劉明明，李博勇，熊澤斌，向友國(guó)，花俊杰

（1.長(zhǎng)江勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，武漢430010；2.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072；3.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072）

0 引 言

在水利水電開發(fā)、油氣資源開采與儲(chǔ)存、地下水資源評(píng)價(jià)與開采等領(lǐng)域，均普遍涉及復(fù)雜地質(zhì)條件下巖體滲流和溶質(zhì)遷移過(guò)程分析、模擬與控制的關(guān)鍵問(wèn)題。例如，在大型水利水電工程建設(shè)中，廠壩區(qū)巖體滲漏和滲透穩(wěn)定問(wèn)題事關(guān)壩址選擇、水電站運(yùn)行安全和水能利用效率，通過(guò)在廠壩區(qū)合理布置防滲排水系統(tǒng)，以控制廠壩區(qū)巖體滲漏量并保障巖體滲透穩(wěn)定性，對(duì)于優(yōu)化工程設(shè)計(jì)、確保工程安全和節(jié)省工程投資具有重要意義［1，2］。在油氣資源開采中，探明油氣資源的賦存位置和地層滲透特性等地質(zhì)條件事關(guān)開采鉆井布置、鉆井尺寸確定和開采步驟安排，對(duì)提高油氣資源開采效率、節(jié)省工程投資至關(guān)重要。在地下水資源評(píng)價(jià)與開采中，獲取區(qū)域水文地質(zhì)條件、構(gòu)造發(fā)育特征和地表水-地下水補(bǔ)給關(guān)系，是評(píng)估地下水資源、確定開采方案的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。在上述工作中，巖體滲流參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)則是其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而鉆孔壓水試驗(yàn)則是各類巖體工程實(shí)踐中常用且十分重要的確定巖體滲透系數(shù)的工具，為工程滲控設(shè)計(jì)提供基本資料［3-8］。

鉆孔壓水試驗(yàn)是在巖體中鉆孔，采用一定手段將鉆孔分割成若干個(gè)試段，將預(yù)定壓力的水逐級(jí)壓入試段圍巖，記錄不同試驗(yàn)壓力下的穩(wěn)定壓入流量以獲取試段圍巖滲透系數(shù)的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)方法。目前，我國(guó)水利水電行業(yè)有兩部關(guān)于鉆孔壓水試驗(yàn)的規(guī)程：《水利水電工程鉆孔壓水試驗(yàn)規(guī)程》（SL 31-2003）［9］；《水電工程鉆孔壓水試驗(yàn)規(guī)程》（NB/T 35113-2018）［10］。這兩部現(xiàn)行的規(guī)程均推薦采用Hvorslev 公式［11］對(duì)線性流（Darcy 流）的壓水試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解析。通常情況下，試驗(yàn)鉆孔布置在地下水面以下一定深度，且由于鉆孔的多種用途或者地質(zhì)因素，部分鉆孔壓水試驗(yàn)是在傾斜孔中開展，而Hvorslev 公式［11］不能考慮地下水面和鉆孔傾斜對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響。

綜上所述，鉆孔壓水試驗(yàn)是研究巖體滲透系數(shù)的重要手段，但目前的壓水試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法還不完善。本文基于Darcy 定律和鏡像法，建立考慮地下水面和鉆孔傾斜的鉆孔壓水試驗(yàn)數(shù)據(jù)解析模型，為巖體滲流參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)提供有效途徑。

1 鉆孔壓水試驗(yàn)問(wèn)題描述與轉(zhuǎn)化

如圖1所示，鉆孔中心位于地下水面以下，以地下水面為基準(zhǔn)面，對(duì)于壓水試驗(yàn)鉆孔，地下水面為水頭為零的有界定水頭邊界，其他方向邊界為水頭為零的無(wú)界定水頭邊界，直接求解該鉆孔壓水試驗(yàn)的解十分困難。為此，從鏡像法原理［12］出發(fā)，以地下水面為對(duì)稱面，在地下水面上方映出與真實(shí)鉆孔（簡(jiǎn)稱為實(shí)孔）對(duì)稱的虛孔，該虛孔具有下列特征：

（1）位置對(duì)稱：虛孔與實(shí)孔的位置對(duì)地下水面是對(duì)稱的；

（2）流量相等：虛孔的流量與實(shí)孔的流量相等；

（3）性質(zhì)相異：虛孔為抽水孔，實(shí)孔為壓水孔。

通過(guò)上述鏡像法處理，相當(dāng)于將地下水面的邊界作用采用虛孔替代，進(jìn)而將實(shí)際的單側(cè)有界滲流場(chǎng)（地下水面下部）轉(zhuǎn)化為虛擬的無(wú)界滲流場(chǎng)，從而將單側(cè)有界滲流場(chǎng)中的單孔壓水試驗(yàn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為無(wú)界滲流場(chǎng)中實(shí)孔壓水和虛孔抽水的問(wèn)題，最終利用疊加原理，求得鉆孔壓水試驗(yàn)的解。

2 無(wú)界流場(chǎng)中單孔壓水試驗(yàn)解答

如圖2所示，在鉆孔壓水試驗(yàn)條件下，巖體滲透系數(shù)解析模型的推導(dǎo)基于以下3點(diǎn)假定：①在鉆孔軸向方向，單位長(zhǎng)度流量q保持不變；②水流服從點(diǎn)源球形擴(kuò)散；③壓水試驗(yàn)段無(wú)窮遠(yuǎn)處孔隙水壓力為零。

需要指出的是，上述假定與壓水試驗(yàn)規(guī)程［9，10］推薦公式（Hvorslev 公式［11］）的基本假定一致。其中，假定①和②的實(shí)質(zhì)是巖體可等效為均質(zhì)、各向同性介質(zhì)，因此通過(guò)壓水試驗(yàn)測(cè)得的參數(shù)反映的是巖體的綜合滲透系數(shù)。假定③是水文地質(zhì)試驗(yàn)的常用假定，其實(shí)質(zhì)是假定壓水試驗(yàn)對(duì)巖體地下水位的影響隨滲徑增加而逐漸減小，并在無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減為零。

由假定①可得單位長(zhǎng)度流量q為：

式中：L為鉆孔壓水試驗(yàn)段長(zhǎng)度；Q為鉆孔壓水試驗(yàn)段總流量。

根據(jù)假定②，在鉆孔壓水試驗(yàn)段上取微元dξ，該微元引起巖體中A點(diǎn)的流速增量dvr為：

式中：r為A 點(diǎn)與流量微元dξ之間的距離，和z為A點(diǎn)在柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；ξ為微元dξ的z向坐標(biāo)。

將A點(diǎn)的流速增量dvr沿著徑向ρ和軸向z分解可得：

對(duì)式（3）兩邊進(jìn)行積分，可得A點(diǎn)的滲流速度：

式中：ξ=z+ρcotθ，其中θ為ξ點(diǎn)和A點(diǎn)連線與z軸負(fù)向的夾角。

根據(jù)Darcy定律：

式中：J為水力梯度；k為滲透系數(shù)。

沿徑向ρ對(duì)式（6）兩邊積分，可得A 點(diǎn)的孔隙水壓力水頭PA（m）：

將式（5）代入式（7）可得壓力水頭PA與單位長(zhǎng)度流量q的關(guān)系式：

令t=1/ρ，得到：

3 地下水面下有界滲流區(qū)域中單孔壓水試驗(yàn)解答

對(duì)于地下水面下開展鉆孔壓水試驗(yàn)，根據(jù)鏡像法，真實(shí)鉆孔孔壁中心壓力水頭P等于無(wú)界滲流場(chǎng)中實(shí)孔作用產(chǎn)生的壓力水頭P實(shí)疊加虛孔作用產(chǎn)生的壓力水頭P虛：

式中：r0為實(shí)孔半徑；r0x為實(shí)孔孔壁中心點(diǎn)與虛孔軸線的距離；z0x為實(shí)孔孔壁中心點(diǎn)與虛孔中心平面的距離。由圖1可知：r0x=|2Ssin(?)-r0cos(2?)|，z0x= 2Scos(?)+r0sin(2?)。 其中，S為實(shí)孔中心距地下水面距離，?為鉆孔偏移鉛直方向的角度。此外，P虛即地下水面和鉆孔傾角因素對(duì)鉆孔壓水試驗(yàn)數(shù)據(jù)影響的結(jié)果，P虛與S、?的關(guān)系如圖3所示。

由式（10）～式（12）和圖3可知，鉆孔壓水試驗(yàn)P-Q數(shù)據(jù)有如下特征：

（1）鉆孔孔壁中心壓力水頭P與壓入流量Q成線性正比關(guān)系；

（2）P-Q曲線斜率m=P/Q與巖體滲透系數(shù)的倒數(shù)1/k成線性正比關(guān)系；

（3）P-Q曲線斜率m=P/Q與鉆孔半徑r0成負(fù)相關(guān)關(guān)系，與鉆孔長(zhǎng)度L成正相關(guān)關(guān)系；

（4）在孔中心距地下水面距離S很小（例如S≤6 m）時(shí)，虛孔作用項(xiàng)P虛隨鉆孔傾角?的增大而增大，但傾角?對(duì)P虛的影響隨著S的增大逐漸減小為0。

（5）地下水位對(duì)P虛的影響比鉆孔傾角大，隨著鉆孔中心距地下水面距離S增加，P虛逐漸趨于0。

根據(jù)特性（4），當(dāng)S較大（例如S≥10m）時(shí)，傾角?對(duì)P虛的影響可以忽略，此時(shí)式（12）可簡(jiǎn)化為：

根據(jù)特性（5），當(dāng)S進(jìn)一步增大時(shí)（例如S≥50 m），可近似取P虛=0。另外，在實(shí)際壓水試驗(yàn)中，通常有r0＜＜L，此時(shí)式（10）～式（12）的鉆孔壓水試驗(yàn)P-Q關(guān)系可簡(jiǎn)化為：

式（14）即為Hvorslev 公式［11］，也是我國(guó)鉆孔壓水試驗(yàn)行業(yè)規(guī)程的推薦公式［9，10］。

4 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文解答［式（10）～式（12）］的正確性，建立如圖4所示的圓柱數(shù)值模型。圓柱半徑200 m，其中包含孔徑為91 mm，長(zhǎng)度為5 m，傾角為?的鉆孔試段，試段中心位于圓柱軸線上。試段中心離圓柱底面100 m，離圓柱頂面（即地下水面）距離為S，即模型的高度為（100+S）m。采用通用有限元軟件COMSOL Multiphysics 對(duì)該模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分和數(shù)值計(jì)算［13］，對(duì)試段附近的網(wǎng)格進(jìn)行了加密。計(jì)算的邊界條件如下：模型側(cè)面，頂面和底面均取0水頭邊界，鉆孔試段壁面為流量入口邊界（流量為Q），試段兩端為隔水邊界（模擬止水塞）。采用COMSOL中達(dá)西定律模塊可算得孔壁中心點(diǎn)的壓力水頭P。

不同S、?條件下P-Q曲線的數(shù)值解和本文解析解的對(duì)比如圖5所示，可見本文提出的模型與數(shù)值結(jié)果幾乎完全一致，證明了解析模型的準(zhǔn)確性。從圖5中還可看出P-Q曲線的斜率以Hvorslev公式（規(guī)程模型）為上邊界，隨著S的增大而增大。

5 適用條件

從圖5以及第4節(jié)中性質(zhì)（2）可以看出，對(duì)給定壓水試驗(yàn)PQ數(shù)據(jù)，如果忽略地下水位和鉆孔傾角的影響，直接采用現(xiàn)有規(guī)程公式［式（14）］，將導(dǎo)致滲透系數(shù)被高估。為了量化被高估的程度以及厘清在何種條件下需要使用本文模型，引入如下相對(duì)誤差：

式中：k′是采用現(xiàn)有規(guī)程公式計(jì)算得到的滲透系數(shù)；k是采用本文模型計(jì)算得到的滲透系數(shù)；ε為兩者的相對(duì)誤差，將式（10）～式（12）以及式（14）代入式（15）可知相對(duì)誤差ε主要與鉆孔試段參數(shù)L、r0、?、S有關(guān)，本文重點(diǎn)關(guān)注?、S的影響，圖6顯示了相對(duì)誤差ε隨?、S的變化，圖中鉆孔半徑和長(zhǎng)度取常用值（L=5 m，r0=45.5 mm）。

由圖6可以看出，隨著鉆孔中心距地下水面的距離S的增大，兩種模型估算的滲透系數(shù)相對(duì)誤差逐漸減小，當(dāng)S＞13.3 m時(shí)，誤差小于2%（一般生產(chǎn)允許誤差），此時(shí)忽略鉆孔傾角和地下水位，直接采用現(xiàn)有規(guī)程公式是合理的。而當(dāng)S≤13.3 m 時(shí)，需采用本文提出的模型才能求得較為準(zhǔn)確的滲透系數(shù)。

另外，在S≤5 m時(shí)，采用規(guī)程公式產(chǎn)生的誤差隨著鉆孔傾角?的增大而減小；在S＞5 m 時(shí)，鉆孔傾角的影響幾乎可以忽略。整體而言，在各向同性假定下鉆孔傾角對(duì)滲透性估計(jì)的影響很小，這說(shuō)明大多數(shù)情況下，式（12）可以簡(jiǎn)化為式（13）。

6 結(jié) 論

本文提出了考慮鉆孔傾角及地下水位的鉆孔試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法，并采用數(shù)值模擬方法進(jìn)行了驗(yàn)證，主要結(jié)論如下。

（1）本文提出的鉆孔壓水試驗(yàn)解析模型從機(jī)理上反映了鉆孔傾角及地下水位對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析的影響。

（2）在鉆孔距地下水面距離較遠(yuǎn)時(shí)，本文模型可退化為我國(guó)鉆孔壓水試驗(yàn)行業(yè)規(guī)程推薦的Hvorslev公式。

（3）本文模型參數(shù)較少，物理意義明確，便于工程應(yīng)用。在鉆孔（L=5 m，r0=45.5 mm）中心距地下水面距離小于13.3 m 時(shí)，需采用本文提出的模型才能求得較為準(zhǔn)確的滲透系數(shù)。 □