姚志雄

(邵陽(yáng)市第一中學(xué) 湖南邵陽(yáng) 422000)

經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到這樣的說(shuō)法，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一門思維學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去分析思考問(wèn)題。思維是什么？簡(jiǎn)單說(shuō)思維就是思考問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)思維也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。一個(gè)人的思維方式?jīng)Q定著其行為方式，若能對(duì)自己的思維方式進(jìn)行一定的評(píng)估和分析，將自己思考的過(guò)程放大，就能看到很多曾經(jīng)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的東西，從而在原有基礎(chǔ)上有所改變和提高。從數(shù)學(xué)思想方法層面看，數(shù)學(xué)思維包含抽象、推理、建模等方面。所謂抽象就是從眾多事物中抽取出共同的、本質(zhì)的屬性而舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性的思維過(guò)程。有時(shí)也指“抽象的產(chǎn)物（結(jié)果）”或“抽象的方法”。具備抽象思維，意味著具備提取主要因素與透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力。所謂推理，就是指數(shù)學(xué)和其他理科不同，物理、化學(xué)、生物主要依賴實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，只有數(shù)學(xué)可以僅依靠推理得到正確的結(jié)果。因此，推理能力意味著突破“眼見(jiàn)為實(shí)”的限制。而建模意味著將抽象的規(guī)律用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表示出來(lái)，從而可以用數(shù)學(xué)的方法處理問(wèn)題。如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維？學(xué)者們見(jiàn)仁見(jiàn)智，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的答案。但有一點(diǎn)可以肯定，就是認(rèn)為發(fā)散思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著極其重要的作用。發(fā)散思維是打破常規(guī)，尋求變異的思維，它不受傳統(tǒng)束縛，不受思維定勢(shì)，是創(chuàng)新思維的核心，與創(chuàng)造力有直接關(guān)系。

本文著重通過(guò)一道不等式問(wèn)題，探討一下發(fā)散思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，常規(guī)方法無(wú)法解決，這時(shí)通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)解題，就能化難為易，迎刃而解。構(gòu)造輔助函數(shù)解題不僅能減少計(jì)算量，使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維能力很有幫助；難點(diǎn)在于它的靈活性及創(chuàng)造性，這也正是數(shù)學(xué)的魅力。構(gòu)造函數(shù)解題，廣泛運(yùn)用在不等式問(wèn)題中，在數(shù)列、三角函數(shù)、方程根的存在性問(wèn)題中也有涉及。文獻(xiàn)[1]總結(jié)了幾種常見(jiàn)的證明方法：特征分析構(gòu)造法、和差構(gòu)造法、積商構(gòu)造法、局部構(gòu)造法、變參分離構(gòu)造法和換元構(gòu)造法。文獻(xiàn)[2]提出了利用作差法、積商法等方法構(gòu)造輔助函數(shù)，再運(yùn)用其導(dǎo)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的不等式問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]認(rèn)為可通過(guò)移項(xiàng)法，倒退法和微分方程法構(gòu)造輔助函數(shù)求解不等式。還有很多數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)構(gòu)造法進(jìn)行了探索，他們得到了一些有趣的結(jié)論，對(duì)豐富不等式的解題方法有積極的推動(dòng)作用。通過(guò)一個(gè)具體例子加以說(shuō)明。

例：已知x2+y2=8，求證：x+y≤4

解法一分析。本題可看成是所求函數(shù)f(x，y)=x+y在約束條件x2+y2=8的極值問(wèn)題，可利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的極值。

證明：不妨設(shè)函數(shù)f(x，y)=x+y，構(gòu)造輔助函數(shù)

解得可能極值點(diǎn)為(-2，-2)，(2，2)。

要求一個(gè)函數(shù)在某種限制條件下的極值的問(wèn)題，一般可采用拉格朗日乘數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)－拉格朗日函數(shù)，再求輔助函數(shù)關(guān)于各個(gè)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)，然后令偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零，找出可能的極值點(diǎn)，然后進(jìn)一步計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值，根據(jù)定理加以判斷。其實(shí)，這個(gè)題目有多種方法求解，不妨考慮數(shù)形結(jié)合的方法。數(shù)學(xué)是數(shù)與形結(jié)合的一門學(xué)科，借助圖形直觀分析，能夠化繁為簡(jiǎn)，使題目變得簡(jiǎn)單容易。

圖1 圓與直線相切

Dweck和她的助手曾經(jīng)做過(guò)一項(xiàng)研究發(fā)現(xiàn)[4]，擁有成長(zhǎng)型思維的學(xué)生在考試中取得前20%成績(jī)的可能性是其他人的3倍；而持有固定型思維模式的學(xué)習(xí)進(jìn)入最后20%的可能性是其他學(xué)生的4倍。也就是說(shuō)固定型思維模式的學(xué)生，基本都是在班級(jí)墊底。說(shuō)明發(fā)散思維在學(xué)習(xí)過(guò)程中十分重要。對(duì)于這道題，除了上述兩種解法外，還有其他方法。

什么是真正的數(shù)學(xué)能力？掌握復(fù)雜抽象的邏輯推導(dǎo)鏈條，理解其核心思路的能力，并將其遷移運(yùn)用至其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的能力；將不同領(lǐng)域的知識(shí)聯(lián)系、融會(huì)貫通的能力；乃至于創(chuàng)造一套理論體系，并運(yùn)用其解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力等。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不在乎刷題的數(shù)量，而在乎刷題的質(zhì)量，主要是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。小題大做就是加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法領(lǐng)悟的一個(gè)好方法。我們?cè)谟龅揭恍┬☆}的時(shí)候也會(huì)有不一樣的靈感，感覺(jué)從不同途徑入手都能解決問(wèn)題。這往往意味著問(wèn)題背后有著豐富的背景，這個(gè)時(shí)候不要放過(guò)這靈感，要更加深入地去思考，進(jìn)行一些探究式的學(xué)習(xí)。小題大做的目的就在于利用發(fā)散思維打通不同知識(shí)模塊之間的壁壘，又或者完成從特殊到一般的延展。這樣主動(dòng)學(xué)習(xí)一個(gè)小時(shí)帶來(lái)的能力提升可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)一個(gè)小時(shí)的機(jī)械刷題。

我們經(jīng)常聽(tīng)到，學(xué)數(shù)學(xué)一定要多練習(xí)，多訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧的地步。但訓(xùn)練也是有講究的，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)精深訓(xùn)練有九個(gè)臺(tái)階。第一個(gè)臺(tái)階是能看懂，就是能夠懂得數(shù)學(xué)定義，定理，公式的來(lái)龍去脈。一看到這個(gè)定理、公式，腦子里面盤旋的一些問(wèn)題，一一找到答案。要從內(nèi)心去回答，找到的答案越多，做出來(lái)的問(wèn)答越多，就懂得越多，這就是能看懂的含義。第二個(gè)臺(tái)階是能記住。第三個(gè)臺(tái)階是會(huì)解題?？炊顷P(guān)鍵一步，做到這一點(diǎn)，馬上就邁上了第一個(gè)臺(tái)階，馬上就會(huì)跨過(guò)第二個(gè)、第三個(gè)臺(tái)階。第四個(gè)臺(tái)階是熟練解題，在解題過(guò)程中不斷進(jìn)行這樣的有意識(shí)的思維操作的訓(xùn)練，那么熟練解題也為之不遠(yuǎn)了。第五個(gè)臺(tái)階是會(huì)梳理，每一章都在重復(fù)同樣的基本結(jié)構(gòu)，把那些知識(shí)點(diǎn)都給匯總到這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)里面，就是會(huì)梳理。包括每一章都在用什么樣的運(yùn)算技巧，心里面有沒(méi)有數(shù)，這一章用到什么樣的運(yùn)算技巧，能不能1、2、3……這么列出來(lái)，一是一、二是二地列出來(lái)，如果能這么做了，肯定是會(huì)梳理了。第六個(gè)臺(tái)階是融會(huì)貫通，比如函數(shù)，是從什么問(wèn)題引入的，它的嚴(yán)格定義是什么，它對(duì)應(yīng)的幾何直觀是什么，它具有哪些性質(zhì)，它與方程、不等式有什么關(guān)系，與幾何有什么關(guān)系，幾何問(wèn)題可否轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題等，一步步這么做下來(lái)，就是融會(huì)貫通了。第七個(gè)臺(tái)階是把握數(shù)學(xué)思維，所謂數(shù)學(xué)思維，就是一個(gè)一個(gè)的基本的思維操作，像各種類型的加、減、乘、除法，像它的定義，為什么會(huì)有這樣的定義，它的問(wèn)題是什么，這個(gè)定義能解決什么問(wèn)題，當(dāng)我們提這些問(wèn)題，去找它的答案的時(shí)候，按照這樣的思維去訓(xùn)練的時(shí)候，就把握數(shù)學(xué)思維了。第八個(gè)臺(tái)階是體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，雖然學(xué)習(xí)過(guò)程枯燥，費(fèi)腦費(fèi)神，但一旦學(xué)懂弄通、真正掌握，一股喜悅之情就會(huì)油然而生。第九個(gè)臺(tái)階是能夠投入，忘我的學(xué)習(xí)。達(dá)到第八個(gè)臺(tái)階就很容易到達(dá)第九個(gè)臺(tái)階了，就是樂(lè)此不疲，學(xué)習(xí)三個(gè)小時(shí)的數(shù)學(xué)，感覺(jué)時(shí)間才過(guò)了半個(gè)小時(shí)一樣。覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是負(fù)擔(dān)、痛苦、障礙，而是享受、歡樂(lè)、成就，解出難題會(huì)帶來(lái)愉悅、樂(lè)趣。

要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，除了一題多解、舉一反三，還要弱化思維定勢(shì)，進(jìn)行積極的思維訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。