楊海斌

（湖南理工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湘潭411004）

0 引言

隨著對(duì)海洋資源的進(jìn)一步開(kāi)發(fā)，水下通信在軍事和民用方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。由于水下通道中電磁波衰減嚴(yán)重，聲波成為唯一有效的通信方式。但與電磁波相比，聲速極慢，容易引起嚴(yán)重的傳播延遲。在傳輸信號(hào)時(shí)，由于水下通道的約束，聲波會(huì)在海面和海底之間不斷地反射。與其他通信信道相比，水聲信道傳輸?shù)男盘?hào)具有復(fù)雜的多徑傳播特性，因而具有更強(qiáng)的符號(hào)間干擾?？朔@種影響的最好方法之一是在接收機(jī)中使用自適應(yīng)均衡方法[1]。由于自適應(yīng)濾波器和自適應(yīng)算法等因素的影響，選擇計(jì)算復(fù)雜度低、跟蹤信道變化能力強(qiáng)的自適應(yīng)信道均衡算法顯得尤為重要。在已知的水聲信道自適應(yīng)均衡算法中，最小均方（LMS）算法[2]和歸一化最小均方（NLMS）算法[3]因其計(jì)算簡(jiǎn)單和實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而成為最流行的算法。在定步長(zhǎng)LMS 算法中，步長(zhǎng)因子不僅控制了算法的收斂速度，而且決定了算法的穩(wěn)態(tài)誤差。步長(zhǎng)越大，收斂速度越快，穩(wěn)態(tài)誤差越大。當(dāng)步長(zhǎng)變小時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差變小，但收斂速度變慢。為解決固定步長(zhǎng)算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)性能之間的矛盾，文獻(xiàn)[4]提出了一種變步長(zhǎng)算法，文獻(xiàn)[5]根據(jù)實(shí)際水聲信道時(shí)變、空變、多徑的特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS 算法。

對(duì)于自適應(yīng)均衡算法，除了需解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)之間的矛盾外，提高算法收斂速度也是國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究的重點(diǎn)[6]。上述LMS 算法計(jì)算簡(jiǎn)單但收斂速度慢，遞歸最小二乘算法[7]由于其最快的收斂速度而成為最佳的自適應(yīng)算法，但它的計(jì)算復(fù)雜度高，在自適應(yīng)信號(hào)處理領(lǐng)域，仿射投影算法（APA）在收斂速度和計(jì)算復(fù)雜度之間取得了很好的平衡[8]。與LMS 算法相比，該算法的收斂速度大大提高，與遞歸最小二乘算法相比，計(jì)算復(fù)雜度大大降低。但仿射投影算法中，同樣需要選擇適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，以達(dá)到收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的折衷。因此，本文將干擾信號(hào)對(duì)均衡器穩(wěn)態(tài)性能的負(fù)面作用考慮進(jìn)濾波器系數(shù)更新過(guò)程中，通過(guò)重新設(shè)定系數(shù)更新約束條件，并利用先驗(yàn)誤差向量的定義，得到了一種適用于仿射投影均衡算法的步長(zhǎng)調(diào)節(jié)方法。新算法在未達(dá)到收斂狀態(tài)時(shí)，采用較大的步長(zhǎng)；在后期階段使用較小的步長(zhǎng)，從而有效解決了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的進(jìn)化投影序列和變步長(zhǎng)仿射投影算法相比，本文提出的算法具有更快的收斂速度和更低的失調(diào)率。

1 仿射投影算法

水聲信道自適應(yīng)均衡器通常采用圖1 所示的結(jié)構(gòu)。

圖1 水聲信道自適應(yīng)均衡器結(jié)構(gòu)圖

均衡器由FF（前饋）濾波器、FB（反饋）濾波器和判決裝置組成輸入信號(hào)s(n)經(jīng)水聲信道模型，并混合方差為的干擾噪聲v(n)后，形成大小為NFF×1 的接收信號(hào)序列u(n)=[u(n)u(n-1)...u(n-LFF+1)]。

均衡器輸出可表示為：

在APA 中，利用n時(shí)刻的前P個(gè)輸入向量構(gòu)成LFF×P維輸入矩陣，加快了NLMS 算法的收斂速度，其系數(shù)迭代公式為[9]：

其中U(n)=[u(n)u(n-1)…u(n-P+1)]為L(zhǎng)FF×P維輸入矩陣，α是步長(zhǎng)參數(shù)，δ是防止被零整除的小正數(shù)，IP為P×P維單位陣，E(n)為n時(shí)刻的前P個(gè)先驗(yàn)估計(jì)誤差所構(gòu)成的向量。

上式中D(n)=[d(n)d(n-1)...d(n-P+1)]為n時(shí)刻的前P個(gè)期望輸出，于是有：

上式中w0(n) 為最優(yōu)濾波器系數(shù)，V(n)=[v(n)v(n-1)...v(n-P+1)] 為噪聲向量，并記ε(n)=[e(n)e(n-1)...e(n-P+1)]為n時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)誤差向量，于是有：

2 變步長(zhǎng)仿射投影算法

針對(duì)水聲信道h(n)引入的干擾噪聲v(n)，本文提出改變傳統(tǒng)仿射投影算法的約束條件，從(4)可以看出，傳統(tǒng)仿射投影算法的約束條件迫使自適應(yīng)濾波器補(bǔ)償v(n)的影響。只要v(n)不為零，更新系數(shù)向量就不能等于未知系統(tǒng)的參數(shù)。為了使w(n)盡可能接近w0(n)，理想的約束條件應(yīng)該是：

由于噪聲是不可預(yù)測(cè)的，因此上述約束條件沒(méi)有實(shí)際意義[10]。在本文中，我們使用二階統(tǒng)計(jì)方法，使得式（6）兩邊的二階統(tǒng)計(jì)量相等：

上式中表示噪聲向量V(n)的方差，因變步長(zhǎng)APA 算法步長(zhǎng)不再為固定值，而是隨著迭代的變化而變化，因此可用變步長(zhǎng)參數(shù)向量α(n)=[α1(n)α2(n)…αP(n)]替換式（2）中的α，得到：

將上式代入式（6），并使用先驗(yàn)估計(jì)誤差的定義，得到：

根據(jù)上式，可得到變步長(zhǎng)仿射投影算法步長(zhǎng)的迭代表達(dá)式為：

上式中(n)表示誤差向量E(n)的方差，上式寫成向量形式為：

3 仿真

為檢驗(yàn)所提算法在信道均衡中的性能，采用文獻(xiàn)[11]中的稀疏水聲兩徑信道H(z)=1+0.4z-12，比較新算法（VSS-APA）與文獻(xiàn)[8]（2016）所提定步長(zhǎng)APA 算法、文獻(xiàn)[3]（2017）所提變步長(zhǎng)LMS 算法（VSS-LMS-1）及文獻(xiàn)[4]（2019）所提改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS 算法（VSSLMS-2）的收斂性能。

仿真一比較了VSS-APA、APA、VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 四種算法的均方誤差性能。該仿真中每幀傳輸包括512 次訓(xùn)練符號(hào)和1024 個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)，均衡器抽頭個(gè)數(shù)為10，仿射投影階數(shù)P=2 ，信號(hào)采用16QAM 調(diào)制方式，信噪比為10dB，APA 算法中步長(zhǎng)α在分別取0.5 和0.8，仿真結(jié)果如圖2 所示。從圖中可看出，VSS-APA 與VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 相比，不僅收斂速度得到了提高，而且穩(wěn)態(tài)性能也得到了改善。對(duì)于APA 算法，要獲得與VSS-APA 相近的穩(wěn)態(tài)失調(diào)，固定步長(zhǎng)必須小于0.5，但此時(shí)收斂速度變得十分緩慢。APA（α=0.8）的初始收斂速度接近于VSSAPA 的收斂速度，與VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 的收斂速度相當(dāng)，但其穩(wěn)態(tài)失調(diào)較大。從圖2 可看出，新算法能有效解決定步長(zhǎng)APA 收斂速度與穩(wěn)態(tài)失調(diào)之間的矛盾。

圖2 算法均方誤差收斂性能比較

仿真二比較了上述幾種算法的誤碼率性能。在該仿真中，信噪比范圍為-10 至14dB。信號(hào)采用QPSK調(diào)制方式，APA 算法中步長(zhǎng)α取0.8，其他參數(shù)與仿真一中相同。仿真結(jié)果如圖3 所示。由圖3 可以看出，四種均衡算法在-10 至-5dB時(shí)誤碼率性能相仿，且隨著信噪比增加而降低，但本文提出的誤碼率下降最快。當(dāng)信噪比增加到5dB時(shí)，本文提出的VSS-APA算法誤碼率能達(dá)到2×10-3左右，APA 算法誤碼率接近5×10-2，VSS-LMS-1 算法和VSS-LMS-2 算法誤碼率約為8×10-2，充分證明了VSS-APA 算法良好的信道均衡性能。

圖3 算法誤碼率性能比較

4 結(jié)語(yǔ)

本文考慮到傳統(tǒng)仿射投影算法中約束條件迫使自適應(yīng)濾波器補(bǔ)償干擾信號(hào)的影響，通過(guò)建立一個(gè)新的約束條件，并利用先驗(yàn)誤差向量的定義，得到了一種適用于仿射投影均衡算法的變步長(zhǎng)調(diào)節(jié)方法。仿真結(jié)果表明，新算法的性能優(yōu)于仿射投影算法和已有的變步長(zhǎng)LMS 算法。