賈 延，劉永葆，王 強(qiáng)，李 默，李 俊

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院， 武漢 430033)

燃?xì)廨啓C(jī)由于轉(zhuǎn)速高、功率大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn)，振動(dòng)問(wèn)題一直以來(lái)都是其安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要因素。軸承作為燃機(jī)的重要支承零件，其本身具有復(fù)雜的非線性特征(如徑向游隙、Hertz接觸力和接觸剛度等)。針對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了一系列的研究。文獻(xiàn)[1]利用拉格朗日方程，建立了有限元模型，分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為；文獻(xiàn)[2]考慮一種球軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算，研究軸承表面波紋度對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)影響；文獻(xiàn)[3]建立含橫向裂紋的雙跨度轉(zhuǎn)子模型，分析了裂紋擴(kuò)展、裂紋角和滾動(dòng)軸承徑向間隙對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了軸承工作狀態(tài)下的軸承力，研究表明非線性軸承力會(huì)誘發(fā)變剛度振動(dòng)；文獻(xiàn)[5]建立高速滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，分析轉(zhuǎn)速和阻尼參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)影響規(guī)律；文獻(xiàn)[6]建立滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析游隙和不平衡力對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[7]研究了中介軸承波紋度對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生的影響；文獻(xiàn)[8]建立了含滾動(dòng)軸承徑向游隙的整機(jī)振動(dòng)模型，分析不同轉(zhuǎn)速下機(jī)匣響應(yīng)特征及游隙對(duì)接觸力的影響；文獻(xiàn)[9]以磁懸浮軸承支承的航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓模擬轉(zhuǎn)子為對(duì)象，分析磁懸浮軸承的控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[10]介紹了一種游隙可調(diào)的軸承結(jié)構(gòu)及工作原理，分析了游隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[11]研究了在渦輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的細(xì)長(zhǎng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的Hopf分叉的類型，發(fā)現(xiàn)較高的基座質(zhì)量和阻尼會(huì)產(chǎn)生超臨界分叉；文獻(xiàn)[12]分析軸承等效剛度、軸承游隙與線性阻尼系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)滯后突跳的影響；文獻(xiàn)[13]分析了機(jī)動(dòng)載荷、偏心對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)及分岔特性的影響；文獻(xiàn)[14]考慮中介軸承外圈早期剝落故障模型，通過(guò)數(shù)值積分方法獲取故障激勵(lì)下的整機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)[15]建立三自由度分段非線性軸承故障碰撞模型，研究了滾動(dòng)體與內(nèi)圈缺陷的碰撞沖擊而出現(xiàn)的Neimark-Sacker分岔等非線性行為。文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[17]建立了三支承雙跨轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，考慮軸承的非線性，分析轉(zhuǎn)速和徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的影響。

上述研究缺少了針對(duì)燃?xì)廨啓C(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特性研究，因此本文根據(jù)某型燃?xì)廨啓C(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)，建立非對(duì)稱支承的三盤(pán)轉(zhuǎn)子模型。改變中介軸承的游隙、接觸剛度的值，根據(jù)系統(tǒng)的全局分岔圖，可以看到系統(tǒng)分岔混沌點(diǎn)的位置，為確定中介軸承游隙和接觸剛度的選擇范圍，提供一定的理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

本文以某型船用燃?xì)廨啓C(jī)為基礎(chǔ)，通過(guò)集中質(zhì)量對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化得到雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，如圖1所示。轉(zhuǎn)軸假設(shè)為無(wú)質(zhì)量的彈性軸，只考慮轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)，忽略扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和軸向振動(dòng)，即每個(gè)集中質(zhì)量處考慮x、y方向的自由度。Ob1、Ob2、Ob3、Ob4分別為軸承1、軸承2、軸承3、軸承4的形心，Op1、Op2、Op3分別為盤(pán)1、盤(pán)2、盤(pán)3的形心，Oc1、Oc2、Oc3分別為盤(pán)1、盤(pán)2、盤(pán)3的質(zhì)心，e1、e2、e3分別為盤(pán)1、盤(pán)2、盤(pán)3的偏心量。假設(shè)轉(zhuǎn)軸1和轉(zhuǎn)軸2的結(jié)構(gòu)材料相同，根據(jù)平面梁結(jié)構(gòu)關(guān)系得到各個(gè)軸段間的剛度關(guān)系，k1=k/125，k2=4k，k5=k/2，k3=k4=k6=k。

圖1 某型燃?xì)廨啓C(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型示意圖

本文所建的模型船用燃?xì)廨啓C(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，共有7個(gè)集中質(zhì)量。模型共14個(gè)自由度，根據(jù)Lagrange運(yùn)動(dòng)方程得到系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組為

M=diag(mb1，mb2，mp1，mb3，mb4，mp2，mp3)

C=diag(cb1，cb2，cp1，cb3，cb4，cp2，cp3)

(1)

式中：M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；C為系統(tǒng)阻尼矩陣；K為系統(tǒng)剛度矩陣；Fbx、Fby為軸承力矩陣；Fex、Fey為轉(zhuǎn)子不平衡力矩陣。其中ω1是轉(zhuǎn)子1的轉(zhuǎn)速，ω2是轉(zhuǎn)子2的轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速比α=ω2/ω1。

本文忽略了軸承的油膜力對(duì)系統(tǒng)的影響，根據(jù)Hertz接觸理論，考慮以軸承滾動(dòng)體與滾道的彈性接觸力來(lái)體現(xiàn)軸承非線性力對(duì)系統(tǒng)的影響。圖2所示為滾動(dòng)軸承模型，Ri是軸承的內(nèi)徑，Ro是軸承的外徑，Gr表示軸承的徑向游隙。

圖2 滾動(dòng)軸承模型示意圖

對(duì)方程組進(jìn)行無(wú)量綱化處理，ξ是無(wú)量綱長(zhǎng)度參考值，引入無(wú)量綱參數(shù)：

(2)

對(duì)于滾珠軸承h=1/2；對(duì)于圓柱滾子軸承h=1/9。其中滾動(dòng)軸承非線性軸承力無(wú)量綱化后得到無(wú)量綱公式如下：

(3)

對(duì)于滾動(dòng)軸承1、4，n=3/2；對(duì)于圓柱滾子軸承2、3，n=10/9。軸承1、軸承2、軸承3、軸承4的位置如圖2所示。

根據(jù)無(wú)量綱參數(shù)(2)、(3)和方程組(1)，得到無(wú)量綱方程組(4)，如下：

(4)

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程中各符號(hào)的單位及意義如表1所示。中介軸承的參數(shù)：外徑Ro=47 mm，內(nèi)徑Ri=25 mm，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)Z=15，接觸剛度Kb=3×109N/m3/2，游隙Gr=12 μm。內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ω1， 外圈轉(zhuǎn)速ω2。

表1 微分方程中符號(hào)的單位及意義

2 中介軸承徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性影響

徑向游隙是軸承設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)，也是軸承非線性的重要因素之一，對(duì)于軸承及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行有重要意義。根據(jù)Hertz接觸理論，軸承力的非線性體現(xiàn)為軸承的載荷-變形指數(shù)和力的分段性，而徑向游隙決定著軸承力的分段性。因此，本節(jié)研究中介軸承的徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)影響規(guī)律。

以盤(pán)2的非線性特性體現(xiàn)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，中介軸承徑向游隙在0～50 μm之間變化，盤(pán)2的水平位移Xp2隨著游隙變化的分岔圖如圖3。從圖中可以看出，盤(pán)2的非線性特性發(fā)生明顯變化。選取一些固定游隙值進(jìn)行分析。

當(dāng)中介軸承游隙Gr=5 μm時(shí)，如圖4，盤(pán)2的相圖中有2個(gè)交錯(cuò)的圓環(huán)，龐加萊截面圖上有2個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，頻譜圖中轉(zhuǎn)頻為主，還出現(xiàn)了1/2分頻，說(shuō)明盤(pán)2通過(guò)倍化分岔進(jìn)入了周期二運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 當(dāng)中介軸承游隙Gr=15 μm時(shí)，如圖5，盤(pán)2的相圖呈現(xiàn)出輪胎狀的圓環(huán)，龐加萊截面圖近似一個(gè)封閉的圓，頻譜圖中轉(zhuǎn)頻為主，還出現(xiàn)了1/2分頻和一些連續(xù)的分?jǐn)?shù)頻，說(shuō)明盤(pán)2發(fā)生了Hopf分岔，處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)中介軸承游隙Gr=40 μm時(shí)，如圖6，盤(pán)2的相圖中有一個(gè)圓環(huán)，龐加萊截面圖上近似看作有一個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，頻譜圖中轉(zhuǎn)頻為主要頻率成分，說(shuō)明盤(pán)2進(jìn)入了擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3 Xp2隨中介軸承徑向游隙變化的分岔圖

圖4 中介軸承游隙為10 μm的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

圖5 中介軸承游隙為15 μm的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

圖6 中介軸承游隙為40 μm的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

3 中介軸承接觸剛度對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性影響

滾動(dòng)軸承剛度的確定是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)性能分析的基礎(chǔ)。目前，對(duì)于滾動(dòng)軸承剛度的計(jì)算，主要基于靜力學(xué)法、基于擬靜力學(xué)法和基于擬動(dòng)力學(xué)法3種方法。擬動(dòng)力學(xué)法充分考慮了轉(zhuǎn)速等影響剛度值的因素，但其對(duì)初值選取要求高，求解時(shí)不易收斂。因此本文忽略了軸承剛度值的求解過(guò)程，直接給出剛度的變化范圍。同時(shí)忽略徑向游隙對(duì)剛度的交叉影響，在保持其他參數(shù)不變的情況下，只改變單一參數(shù)研究系統(tǒng)的非線性特性響應(yīng)。本節(jié)剛度變化范圍設(shè)定為1×107N/m3/2至1×1010N/m3/2，盤(pán)2水平位移Xp2隨中介軸承剛度變化的分岔圖如圖7，可以看出系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入了混沌狀態(tài)。具體選取接觸剛度值，來(lái)分析系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性。

圖7 Xp2隨中介軸承接觸剛度變化的分岔圖

當(dāng)中介軸承剛度kb=1×107N/m3/2時(shí)，如圖8，盤(pán)2的相圖中有一個(gè)圓環(huán)，龐家來(lái)截面上可近似看作一個(gè)點(diǎn)，頻譜圖中以主頻為主，說(shuō)明盤(pán)2處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)中介軸承剛度kb=1×109N/m3/2時(shí)，如圖9，盤(pán)2的相圖中出現(xiàn)了2個(gè)相互交錯(cuò)的圓，龐家來(lái)截面上有2個(gè)孤立的點(diǎn)，頻譜圖中以主頻和1/2分頻為主，說(shuō)明盤(pán)2通過(guò)倍化分岔進(jìn)入周期二運(yùn)動(dòng)。當(dāng)中介軸承剛度kb=1×1010N/m3/2時(shí)，如圖10，盤(pán)2的相圖中是相互交錯(cuò)沒(méi)有規(guī)則的線，龐家來(lái)截面上是一些散亂的點(diǎn)，頻譜圖中以主頻為主，還出現(xiàn)一些分?jǐn)?shù)頻，說(shuō)明盤(pán)2處于混沌狀態(tài)。

圖8 中介軸承接觸剛度為1×107 N/m3/2的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

圖9 中介軸承接觸剛度為1×109 N/m3/2的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

圖10 中介軸承接觸剛度為1×1010 N/m3/2的相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖

4 結(jié)論

1) 徑向游隙較小時(shí)，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著游隙增大，系統(tǒng)通過(guò)倍化分岔進(jìn)入周期二運(yùn)動(dòng)；游隙繼續(xù)增大，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，最后穩(wěn)定在擬周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)游隙過(guò)大時(shí)，軸承接觸力較小甚至為零，降低了系統(tǒng)非線性因素的作用，使得系統(tǒng)非線性行為減少。

2) 接觸剛度較小時(shí)，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；剛度增大，系統(tǒng)通過(guò)倍化分岔從擬周期狀態(tài)進(jìn)入周期二運(yùn)動(dòng)；剛度繼續(xù)增大，系統(tǒng)進(jìn)入了混沌域。隨著接觸剛度的增大，軸承非線性接觸力增大，增強(qiáng)了系統(tǒng)的非線性特性。