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，要確定這具尸體的具體死亡時間，從而通過遇害者的具體死亡時間來精確地利用監(jiān)控去尋找犯罪嫌疑人，這里便可利用牛頓冷卻模型來鑒定遇害者的具體死亡時間。

當受害者遇害身亡后，心臟停止跳動，血液流動停止，受害者的溫度從原來的人體正常溫度37攝氏度按照牛頓冷卻定律開始下降。現(xiàn)在假設(shè)周圍空氣的溫度保持在20攝氏度，那么根據(jù)牛頓冷卻定律，兩小時后尸體的溫度將會下降到35攝氏度。如果當刑警找到遇害者尸體，對尸體進行溫度測量時的溫度是30攝氏度，那么再聯(lián)系發(fā)現(xiàn)尸體的時間，刑警就可以得到受害者的死亡時間。

假設(shè)對尸體進行溫度測量的時間是晚上十點整， 現(xiàn)在我們用H來表示溫度，用t來表示時間，H0表示初始溫度，那么可以列式為[3]：

于是，我們可以得知遇害者的遇害時間發(fā)生在晚上十點尸體發(fā)現(xiàn)前的8.4小時，即八個小時二十四分鐘。再考慮到一些不可避免的誤差，我們便可得出受害者的遇害時間大概是當天下午一點三十分左右。刑警通過調(diào)查這個時間段的監(jiān)控便有可能快速鎖定犯罪嫌疑人。

同理，類似于日常生活中食物、汽水冷藏解凍等的最佳溫度也可運用牛頓冷卻模型來進行求解，這樣可以使那些想要喝到冰凍汽水的人，不至于冷藏過久而讓汽水結(jié)成冰，導致錯過飲用冰凍汽水的最佳時間。人們做飯的時候，冷藏的肉類食品在做飯前的什么時間段拿出來解凍是一個難題，而通過運用牛頓冷卻模型，人們便可以知道知道冷藏的肉類食品在做飯前的什么時間段拿出來解凍可以使肉類的口感最佳，不至于因為解凍的時間不夠而導致肉類食品做出來的時候半生不熟。

三、SIR模型在大學生戀愛模型中的運用——以五邑大學學生為例

由于我們的資料都來自互聯(lián)網(wǎng)以及書籍，缺乏現(xiàn)場的實際數(shù)據(jù)，從而導致無法精確地將常微分方程模型運用于實際生活中去，因此為了檢驗常微分方程模型的準確性，提高常微分方程模型的實際可用性，我們選擇五邑大學在校學生為樣本數(shù)據(jù)來檢驗常微分SIR模型的準確性。

（一）SIR模型簡介

SIR模型是一種傳播模型，是對信息傳播過程的抽象描述，是傳染病模型中的經(jīng)典模型，為傳染病動力學的研究做出了奠基性的貢獻。SIR模型中將總?cè)丝诜譃橐韵氯悾阂赘姓?，其?shù)量用s（t）表示，代表當時未感染該疾病但可能感染該疾病的人數(shù);染病者，其數(shù)量用i（t）表示，代表t時刻已感染并具有感染力的病人人數(shù);恢復者，其數(shù)量用r（t）表示，代表t時刻從受感染者中清除的人數(shù)。如果總?cè)丝跒镹（t），則N（t）=s（t）+i（t）+r（t）[4]。

（二）五邑大學學生戀愛模型的建立

我們在SIR模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建大學生戀愛模型，將五邑大學在校學生分為以下三類：單身者（Single），其數(shù)量用s（t）來表示，代表t時刻是單身狀態(tài)但可能戀愛的人數(shù);戀愛者（Lovers），其數(shù)量用l（t）來表示，代表t時刻正在戀愛狀態(tài)的人數(shù);失戀者（Brokenhearted），其數(shù)量用b（t）來表示，代表t時刻從戀愛狀態(tài)回到單身狀態(tài)的人數(shù)。

該戀愛模型基于以下因素：（1）不考慮五邑大學學生人口的休學、退學、死亡等動態(tài)因素。即默認五邑大學學生人口始終保持一個常數(shù)，就是N（t）≡K。（2）基于大學校園戀愛氛圍的特殊性，我們認為戀愛者對單身者必然具有一定的影響力，即單身者會受到戀愛者的影響變得趨向于戀愛。假設(shè)在t時刻單位時間內(nèi)，在一個環(huán)境中單身者的數(shù)目與戀愛者的數(shù)目成正比，設(shè)比例系數(shù)為β，則β=單身人數(shù)/戀愛人數(shù)。（3）假設(shè)在t時刻，單位時間內(nèi)失戀者人數(shù)與戀愛者數(shù)量成正比，比例系數(shù)為γ，單位時間內(nèi)移出者的數(shù)量為γl（t），比例系數(shù)為γ，則γ=戀愛人數(shù)/失戀人數(shù)。

由此在SIR模型的基礎(chǔ)上，我們歸納類比得到大學生戀愛模型：

而我們所收集的有效問卷顯示五邑大學大三年級學生的戀愛者人數(shù)占比為41.18%，如圖1，這與我們模型得到的數(shù)據(jù)相吻合，這表明微分方程模型可以應(yīng)用于現(xiàn)實生活中，而戀愛者人數(shù)占比接近一半，這與我們收集到的有效問卷數(shù)據(jù)中在進入五邑大學前戀愛人數(shù)所占比例的20%相比較，可以清晰地了解到戀愛氛圍在大學生中更為普遍。

四、結(jié)語

本文列舉了幾種用常微分方程求解實際問題的動態(tài)數(shù)學模型。雖然常微分方程的推導過程煩瑣，但是其結(jié)果卻相當簡明，并可以對生活實際中的問題做出合理解釋，從而能夠有效解決一些生活實際中的問題。

常微分方程模型在我們的日常生活中有很多實際應(yīng)用，但是如果要將其應(yīng)用到日常生活實際中去，關(guān)鍵是要得到一些常微分方程所需的數(shù)值。但是很多時候，就是因為我們不能知道某些甚至是某個具體的常微分方程所需的數(shù)值，導致我們不能得到最終的結(jié)果，即使模型建立了，它也不是一個精確的常微分方程模型，這樣，即使確切地得知這個常微分方程模型在日常生活中有著廣泛的功能，能夠解決很多日常生活中的問題，但由于某個值是不可知的，所以無法在日常生活中實現(xiàn)。

所以在確切得知該常微分方程模型能夠在生活實際中有著廣泛應(yīng)用的前提下，如果能夠求解得到常微分方程模型所需的全部數(shù)據(jù)，就可以有效地解決許多日常生活中的實際問題。

參考文獻：

[1]郭爽，侯麗英，李秀麗.常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用[J].數(shù)學教學研究，2009（4）：57-60.

[2]姜啟源.數(shù)學模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]盧里舉.試論死亡時間的鑒定[J].中國校外教育，2014（33）：29.

[4]劉珺.SIR模型及其在投資者行為研究中的應(yīng)用[D].濟南：山東大學，2018.

編輯 李 爭

①基金項目：五邑大學2019年大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（201911349272）;五邑大學2019年度本科教學質(zhì)量與教學改革工程建設(shè)項目（項目編號：JX2019037）。

通訊作者：盛業(yè)青（1979—），女，漢族，安徽蕪湖人，碩士。