李冰林 曾勵 張鵬銘 竺志大

摘 要：針對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的非線性、不確定性和易受擾動等特點(diǎn)，提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步控制方法以提高系統(tǒng)的控制性能。在系統(tǒng)受到不確定性擾動的情況下，運(yùn)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實(shí)時估計懸浮球的位置、速度和擾動信息，并將這種估計值與控制器設(shè)計相結(jié)合，然后采用反步法設(shè)計磁懸浮球的懸浮位置跟蹤控制律，以Lyapunov方法證明系統(tǒng)的跟蹤誤差最終有界收斂。仿真結(jié)果表明，ESO-BS控制與PID控制相比，前者系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間為0.01 s，后者調(diào)節(jié)時間為0.08 s，明顯偏長，因此，ESO-BS控制的動態(tài)特性要優(yōu)于PID控制。在系統(tǒng)存在不確定性的條件下，所設(shè)計的控制律能實(shí)現(xiàn)磁懸浮球的穩(wěn)定懸浮，并能根據(jù)要求的懸浮高度位置實(shí)現(xiàn)位置跟蹤。

關(guān)鍵詞：控制系統(tǒng)仿真技術(shù);磁懸浮球;擴(kuò)張狀態(tài)觀測器;反步控制;位置跟蹤

中圖分類號：TH117.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx02007

Back-stepping control based on extended state observer for magnetic levitation ball

LI Binglin1，2，3，ZENG Li2，ZHANG Pengming3，ZHU Zhida2

（1.College of Automobile and Traffic Engineering，Nanjing Forestry University，Nanjing，Jiangsu 210037，China;2.College of Mechanical Engineering，Yangzhou University，Yangzhou，Jiangsu 225009，China; 3.Zhejiang Jinggong Science & Technology Company Limited，Shaoxing，Zhejiang 312030，China）

Abstract：Aiming at the characteristics of non-linearity，uncertainty and susceptibility to disturbance of single-degree-of-freedom magnetic levitation ball system，a back-stepping control method based on extended state observer （ESO-BS） was proposed to improve the control performance of the system.The extended state observer was used to estimate the position，velocity and disturbance information of the levitation ball in real time when the system was disturbed by uncertainty.The estimation was combined with the controller design，then the back-stepping method was used to design the levitation position tracking control law of the magnetic levitation ball，and the Lyapunov method was used to prove the ultimate bounded convergence of the tracking error of the system.The simulation results show that，compared with PID control，the adjusting time of ESO-BS control system is 0.01 s，while that of PID control is 0.08 s，which is obviously longer，so the dynamic characteristic of ESO-BS control is better than that of PID control.When there is uncertainty in the system，the designed control law can realize the stable suspension of the ball，and can realize the position tracking according to the required suspension height position.

Keywords：

control system simulation technology; magnetic levitation ball; extended state observer（ESO）; back-stepping control; position tracking

磁懸浮能使機(jī)械實(shí)現(xiàn)無摩擦、無需潤滑高速運(yùn)轉(zhuǎn)，在交通、國防、工業(yè)等領(lǐng)域有較大的應(yīng)用前景[1-2]。單自由度的懸浮系統(tǒng)具有非線性、開環(huán)不穩(wěn)定的特性[3]，通常方法都是將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化，然后再設(shè)計控制算法，如文獻(xiàn)[4—5]采用的PID控制和模糊PID控制，盡管這些控制有一定的魯棒性能，但容易使系統(tǒng)性能變得超調(diào)。考慮模型擾動的魯棒控制雖然對模型的攝動有一定的容許度，但是該控制方法也需要合理選擇靈敏度加權(quán)函數(shù)[6-7]?；？刂祈憫?yīng)快、對參數(shù)變化不敏感，但需要解決變結(jié)構(gòu)時的抖振問題[8]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制需對參數(shù)進(jìn)行大量訓(xùn)練，對實(shí)時性和硬件要求較高[9-10]。以上控制都建立在懸浮球處在平衡位置小擾動下，一旦外擾強(qiáng)度增大，系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)的幅值過大，再由于系統(tǒng)非線性的因素，會導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定，進(jìn)而懸浮失效。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）將系統(tǒng)的內(nèi)外干擾信號視為一種總擾動，并能通過觀測器將這一總擾動進(jìn)行估計，但在參數(shù)整定時比較復(fù)雜[11]。反步控制能夠有效消除參數(shù)變化和外界擾動對系統(tǒng)的影響，可以處理不確定性以及帶有未知參數(shù)的非線性系統(tǒng)，在四旋翼飛行器等控制領(lǐng)域有較為廣泛的應(yīng)用[12-13]。

本研究針對單自由度的懸浮系統(tǒng)，在外界存在擾動的情況下，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器取代對這種擾動進(jìn)行估計，然后基于反步法設(shè)計磁懸浮球的位置控制器和移動速度控制器，抑制外界擾動，實(shí)現(xiàn)對磁懸浮球高度位置的精確懸浮控制，使得控制的位置誤差最終有界。該方案不需要獲取準(zhǔn)確的線性化參數(shù)，同時不需要估計系統(tǒng)不確定項(xiàng)的上界，簡化了系統(tǒng)控制，最后通過仿真驗(yàn)證該控制算法的可行性。

1 單自由度懸浮系統(tǒng)模型及問題描述

1.1 系統(tǒng)模型

1）懸浮球與電磁鐵數(shù)學(xué)模型

磁懸浮控制系統(tǒng)的工作原理如圖1所示， F（x0，I0）是電磁鐵在平衡點(diǎn)（I0，x0）處的電磁力，I0是線圈中的偏置電流。當(dāng)系統(tǒng)工作時，懸浮球受到擾動，并從平衡位置x0向下偏移微小位移，經(jīng)傳感器檢測，送入到控制器中。控制器緊接著向功率放大器輸入控制信號，然后功率放大器將信號放大處理并向磁極線圈中輸入電流為（I0+i），產(chǎn)生的電磁力將浮子拉回到平衡位置。

根據(jù)電磁學(xué)理論，忽略鐵心的影響，懸浮球上的電磁力為[14]

F（x，I）=μ0S0（NI2x）2=14μ0n2S0I2x2=KI2x2，

式中：K=14μ0n2S0，電流I增加，電磁力增加;間隙x增加，電磁力減小。F（x，I）在平衡點(diǎn)（x0，I0）進(jìn)行泰勒展開，電磁力等于懸浮球重力，即F（x0，I0）=mg，有：

F（x，I）=mg+μ0n2S0I0I-I0 2x20-μ0n2S0I20x-x0 2x30 。（1）

設(shè)工作過程中系統(tǒng)受到外力fd擾動，被懸浮對象的運(yùn)動學(xué)方程為

md2xdt2=mg-F（x，I）+fd，

代入式（1），進(jìn)一步得到：

md2xdt2+kxx+kII=fd，（2）

式中：k，kI分別為磁懸浮的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù);kx=-μ0N2I20A/（2x30）;kI=μ0N2I20A/（2x20）。

令x1=x，x·1=x2，u=I，單自由度模型式（2）可表示為

x·1=x2，x·2=fd-kxxmx1-kIImu，（3）

式中：fd為外擾動;-kxxmx1視為內(nèi)部擾動;f=fd-kxxmx1視為內(nèi)外擾動之和。

2）傳感器數(shù)學(xué)模型[15]

光電位置傳感器具有線性特性，信號轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)為電壓放大器，屬于比例環(huán)節(jié)，所以其模型可以簡化為

Gs（s）=xs（s）x（s）≈Ks 。

3）功率放大器數(shù)學(xué)模型

采用電壓-電流型功率放大器，其為一階慣性環(huán)節(jié)，由于時間常數(shù)Ta極小，其數(shù)學(xué)模型可以簡化為

G0（s）=i（s）u（s）=1+TasKa≈1Ka 。

由以上可知，模型中的傳感器數(shù)學(xué)模型的輸入、輸出成線性關(guān)系，而功率放大器模型的輸入、輸出成反比例關(guān)系。

1.2 問題描述

在實(shí)際工作過程中，電磁線圈存在漏磁現(xiàn)象，鐵心具有磁阻，存在磁飽和問題，這會增加系統(tǒng)的不確定性，同時外界的環(huán)境包括振動對系統(tǒng)控制都有一定的影響。這些問題都會導(dǎo)致系統(tǒng)建模存在偏差。為了降低這些因素對系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的影響，設(shè)計了一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行估計。

2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器將系統(tǒng)未知的干擾信號擴(kuò)充成新的狀態(tài)變量，本文將f作為狀態(tài)變量進(jìn)行擴(kuò)張。擴(kuò)張狀態(tài)器的輸出動態(tài)補(bǔ)償干擾項(xiàng)的影響，最終可將含有未知干擾項(xiàng)的系統(tǒng)用非線性反饋化為“積分串聯(lián)”形式，然后用非線性狀態(tài)誤差反饋，設(shè)計理想的控制器[16-17]。

對于二階非線性系統(tǒng)，可以表示為

x·=Ax+Bu+Ed，y=Cx，

式中：A=010001000〗;B=0b00〗;C=100〗;E=001〗T;d為擾動信息。

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益為

z·=Az+Bu+L（y-y^），y=Cx，

式中：z=z1z2z3〗T，表示x=x1x2x3〗T的估計值;L=β01β02β03〗T，為觀測增益。選擇觀測器的極點(diǎn)在左半平面-w0處，則：

sI-A=s3+β01s2+β02s+β03=（s+w0）3，（4）

得β01=3w0，β02=3w20，β01=w30，其中w0為觀測器的帶寬，滿足多項(xiàng)式（4）是Hurwitz的，ESO能夠收斂。觀測器的輸出z3將跟蹤f。帶寬的選擇通常會考慮到信號的精度性和噪聲的敏感性，應(yīng)進(jìn)行合理選擇[18]。

擾動反饋控制律為

u=（u0-z3）/b0 ，

此時系統(tǒng)變?yōu)殡p積分系統(tǒng)。

傳統(tǒng)的非線性反饋控制的控制增益：

u0=k1（v0-z1）+k1（v·0-z2） ，

式中：k1=w2c;k2=2wc，為控制增益;wc為系統(tǒng)帶寬。

3 控制器設(shè)計

將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的觀測值與控制器設(shè)計相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)對干擾的抑制能力。反步控制器主要是基于Lyapunov穩(wěn)定性理論[19]，實(shí)現(xiàn)對懸浮位置控制和速度控制。

Step1 根據(jù)式（3），希望找到一個x2d，使得t→SymboleB@，x1→x1d，根據(jù)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的估計，即使z1→x1d，令：

e=x1d-z1 。（5）

對式（5）進(jìn)行求導(dǎo)，則：

e·=x·1d-x·1=x·1d-x2 。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

V1=12e2。（6）

對式（6）進(jìn)行求導(dǎo)，則：

V·1=V1ededt=ee·=e（x·1d-x2）=-k1e2 k1>0，（7）

所以V·1<0，負(fù)定，因此，位移誤差e逐漸趨近于0。

Step2 由式（7）可知，需使x·1d-x2=-k1e，重新令：

x2d=x·1d+k1e ，（8）

使得t→SymboleB@，x2→x2d，再令：

δ=x2d-x2，（9）

將式（9）代入式（7）得

V·1=e（x·1d-x2）=e·1d-（x2d-δ）〗，

將其代入式（8）得：

V·1=-k1e2+eδ 。

對式（9）進(jìn)行微分，可得：

δ·=x·2d-x·2 。（10）

將式（3）、式（8）代入式（10）可得：

δ·=x··1d+k1e·-（fd-kxxmx1-kIImu）=x··1d+k1（x·1d-x2）-（fd-kxxmx1-kIImu） 。（11）

再構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

V2=V1+12δ2。（12）

對式（12）進(jìn)行微分，則：

V·2=V·1+δδ·=-k1e2+δ（e+δ·） 。

令：

e+δ·=-k2δ， k2>0 ，（13）

則：V·2=-（k1e2+k2δ2）<0，負(fù)定，因此，速度誤差δ逐漸趨近于0。

Step3 求取控制律，將式（11）代入式（13）得：

e+x··1d+k1（x·1d-x2）-（fd-kxxmx1-kiimu）=-k2δ 。（14）

對式（14）進(jìn)行整理，并同時根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對變量x1，x2的估計，可得控制律為

u=mkII··1d-k1（x·1d-z2）+（fd-kxxmz1）〗 。（15）

4 穩(wěn)定性證明

將式（9）代入式（5）得：

e·=x·1d-x2=x·1d-（x2d-δ）=x·1d-（x·1d+k1e-δ）=-k1e+δ 。（16）

將式（15）代入式（10）得：

δ·=x··1d+k1（x·1d-x2）-fd+kxxmx1+kIImmkII··1d-k1（x·1d-x2）+（fd-kxxmx1）〗=-e-k2δ 。（17）

聯(lián)立式（16）、式（17）得

e·δ·〗=-k1 1-1 -k2〗eδ〗 。（18）

設(shè)λ1，λ2為式（18）系數(shù)矩陣的特征值，則有：

λ1+λ2=-k1-k2，λ1λ2=k1k2+1。

由于k1，k2>0，可知λ1，λ2<0，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。當(dāng)t→SymboleB@時，e→0，δ→0。通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)k1和k2可以改變所控制變量誤差的收斂速度。

5 仿真試驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計控制器的效果，使懸浮球穩(wěn)定地懸浮在離電磁線圈0.014 m的位置高度，在相同的初始條件下，仿真PID控制、Back-stepping（BS）控制以及基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步控制（ESO-BS）的控制效果，同時研究在懸浮位置的響應(yīng)速度情況、抗擾能力以及跟蹤性能控制參數(shù)。ESO中wc=200，w0=300，k1=700;k2=700;PID控制器的參數(shù)為kp=-0.45，ki=0，kd=-0.005，磁懸浮的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行的具體參數(shù)值見表1[20]。

1）位置響應(yīng)

圖2為ESO-BS和PID 2種控制方法的懸浮位置階躍響應(yīng)曲線，懸浮球都能穩(wěn)定地懸浮在0.014 m的位置處。由圖2可知，ESO-BS的動態(tài)特性要優(yōu)于PID控制，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間為0.01 s，PID控制的調(diào)節(jié)時間明顯較長，為0.08 s，即對于單自由度的磁懸浮系統(tǒng)，ESO-BS控制在快速響應(yīng)上得到了顯著提高，遠(yuǎn)優(yōu)于PID控制。

圖3、圖4為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的觀測值（z1，z2，f）與實(shí)際值的比較，可以看出，不論是觀測出的位置信息、速度信息（位置的微分）、內(nèi)外擾信息，兩者之間的差值均很小，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器很好地跟蹤到系統(tǒng)實(shí)際值、及微分信號和干擾信號。

2）抗擾控制

圖5為在0.05～0.06 s時間段，施加擾動值13 N（為其自重的多倍），基于狀態(tài)觀測器的反步控制的控制效果。由圖5可知，加入干擾后，磁懸浮球在加入擾動的時間段有微小波動，但最終仍維持在懸浮的0.014 m處。其他控制方式在加入同樣大的負(fù)載后系統(tǒng)無法穩(wěn)定。圖6為擾動條件下擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的觀測值（z1，z2，f）與實(shí)際值的比較，針對觀測器輸出的內(nèi)外擾信息，估計值基本能跟蹤到系統(tǒng)實(shí)際值。

3）跟蹤控制

為了使磁懸浮球高度可調(diào)，使其跟蹤所需要的懸浮高度，并驗(yàn)證控制算法的跟蹤性能，令所跟蹤的信號以0.014 m為基準(zhǔn)高度，并對其施加振幅為0.01 m的正弦信號。

圖7為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器輸出的觀測信號。由圖7可知，控制系統(tǒng)可以使懸浮球及時跟蹤輸入?yún)⒖剂康淖兓?，具有較好的跟蹤性能，同時各個觀測信號都表現(xiàn)出了較好的觀測性能。速度跟蹤方面，從初始階段開始，實(shí)際速度值和觀測速度值有很好的一致性，說明其有很好的跟蹤性能，如圖8所示。

6 結(jié) 語

針對懸浮球懸浮位置控制，設(shè)計了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）的磁懸浮球的反步控制算法，通過觀測ESO內(nèi)外擾動信號，在Back-stepping控制器設(shè)計中以直接反饋的形式消除這種擾動，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。在位置響應(yīng)控制中，該方法比PID控制調(diào)節(jié)時間短，響應(yīng)快;在抗擾控制中，針對外界施加的擾動力矩，能對擾動進(jìn)行估計，使懸浮球穩(wěn)定懸浮;跟蹤性能方面，能使磁懸浮球穩(wěn)定跟蹤給定位置信號。因此，該算法具有較好的控制性能。

本文算法的效果主要體現(xiàn)在軟件仿真上，未來需在具體實(shí)物平臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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