陸 林,李海陽,周晚萌,劉將輝

(1.國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073；2. 空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410073；3. 中國(guó)航天員科研訓(xùn)練中心,北京 100094；4. 中國(guó)人民解放軍91395部隊(duì),北京 102443)

0 引 言

在各國(guó)致力于載人深空探測(cè)的時(shí)代浪潮中，世界上的主要航天國(guó)家都將月球作為下一步探索的對(duì)象[1-3]。早期美國(guó)Apollo任務(wù)的月球探測(cè)著陸區(qū)主要集中在赤道附近，但由于月球極地的特殊位置環(huán)境，加上水冰的發(fā)現(xiàn)[4-5]，使得月球極地具有不可替代的科學(xué)探索和應(yīng)用開發(fā)價(jià)值。因此，人類對(duì)月球極地地區(qū)的關(guān)注度不斷增加，并將其作為下一步月球探測(cè)的熱點(diǎn)區(qū)域[6-7]，乃至考慮未來在月球極地建立基地。但是載人月球極地探測(cè)是一項(xiàng)龐大的系統(tǒng)工程，軌道方案是其中的重要組成部分，軌道的設(shè)計(jì)與特性分析對(duì)于任務(wù)具有重要意義。

關(guān)于地月轉(zhuǎn)移軌道方案的設(shè)計(jì)與分析，目前有很多學(xué)者做了研究。文獻(xiàn)[8]結(jié)合圓錐曲線拼接法，提出一種著陸器三層奔月窗口搜索方法，并求解了奔月軌道。文獻(xiàn)[9]對(duì)基于地月平動(dòng)點(diǎn)的月球探測(cè)軌道研究進(jìn)行了概括總結(jié)。文獻(xiàn)[10]提出一種近月點(diǎn)偽經(jīng)度判別準(zhǔn)則，并采用多圓錐截線法快速求解地月轉(zhuǎn)移軌道。而在實(shí)施載人月球極地探測(cè)任務(wù)的過程中，保障航天員的生命安全是在選擇軌道方案時(shí)需要考慮的重要因素。但上述地月轉(zhuǎn)移軌道方案耗時(shí)較長(zhǎng)，在長(zhǎng)時(shí)間的飛行中，航天員的生命安全難以得到保證，所以上述方案更加適合無人探月任務(wù)。而針對(duì)載人登月任務(wù)的地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)，目前的研究也取得了一些進(jìn)展[11-12]，其中傳統(tǒng)的繞月自由返回軌道能夠有效保證航天員在地月轉(zhuǎn)移階段的安全返回[13]。文獻(xiàn)[14]研究了返回高緯度著陸場(chǎng)的非對(duì)稱繞月自由返回軌道。文獻(xiàn)[15]提出一種混合-分層軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)自由返回軌道進(jìn)行了設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[16]提出一種基于UKF參數(shù)估計(jì)算法的繞月自由返回軌道設(shè)計(jì)方法，可以快速得到高精度模型下的收斂解。文獻(xiàn)[17]采用混合多圓錐截線法對(duì)自由返回軌道進(jìn)行設(shè)計(jì)，并分析了軌道相關(guān)特性。文獻(xiàn)[18]結(jié)合圓錐曲線拼接法，對(duì)四類自由返回軌道的解集域進(jìn)行了分析。但此類軌道月面可達(dá)域的分布范圍較小，主要集中在中低緯度地區(qū)[19]。因此，若要實(shí)現(xiàn)對(duì)月球極地地區(qū)的探測(cè)，同時(shí)保證軌道的安全性，需要在自由返回軌道基礎(chǔ)上進(jìn)行可達(dá)域的擴(kuò)展，通常有混合軌道和三脈沖機(jī)動(dòng)軌道兩種方案[20]。其中，三脈沖機(jī)動(dòng)軌道方案是指在近月點(diǎn)處開始實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)，從而能夠到達(dá)更大傾角的環(huán)月軌道，并且在奔月過程中均可以實(shí)現(xiàn)無動(dòng)力返回，安全性較高。文獻(xiàn)[21]基于雙二體假設(shè)，對(duì)混合軌道的能量消耗和飛行時(shí)間等方面的特性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[22]詳細(xì)介紹了混合軌道和三脈沖機(jī)動(dòng)軌道，并簡(jiǎn)單地分析了速度增量特性。文獻(xiàn)[23]研究了不同的三脈沖機(jī)動(dòng)軌道方案，并給出了不同方案消耗的速度增量大小。文獻(xiàn)[24]采用二體解析模型分析了三脈沖機(jī)動(dòng)方案的相關(guān)特性。此外，采用兩段自由返回軌道的方案也可實(shí)現(xiàn)全月面到達(dá)[25]。文獻(xiàn)[26]利用偽狀態(tài)理論對(duì)兩段繞月自由返回軌道進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并分別采用梯度與直接打靶法對(duì)兩段軌道的初值進(jìn)行了修正。

本文針對(duì)載人月球極地探測(cè)任務(wù)，采用一種基于自由返回軌道和三脈沖機(jī)動(dòng)軌道的地月轉(zhuǎn)移軌道方案，以保證更高的安全性。其中，關(guān)于自由返回軌道部分的設(shè)計(jì)，以近月點(diǎn)偽參數(shù)集為設(shè)計(jì)變量，提出一種考慮地球扁率修正的改進(jìn)多圓錐截線法，對(duì)自由返回軌道進(jìn)行兩段拼接求解。關(guān)于三脈沖機(jī)動(dòng)軌道部分的設(shè)計(jì)，與上述文獻(xiàn)中采用的傳統(tǒng)霍曼變軌的方案不同，而是基于混合軌道模型，采用特殊點(diǎn)變軌與Lambert算法相結(jié)合的方案。然后運(yùn)用一種串行求解策略進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果顯示，該策略具有求解精度高、速度增量消耗低的優(yōu)勢(shì)。最后，利用該策略進(jìn)行大量的仿真計(jì)算，分析軌道的速度增量特性。

1 地月轉(zhuǎn)移軌道方案描述

針對(duì)載人月球極地探測(cè)任務(wù)，考慮最大限度地保證航天員的生命安全，采用一種自由返回軌道與三脈沖機(jī)動(dòng)軌道相結(jié)合的地月轉(zhuǎn)移軌道方案。如圖1所示，軌道方案的具體過程如下：首先，從地月轉(zhuǎn)移入射點(diǎn)D出發(fā)進(jìn)入自由返回軌道(Free return orbit, FRO)到達(dá)近月點(diǎn)A；其次，在A點(diǎn)施加第一次脈沖進(jìn)入大橢圓過渡軌道1(Ellipse transition orbit 1, ETO1)；然后，在ETO1上的B點(diǎn)施加第二次脈沖進(jìn)入大橢圓過渡軌道2(Ellipse transition orbit 2, ETO2)，B點(diǎn)由ETO1和月球極地軌道(Lunar polar orbit, LPO)的軌道面交線確定，選擇離ETO1遠(yuǎn)月點(diǎn)較近的交點(diǎn)，理想情況下，B點(diǎn)即為ETO2的遠(yuǎn)月點(diǎn)；最后，在ETO2的近月點(diǎn)C處施加第三次脈沖進(jìn)入LPO。其中，在B點(diǎn)調(diào)整軌道面角度后，從B點(diǎn)到C點(diǎn)的面內(nèi)轉(zhuǎn)移軌道不采用傳統(tǒng)的霍曼轉(zhuǎn)移方式，而是基于Lambert算法進(jìn)行計(jì)算，具體的求解過程在下文進(jìn)行詳細(xì)說明。

圖1 地月轉(zhuǎn)移軌道示意圖Fig.1 Earth-Moon transfer orbit

2 軌道設(shè)計(jì)方法

本節(jié)提出一種從初步設(shè)計(jì)到精確設(shè)計(jì)的串行求解策略。初步設(shè)計(jì)階段，針對(duì)自由返回軌道部分，在基于近月點(diǎn)偽參數(shù)的兩段拼接模型中，采用改進(jìn)的多圓錐截線法進(jìn)行計(jì)算，針對(duì)三脈沖機(jī)動(dòng)軌道部分，在混合軌道模型中，采用特殊點(diǎn)變軌與Lambert算法相結(jié)合的方法進(jìn)行求解；精確設(shè)計(jì)階段，以軌道初步設(shè)計(jì)的結(jié)果為初值，在高精度模型中進(jìn)行精確求解。

2.1 初步設(shè)計(jì)

2.1.1自由返回軌道

在自由返回軌道的初步設(shè)計(jì)階段，選取近月點(diǎn)偽經(jīng)度λprl、近月點(diǎn)偽緯度φprl、近月點(diǎn)速度方位角iprl和近月點(diǎn)軌道偏心率eprl作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量[17]。當(dāng)給定近月點(diǎn)時(shí)刻tprl和近月點(diǎn)高度hprl時(shí)，可以基于近月點(diǎn)偽參數(shù)集(λprl,φprl,iprl,eprl)，建立兩段拼接模型，采用改進(jìn)的多圓錐截線法來完全確定一條自由返回軌道。在本文中，近月點(diǎn)時(shí)刻與近月點(diǎn)高度根據(jù)任務(wù)直接給出。

月心段軌道半長(zhǎng)軸為

(1)

式中：rm為月球半徑。

月心段軌道近月點(diǎn)速度大小為

(2)

式中：μm為月球引力參數(shù)。

當(dāng)給定iprl時(shí)，近月點(diǎn)的位置和速度矢量在月心近月點(diǎn)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以表示為

rprl=[hprl+rm, 0, 0]T

(3)

vprl=[0,vprlcosiprl,vprlsiniprl]T

(4)

近月點(diǎn)的位置和速度矢量在瞬時(shí)月心白道系下的坐標(biāo)表示為

(5)

(6)

進(jìn)而可以得到近月點(diǎn)的位置和速度矢量在月心J2000坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(7)

(8)

式中：Ωm,im,um分別為tprl時(shí)刻月球相對(duì)地球的升交點(diǎn)赤經(jīng)、軌道傾角和緯度幅角。月球軌道根數(shù)可以通過JPL星歷求得。

因此，近月點(diǎn)在地心J2000坐標(biāo)系下的位置和速度矢量為

(9)

(10)

式中：rm,vm分別為月球在地心J2000坐標(biāo)系的位置和速度矢量。

以近月點(diǎn)為界，將自由返回軌道分為兩段：從地月轉(zhuǎn)移入射點(diǎn)到近月點(diǎn)為第一段，從近月點(diǎn)出發(fā)到真空近地點(diǎn)為第二段。真空近地點(diǎn)為地心段返回軌道的近地點(diǎn)，真空近地點(diǎn)的地心距與再入角和再入點(diǎn)的地心距的近似關(guān)系如式(11)所示[27]。因此，自由返回軌道的再入點(diǎn)約束可以等效為真空近地點(diǎn)約束。例如，再入點(diǎn)的高度為122 km，再入角為-6°的約束，可以等效為真空近地點(diǎn)高度為51 km的約束。

rvcp=rpcos2γp

(11)

式中：rvcp為真空近地點(diǎn)的地心距，rp為再入點(diǎn)的地心距，γp為再入角。

以近月點(diǎn)狀態(tài)為初始狀態(tài)，分別采用改進(jìn)的多圓錐截線法進(jìn)行求解，其中，第一段采用逆向求解思路，第二段采用正向求解思路。轉(zhuǎn)移時(shí)間由圓錐曲線拼接法初步給出。下面首先介紹一下改進(jìn)的多圓錐截線法的主要步驟,圖2為改進(jìn)的多圓錐截線法示意圖。

圖2 改進(jìn)的多圓錐截線法示意圖Fig.2 Schematic of improved multi-conic method

(12)

asi=

(13)

式中：μs為太陽引力常數(shù)。

修正步驟(1)得到的地心偽狀態(tài)

(14)

(15)

式中：Δt為轉(zhuǎn)移時(shí)間被分為N段得到的時(shí)間步長(zhǎng)。

(16)

(17)

(18)

第二段軌道從近月點(diǎn)正向外推至真空近地點(diǎn)，滿足真空近地點(diǎn)條件

(19)

采用二分法重復(fù)以上過程，以確定精確的近地出發(fā)點(diǎn)和真空近地點(diǎn)的狀態(tài)。

改進(jìn)的多圓錐截線法的具體求解過程如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的多圓錐截線法的流程圖Fig.3 Flow chart of improved multi-conic method

自由返回軌道的設(shè)計(jì)主要滿足以下約束

(20)

式中：h0和i0分別為近地出發(fā)點(diǎn)的高度和軌道傾角，if和hf分別為真空近地點(diǎn)的軌道傾角和高度，hD和iD分別為D點(diǎn)的高度和軌道傾角，hA為A點(diǎn)的高度，ivcp和hvcp分別為自由返回軌道終點(diǎn)的軌道傾角和高度。

因此，自由返回軌道的整個(gè)設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

第一步：給出近月點(diǎn)時(shí)刻tprl和近月點(diǎn)偽參數(shù)集{λprl,φprl,iprl,eprl}初值。

第二步：由式(1)～(10)求得該時(shí)刻在地心J2000坐標(biāo)下的近月點(diǎn)狀態(tài)。

第三步：采用改進(jìn)的多圓錐截線法，執(zhí)行步驟(1)～(5)，分別得到近地出發(fā)點(diǎn)和真空近地點(diǎn)的狀態(tài)。

第四步：判斷近地出發(fā)點(diǎn)和真空近地點(diǎn)的狀態(tài)是否滿足約束，若滿足，則停止計(jì)算；若不滿足約束，則將約束條件設(shè)置為目標(biāo)函數(shù)，在當(dāng)前迭代的近月點(diǎn)偽參數(shù)上，結(jié)合SQP_Snopt算法進(jìn)行求解。SQP_Snopt算法是一種改進(jìn)的SQP算法[28]，內(nèi)置有限擬牛頓法來近似拉格朗日乘子的Hessian矩陣，極大地減少了Hessian矩陣的計(jì)算量，從而有效地提高了計(jì)算速度，因此常用于求解光滑非線性規(guī)劃問題。重復(fù)第一步至第三步，直到迭代的近月點(diǎn)偽參數(shù)最終滿足約束停止計(jì)算。

2.1.2三脈沖機(jī)動(dòng)軌道

由于三脈沖機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間較長(zhǎng)，采用二體軌道模型進(jìn)行初步計(jì)算不易快速收斂到高精度解附近，所以本文采用二體軌道模型與高精度軌道外推模型相結(jié)合的混合軌道模型進(jìn)行初步計(jì)算，以提高軌道初步設(shè)計(jì)的精度。

假設(shè)ETO1軌道周期與三脈沖機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間T的比例為α，具體比例參數(shù)根據(jù)任務(wù)直接給出，通常在0與1之間取值，則ETO1的半長(zhǎng)軸和偏心率分別為

(21)

(22)

式中：rA為自由返回軌道近月點(diǎn)A的月心距。

根據(jù)自由返回軌道在A點(diǎn)的軌道根數(shù)，可以得到第一次脈沖矢量Δv1為

(23)

式中：h2為FRO軌道面的單位法線矢量，eA為FRO在A點(diǎn)的偏心率，h2的上標(biāo)“～”表示該矢量進(jìn)行叉乘運(yùn)算的反對(duì)稱矩陣[29]。

由于在異面轉(zhuǎn)移過程中，軌道面會(huì)在攝動(dòng)影響下發(fā)生變化，LPO與ETO1軌道面的交線需要通過插值確定，LPO的初始條件根據(jù)具體的載人月球極地探測(cè)任務(wù)直接給出。將近月點(diǎn)時(shí)刻的ETO1和LPO的軌道狀態(tài)在高精度模型中外推一段時(shí)間，得到LPO和ETO1在各時(shí)刻下的位置、速度，則在各時(shí)刻下，LPO軌道面法線與ETO1位置矢量的夾角為

(24)

式中：h1(t)為t時(shí)刻LPO軌道面的單位法線矢量。

根據(jù)夾角的正負(fù)值變化，確定外推的停止條件，通過插值進(jìn)一步確定交線的具體位置。如果交線處在ETO1上的真近點(diǎn)角fB小于90°，則得到的交線在ETO1的近月點(diǎn)附近，便需要繼續(xù)外推至遠(yuǎn)月點(diǎn)附近。因此，ETO1和LPO在交線處的軌道根數(shù)可以確定，進(jìn)而能夠得到ETO1上B點(diǎn)的位置和速度矢量rB,vBETO1。

第二次變軌的脈沖包括改變軌道面角度的脈沖分量Δv21和用于面內(nèi)變軌的脈沖分量Δv22，在第二次變軌前后的水平航跡角κ和異面差ξ分別為

(25)

(26)

式中：ΩETO1和iETO1分別為ETO1的升交點(diǎn)赤經(jīng)和軌道傾角，ΩC和iC分別為L(zhǎng)PO的升交點(diǎn)赤經(jīng)和軌道傾角，uETO1為ETO1上B點(diǎn)的緯度幅角。

則用于改變軌道面角度的脈沖在ETO1月心LVLH坐標(biāo)系中表示為

(27)

從而可以得到改變軌道面后B點(diǎn)的位置矢量rBETO2和速度矢量vBETO2，通過轉(zhuǎn)換得到ETO2的軌道根數(shù)。初步計(jì)算時(shí)，令B點(diǎn)為ETO2的遠(yuǎn)月點(diǎn)，進(jìn)而可以確定ETO2的近月點(diǎn)矢量rCETO2。從B點(diǎn)到C點(diǎn)的面內(nèi)轉(zhuǎn)移軌道不采用霍曼轉(zhuǎn)移方式，而是基于Lambert算法進(jìn)行求解。其中，當(dāng)轉(zhuǎn)移的相位角小于180°時(shí)，面內(nèi)轉(zhuǎn)移軌道采用短程Lambert解，否則采用長(zhǎng)程Lambert解。

由rBETO2,rCETO2和面內(nèi)轉(zhuǎn)移時(shí)間，根據(jù)Lambert算法可以求解得到面內(nèi)轉(zhuǎn)移軌道在B點(diǎn)和C點(diǎn)的速度矢量vB和vC，則用于面內(nèi)變軌的脈沖分量為

Δv22=vB-vBETO2

(28)

則第二次脈沖矢量Δv2為

(29)

第三次脈沖矢量Δv3為

(30)

則總速度增量大小為

(31)

2.2 精確設(shè)計(jì)

在軌道精確設(shè)計(jì)階段，以初步設(shè)計(jì)的結(jié)果作為高精度解計(jì)算的初值，采用SQP_Snopt算法進(jìn)行求解。在月心J2000坐標(biāo)系中，考慮相關(guān)攝動(dòng)因素，高精度軌道模型為：

(32)

式中：R為載人飛船在月心J2000坐標(biāo)系中的位置矢量；AN為N體引力攝動(dòng)加速度，這里只需考慮日月攝動(dòng)，星體間的相對(duì)位置通過JPL星歷求解；ANSE為地球非球形攝動(dòng)加速度；ANSM為月球非球形攝動(dòng)加速度；AR為太陽光壓攝動(dòng)加速度；AD為大氣阻力攝動(dòng)加速度；AP為推力加速度。這里忽略了木星、金星等大行星的攝動(dòng)，地球潮汐的攝動(dòng)，以及相對(duì)論效應(yīng)等微小攝動(dòng)量的影響。

針對(duì)自由返回軌道部分，設(shè)計(jì)變量、約束條件與軌道初步設(shè)計(jì)時(shí)的設(shè)置相同，以初步設(shè)計(jì)的結(jié)果作為精確設(shè)計(jì)的初值，在高精度軌道模型中進(jìn)行求解。

針對(duì)三脈沖機(jī)動(dòng)軌道部分，已知三脈沖機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間T、月球極地軌道的高度hLPO、軌道傾角iLPO和升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩLPO，選取以下變量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量：第一次脈沖Δv1、第二次脈沖Δv2、第三次脈沖Δv3、前兩次脈沖施加的時(shí)間間隔T12，則一條三脈沖機(jī)動(dòng)軌道可以由此確定，即

Y=f(Δv1,Δv2,Δv3,T12)

(33)

在高精度模型中進(jìn)行數(shù)值積分，最終得到施加第三次脈沖后的軌道根數(shù)，約束條件設(shè)置為

(34)

式中：iHP，ΩHP，eHP和hHP分別為高精度外推后得到的環(huán)月軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、偏心率和軌道高度。

在實(shí)際工程任務(wù)中，通常希望軌道轉(zhuǎn)移過程燃料消耗最少，考慮火箭的運(yùn)載能力，本文將優(yōu)化目標(biāo)設(shè)為總速度增量最小

J=(ΔV)min

(35)

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)通過仿真算例對(duì)上文提出的軌道設(shè)計(jì)方法的有效性進(jìn)行校驗(yàn)。首先，針對(duì)自由返回軌道，給出一組仿真算例，算例參數(shù)設(shè)置如下：近地出發(fā)點(diǎn)的高度為170 km，軌道傾角為21°，近月點(diǎn)高度200 km，近月點(diǎn)時(shí)刻為2028.06.27 10∶50∶00，真空近地點(diǎn)高度為50 km，真空近地點(diǎn)軌道傾角為43°。采用第2節(jié)提出的軌道設(shè)計(jì)方法對(duì)自由返回軌道進(jìn)行求解，同時(shí)采用文獻(xiàn)[18]中的圓錐曲線拼接方法進(jìn)行求解，得到的軌道設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，與文獻(xiàn)[18]中的圓錐曲線拼接方法相比，采用初步設(shè)計(jì)中的改進(jìn)的多圓錐截線法求解的結(jié)果精度更高，與高精度解更為接近。相比于初步設(shè)計(jì)，高精度軌道模型的攝動(dòng)因素對(duì)再入點(diǎn)的位置有一定的影響，其中，再入點(diǎn)經(jīng)度的偏差在2°左右，再入點(diǎn)緯度的偏差在0.1°左右，再入時(shí)刻的偏差在7 min左右。此外，在仿真中可知，以文獻(xiàn)[18]的方法得到的結(jié)果為初值進(jìn)行精確求解時(shí)，計(jì)算用時(shí)在120 s左右，而本文的精確設(shè)計(jì)的用時(shí)在66 s左右。因此，改進(jìn)的多圓錐截線法雖然增加了初步設(shè)計(jì)的求解時(shí)間，但可以為精確設(shè)計(jì)提供更好的初值，從而顯著減少精確求解的用時(shí)，加快高精度解的收斂。因此，針對(duì)載人月球極地探測(cè)地月轉(zhuǎn)移軌道中的自由返回軌道部分，本文提出的軌道設(shè)計(jì)方法可以有效地完成高精度解的計(jì)算。

表1 自由返回軌道求解結(jié)果Table 1 Results of free return orbit

其次，針對(duì)三脈沖機(jī)動(dòng)軌道部分，采用軌道初步設(shè)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)采用文獻(xiàn)[24]中的特殊點(diǎn)變軌方法進(jìn)行求解，將兩者結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。仿真算例參數(shù)設(shè)置如下：FRO近月點(diǎn)高度為200 km，偏心率為1.5，LPO軌道高度為300 km。三脈沖機(jī)動(dòng)軌道最大轉(zhuǎn)移時(shí)間為24 h，α為0.9。圖4給出了不同交線位置和異面差對(duì)應(yīng)的第二次脈沖大小等高線圖，圖5是采用文獻(xiàn)方法求解得到的結(jié)果。由圖4、圖5對(duì)比可知，在不同的交線位置和異面差的情況下，本文提出的軌道初步設(shè)計(jì)方法能夠有效地減小第二次脈沖的大小，尤其是當(dāng)異面差較小時(shí)，本文的方法體現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖4 第二次脈沖大小的變化Fig.4 The change of the second impulse

圖5 第二次脈沖大小的變化(文獻(xiàn)[24]方法)Fig.5 The change of the second impulse (Method in reference [24])

將異面差設(shè)置為0，改變?nèi)}沖機(jī)動(dòng)軌道最大轉(zhuǎn)移時(shí)間，圖6給出了不同交線位置和最大轉(zhuǎn)移時(shí)間對(duì)應(yīng)的總脈沖大小等高線圖，圖7是采用文獻(xiàn)方法求解得到的結(jié)果。通過圖6、圖7對(duì)比可知，在不同交線位置和最大轉(zhuǎn)移時(shí)間的情況下，本文提出的軌道初步設(shè)計(jì)方法也能明顯降低面內(nèi)機(jī)動(dòng)的脈沖大小，尤其是交線位于距遠(yuǎn)月點(diǎn)較遠(yuǎn)的位置時(shí)，本文的方法對(duì)降低面內(nèi)機(jī)動(dòng)脈沖更加有效。

圖6 面內(nèi)機(jī)動(dòng)的總脈沖大小Fig.6 Total velocity increment of maneuver in orbit plane

圖7 面內(nèi)機(jī)動(dòng)的總脈沖大小(文獻(xiàn)[24]方法)Fig.7 Total velocity increment of maneuver in orbit plane (Method in reference [24])

下面采用本文提出的串行求解策略，優(yōu)化求解完整的載人月球極地探測(cè)地月轉(zhuǎn)移軌道。仿真參數(shù)設(shè)置如下：近月點(diǎn)時(shí)刻為2028.06.27 10∶50∶00，求解得到的FRO的相關(guān)參數(shù)如表2所示，其中，位置和速度參數(shù)均在地心J2000坐標(biāo)系下表示。在月固系下，LPO軌道高度為300 km，軌道傾角為90°，升交點(diǎn)經(jīng)度為142°。α可在0與1之間任意取值，本算例中取為0.9，三脈沖機(jī)動(dòng)的總時(shí)間不超過1天。分別采用本文提出的求解策略和文獻(xiàn)[24]中的方法進(jìn)行求解，其中，在采用文獻(xiàn)[24]中的特殊點(diǎn)變軌方法時(shí)，各脈沖之間的轉(zhuǎn)移時(shí)間根據(jù)霍曼轉(zhuǎn)移確定，而在采用本文的求解策略時(shí)，前兩次脈沖之間的轉(zhuǎn)移時(shí)間與特殊點(diǎn)變軌策略中的設(shè)置保持一致，后兩次脈沖之間的轉(zhuǎn)移時(shí)間在三脈沖機(jī)動(dòng)的最大總時(shí)間約束范圍內(nèi)可調(diào)。求解得到三脈沖機(jī)動(dòng)軌道的高精度解如表3所示，其中三次脈沖矢量均在月心J2000坐標(biāo)系下表示。

表2 自由返回軌道參數(shù)Table 2 Parameters of free return orbit

表3 三脈沖機(jī)動(dòng)軌道求解結(jié)果Table 3 Results of three-impulse maneuver orbit

從表3可以看出，針對(duì)載人月球極地探測(cè)地月轉(zhuǎn)移軌道，本文提出的軌道設(shè)計(jì)方法能夠有效地降低總脈沖消耗，與文獻(xiàn)中的方法相比，可以節(jié)省大約131 m/s的速度增量。在月心J2000坐標(biāo)系下，畫出完整的高精度軌道，如圖8所示。因此，文獻(xiàn)[24]中的三脈沖機(jī)動(dòng)方案采用傳統(tǒng)的特殊點(diǎn)變軌方式，從第二次脈沖施加位置B點(diǎn)到近月點(diǎn)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)移，所需的時(shí)間和速度增量的消耗完全由B點(diǎn)位置和LPO軌道高度確定，無法保證最優(yōu)轉(zhuǎn)移。而由于各種攝動(dòng)力的影響，B點(diǎn)距離遠(yuǎn)月點(diǎn)較遠(yuǎn)，所以消耗的總脈沖較大。而本文通過Lambert算法確定B點(diǎn)與C點(diǎn)之間的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡時(shí)，轉(zhuǎn)移時(shí)間可調(diào)，在滿足最大轉(zhuǎn)移時(shí)間約束下，通過尋優(yōu)求解，相比傳統(tǒng)的霍曼轉(zhuǎn)移方式，該方法可以在較短的時(shí)間內(nèi)完成最優(yōu)轉(zhuǎn)移，并且消耗的總脈沖較小。

圖8 高精度軌道Fig.8 High-fidelity orbit

4 速度增量特性分析

在載人月球極地探測(cè)方案設(shè)計(jì)階段，掌握一類軌道的特性，對(duì)后續(xù)制定方案具有十分重要的意義。而在工程實(shí)際中，速度增量是比較關(guān)心的一個(gè)指標(biāo)。本節(jié)采用上文提出的軌道設(shè)計(jì)策略，通過大量計(jì)算仿真，對(duì)地月轉(zhuǎn)移軌道的速度增量特性進(jìn)行分析。

4.1 升交點(diǎn)經(jīng)度的影響

FRO參數(shù)與第3節(jié)設(shè)置相同，LPO的軌道高度與傾角也保持不變，改變LPO在月固系下的升交點(diǎn)經(jīng)度，分別計(jì)算通過三脈沖機(jī)動(dòng)到達(dá)不同LPO所需的速度增量。速度增量隨LPO升交點(diǎn)經(jīng)度的變化情況如圖9所示。從圖9可以看出，速度增量隨著升交點(diǎn)經(jīng)度的增加，呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，當(dāng)升交點(diǎn)經(jīng)度為90°時(shí)，速度增量達(dá)到最大，約2400 m/s，當(dāng)升交點(diǎn)經(jīng)度為180°時(shí)，速度增量最小，約為1200 m/s，符合文獻(xiàn)[30]中得到的三脈沖機(jī)動(dòng)方案在2600 m/s速度增量范圍內(nèi)可實(shí)現(xiàn)全月面到達(dá)的結(jié)論。由此可知，當(dāng)LPO升交點(diǎn)、降交點(diǎn)連線方向與地月連線方向垂直時(shí)，地月轉(zhuǎn)移軌道對(duì)燃料消耗的要求較高，而當(dāng)LPO升交點(diǎn)、降交點(diǎn)連線方向與地月連線方向接近時(shí)，地月轉(zhuǎn)移軌道對(duì)燃料消耗的要求較低。因此，在實(shí)施載人月球極地探測(cè)任務(wù)時(shí)，可以選擇升交點(diǎn)、降交點(diǎn)連線方向與地月連線方向接近的LPO作為目標(biāo)環(huán)月軌道。

圖9 速度增量與LPO升交點(diǎn)經(jīng)度的關(guān)系Fig.9 Velocity increment versus longitude of the ascending node of LPO

4.2 轉(zhuǎn)移時(shí)間的影響

改變?nèi)}沖機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間，其它參數(shù)與第3節(jié)中設(shè)置相同，計(jì)算在不同三脈沖機(jī)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間下，地月轉(zhuǎn)移所需的速度增量。如圖10所示，速度增量隨著轉(zhuǎn)移時(shí)間的增加而逐漸減小。當(dāng)轉(zhuǎn)移時(shí)間在12～24 h變化時(shí)，速度增量變化幅度較大，約為200 m/s。當(dāng)轉(zhuǎn)移時(shí)間大于30 h時(shí)，速度增量下降幅度不大，在18 h的變化區(qū)間內(nèi)，速度增量?jī)H僅減少了約50 m/s。因此，考慮航天員的生命安全以及轉(zhuǎn)移過程中產(chǎn)生的其它能源消耗的成本，可以選擇24～30 h的三脈沖機(jī)動(dòng)軌道方案。

圖10 速度增量與轉(zhuǎn)移時(shí)間的關(guān)系Fig.10 Velocity increment versus transfer time

4.3 月球極地軌道高度的影響

改變LPO的高度，同時(shí)設(shè)置FRO近月點(diǎn)高度與LPO高度保持一致，其它參數(shù)與第3節(jié)中設(shè)置相同，計(jì)算到達(dá)不同軌道高度的LPO時(shí)，地月轉(zhuǎn)移需要的速度增量。如圖11所示，隨著月球極地軌道的軌道高度的增加，速度增量不斷減少，當(dāng)LPO的軌道高度從200 km增加到1600 km時(shí)，速度增量降低約160 m/s。因此，在滿足其它月球極地探測(cè)條件的情況下，可以選擇軌道高度較高的LPO。

圖11 速度增量與LPO軌道高度的關(guān)系Fig.11 Velocity increment versus LPO altitude

4.4 ETO1軌道周期的影響

改變ETO1軌道周期，即改變比例參數(shù)α，其它參數(shù)與第3節(jié)中設(shè)置相同，計(jì)算不同比例參數(shù)下，三脈沖機(jī)動(dòng)所需的速度增量。如圖12所示，隨著比例參數(shù)的增加，ETO1軌道周期不斷增大，速度增量不斷減小。因此，在進(jìn)行三脈沖機(jī)動(dòng)時(shí)，可以選擇軌道周期較長(zhǎng)的ETO1軌道。

圖12 速度增量與比例參數(shù)的關(guān)系Fig.12 Velocity increment versus α

5 結(jié) 論

本文針對(duì)載人月球極地探測(cè)任務(wù)，采用了一種自由返回軌道與三脈沖機(jī)動(dòng)軌道相結(jié)合的地月轉(zhuǎn)移軌道方案，并提出一種從初步設(shè)計(jì)到精確設(shè)計(jì)的串行求解策略進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在基于近月點(diǎn)偽參數(shù)的兩段拼接模型中，采用改進(jìn)的多圓錐截線法對(duì)自由返回軌道進(jìn)行初步設(shè)計(jì)，能夠有效地提高初步設(shè)計(jì)的精度。采用特殊點(diǎn)機(jī)動(dòng)與Lambert算法相結(jié)合的方法對(duì)三脈沖機(jī)動(dòng)軌道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，與已有文獻(xiàn)的方法相比，可以有效地減少速度增量的消耗。在實(shí)際任務(wù)中，若考慮較少的速度增量消耗，可選擇升交點(diǎn)、降交點(diǎn)連線方向與地月連線方向接近,且軌道高度較高的月球極地軌道作為目標(biāo)環(huán)月軌道，三脈沖機(jī)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)移時(shí)間可以設(shè)置為24～30 h，并選擇軌道周期較長(zhǎng)的ETO1進(jìn)行轉(zhuǎn)移。