路 陽(yáng)，何 偉，王 樂(lè)

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

GBAS 在飛機(jī)起降的應(yīng)用，屬于高端應(yīng)用，能有效地提高飛機(jī)起降引導(dǎo)精度，為飛機(jī)航行保駕護(hù)航。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于新增衛(wèi)星的偽距精度差，采用最小二乘解算，會(huì)引起定位解算結(jié)果的變化，從而造成高度跳變。在本文中，采用有效的抗差估計(jì)方法，能有效地提高偽距收斂精度，縮短收斂時(shí)間，提升GBAS 差分定位在飛機(jī)航行引導(dǎo)中的可靠性。

1 GBAS 差分定位中新增衛(wèi)星引起的高度跳變機(jī)理分析

在GBAS 差分定位中，地面站偽距差分修正量的正確與否直接影響到機(jī)載端接收機(jī)的定位精度。實(shí)際應(yīng)用中差分量生成流程如圖1所示。

圖1 差分量生成流程

生成步驟如下：

（1）原始?xì)埐钌?/p>

一顆衛(wèi)星（編號(hào)為i）通過(guò)星歷外推可以得到t時(shí)刻衛(wèi)星位置為（xi,yi,zi），差分衛(wèi)星地面站基準(zhǔn)接收機(jī)天線的位置為（xr,yr,zr），從差分衛(wèi)星地面站接收機(jī)天線r到衛(wèi)星i的幾何距離（真距）rr（i）為：

對(duì)4 個(gè)接收機(jī)同時(shí)收星，衛(wèi)星（編號(hào)為i）在t時(shí)刻的偽距測(cè)量值為ρr(i)(m)，則含有殘差的偽距差分修正量為ρc(i)(m)：

式中，i代表衛(wèi)星號(hào)，i=1，2，3…32；m=1，2，3，4，代表4個(gè)接收機(jī)號(hào)。

（2）原始校正差分量的生成

由于式（2）中計(jì)算公式所得的差分量含有本地鐘差，雖然對(duì)機(jī)載差分定位沒(méi)有影響，但為了減少空地傳輸字節(jié)量，一般采用如下公式，估算本地鐘差并消除：

（3）融合差分量的生成

對(duì)4 臺(tái)校正本地鐘差后的差分修正量進(jìn)行融合處理，生成最終的差分修正量：

機(jī)載接收機(jī)（編號(hào)為u）對(duì)共視衛(wèi)星i的偽距測(cè)量值為ρu(i)，則修正后的機(jī)載關(guān)于這顆星的偽距測(cè)量值為：

機(jī)載和地面有N顆共視衛(wèi)星，機(jī)載接收機(jī)修正后的偽距定位方程為：

通過(guò)解算式（7）可以計(jì)算得到機(jī)載接收機(jī)的差分定位結(jié)果(x,y,z)。再通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到大地坐標(biāo)系（Lon′ ,Lat′ ,Height′）。

當(dāng)i號(hào)低仰角衛(wèi)星剛剛跟蹤上，偽距的跟蹤精度還沒(méi)穩(wěn)定時(shí)，偽距測(cè)量值為ρr(i)中包含的有誤差分量 Δρr(i)，Δρr(i)精度收斂圖如圖2所示。在接收機(jī)剛跟蹤上衛(wèi)星時(shí)，產(chǎn)生的偽距誤差達(dá)到3 m 以上，隨著時(shí)間的推移，偽距誤差逐漸減小，由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可知通常在40 s 以后，能夠穩(wěn)定在厘米級(jí)。圖3所示為地面?zhèn)尉嗾`差引起對(duì)應(yīng)的機(jī)載端高度變化圖。

圖2 偽距精度收斂圖

圖3 機(jī)載端高度變化圖

i號(hào)衛(wèi)星偽距未達(dá)穩(wěn)定時(shí)，對(duì)4 個(gè)接收機(jī)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的差分修正量ρc′(i)為：

采用上述方法估算本地鐘差并消除：

對(duì)4 臺(tái)校正本地鐘差后的差分修正量進(jìn)行融合處理，生成最終的差分修正量為：

機(jī)載接收機(jī)收到錯(cuò)誤的差分修正量后，修正共視衛(wèi)星i的偽距測(cè)量值，則得到帶有偏差的修正后的偽距為：

機(jī)載和地面有N顆共視衛(wèi)星，其中包含一顆含有錯(cuò)誤偽距修正值的機(jī)載偽距值，機(jī)載接收機(jī)的偽距定位方程：

式（13）中，由于第一個(gè)方程式中的錯(cuò)誤偽距，導(dǎo)致在解算方程組時(shí)得到誤差較大的機(jī)載差分定位（x′,y′,z′），坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到錯(cuò)誤的大地坐標(biāo)系（Lon′ ,Lat′ ,Height′）。因此，當(dāng)一顆低仰角衛(wèi)星被接收機(jī)接收到，偽距測(cè)量值的跟蹤精度還沒(méi)到達(dá)穩(wěn)定時(shí)，會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的機(jī)載修正偽距，導(dǎo)致式（13）解算出錯(cuò)，產(chǎn)生高度跳變。從圖2～圖3也可以看出，只有當(dāng)?shù)孛娼邮諜C(jī)的偽距跟蹤精度穩(wěn)定后，解算上述方程組才會(huì)得到正確的定位結(jié)果，從而機(jī)載的差分定位結(jié)果恢復(fù)到正確的定位值[1]。

由此看出，只有偽距精度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，才能生成正確的偽距差分修正量。傳統(tǒng)方案根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)新增衛(wèi)星出現(xiàn)60 s 后，再讓其參與差分運(yùn)算，但此方法效率不高，較為簡(jiǎn)單原始，缺乏理論依據(jù)。而本文采用的自適應(yīng)抗差估計(jì)算法能夠?qū)π略鲂l(wèi)星偽距精度作出靈活自主判斷，將其應(yīng)用到新增衛(wèi)星偽距測(cè)量值的預(yù)處理中，使問(wèn)題得到更好的解決。

2 幾種經(jīng)典的抗差估計(jì)算法

2.1 獨(dú)立觀測(cè)抗差估計(jì)（M 估計(jì)為例）

2.1.1 傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)

設(shè)觀測(cè)向量 L= [L1L2…Ln]T，Li(i=1，2，…,n)獨(dú)立，未知參數(shù)向 X= [X1X2…Xm]T，其誤差向量Δ，線性化后的觀測(cè)方程為：

誤差方程為：

經(jīng)典最小二乘（LS）估計(jì)要求：

由式（17）可得：

式中，∑X為X 的協(xié)方差矩陣；為方差因子估值。

我們以偽距雙差作為對(duì)偽距精度的估計(jì)，并假設(shè)雙差值各歷元間相互獨(dú)立，由此可得式（18）～式（20）中權(quán)陣P 為n階單位陣，系數(shù)矩陣A 是各元素值均為1 的n×1 維列向量，故：

2.1.2 極大似然性估計(jì)（M 估計(jì)）

設(shè)觀測(cè)樣本L1，L2，…，Ln，測(cè)值Li分布密度為f（X-Li），極大似然估計(jì)要求參數(shù)估值滿(mǎn)足：

用ρ（·）代替 -Inf（·），則極大似然原理要求：

即M 估計(jì)轉(zhuǎn)化為求上述極小化問(wèn)題的解，對(duì)式（22）求導(dǎo)后可得：

式中，ψ是ρ的導(dǎo)函數(shù)。

對(duì)于M 估計(jì)，將式（25）改寫(xiě)，令：

將式（26）代入式（25）可得：

式中，iW取Tukey 的ψ函數(shù)所相應(yīng)的值，即：

式中，C=6.0，

2.2 相關(guān)觀測(cè)抗差估計(jì)

2.2.1 相關(guān)最小二乘估計(jì)

設(shè)各觀測(cè)值L1,L2, …,Ln均服從正態(tài)分布，故其聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

式中，L 為n維測(cè)值向量；∑L為L(zhǎng) 的協(xié)方差矩陣；為測(cè)值協(xié)方差矩陣的行列式。式（30）可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

實(shí)際求解時(shí)真實(shí)誤差 Δ = L -E（L）無(wú)法直接求得，故只能求測(cè)值殘差 V = L -，其中為L(zhǎng)的估計(jì)值，因此式（32）可轉(zhuǎn)換為：

將式（15）代入式（34）后求導(dǎo)可得：

表示成矩陣形式，可得估計(jì)值[2]為：

2.2.2 相關(guān)IGG3 方案

相關(guān)IGG3 方案基于相關(guān)最小二乘估計(jì)，且根據(jù)測(cè)值的不同情況分別作出處理，即當(dāng)測(cè)值偏差較小時(shí)（測(cè)值主部）采用效率高的LS 估計(jì)；當(dāng)測(cè)值超出一定范圍時(shí)采用降權(quán)估計(jì)；當(dāng)個(gè)別測(cè)值明顯過(guò)大時(shí)，采用淘汰法（零權(quán)估計(jì)）。由此可得如下相關(guān)等價(jià)權(quán)[3]：

式中，k0可取值為1.0～1.5，k1可取值為2.5～3.0。

3 算例

3.1 三種抗差算法收斂情況比較

偽距精度采用偽距雙差進(jìn)行估計(jì)，偽距雙差變量X的近似真值為0 m，對(duì)其進(jìn)行了10 次觀測(cè)得到：L=[0.099268，0.071994，0.027277，0.099270，0.108213，0.072887，0.077807，0.061709，0.094797，0.028172]。將L的首個(gè)歷元測(cè)值L（1）加入大約0.3 m 的粗差后變?yōu)長(zhǎng)′，然后對(duì)L′分別用M 估計(jì)、相關(guān)最小二乘估計(jì)、相關(guān)IGG3 方案這三種抗差估計(jì)算法進(jìn)行處理，并使各算法最終收斂時(shí)，每種抗差方法的最終收斂結(jié)果、迭代次數(shù)及最終收斂精度如表1所示。

表1 三種抗差算法收斂結(jié)果對(duì)照表

各抗差算法收斂結(jié)果對(duì)比圖如圖4所示。

圖4 三種抗差算法收斂效果對(duì)比圖

由以上試驗(yàn)結(jié)果可得如下結(jié)論：從最終收斂結(jié)果方面，相關(guān)IGG3 方案最優(yōu)，其次為M 估計(jì)，最后為相關(guān)最小二乘估計(jì)；從迭代次數(shù)方面，相關(guān)IGG3 方案和相關(guān)最小二乘估計(jì)均為2 次，算法效率最高，而M 估計(jì)迭代5 次，效率最低；從最終收斂精度方面，IGG3 方案最大，說(shuō)明其收斂速度最快，而M 估計(jì)的最終收斂精度最小，說(shuō)明其收斂速度最慢，相關(guān)最小二乘估計(jì)收斂速度介于兩者之間。

3.2 三種抗差算法應(yīng)用于連續(xù)歷元偽距雙差估計(jì)

表2為某地面接收機(jī)靜態(tài)下的連續(xù)28 個(gè)觀測(cè)歷元的偽距雙差觀測(cè)值[4]。從數(shù)據(jù)變化上看，各歷元觀測(cè)值圍繞偽距雙差的近似真值0 上下小幅波動(dòng)，我們依舊將觀測(cè)值首個(gè)歷元加入大約0.3 m 的粗差后，分別采用三種抗差算法進(jìn)行估計(jì)，試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

表2 接收機(jī)連續(xù)28個(gè)觀測(cè)歷元的偽距雙差觀測(cè)值

由圖5可以明顯得出如下結(jié)論：三種抗差算法均能較好剔除較大的偽距粗差（首個(gè)歷元跳點(diǎn)被“過(guò)濾”掉），從估計(jì)值準(zhǔn)確度方面，起始階段具有獨(dú)立性的M 估計(jì)相比于其他兩個(gè)具有相關(guān)性的估計(jì)算法效果較好，但隨著歷元數(shù)不斷增多，后期（從14 歷元起）兩個(gè)相關(guān)估計(jì)算法占優(yōu)，具有與真值更為接近的估計(jì)，相比較而言，IGG3 方案比相關(guān)LS 更能有效剔除觀測(cè)值明顯異常的點(diǎn)，并對(duì)部分測(cè)值較高點(diǎn)采用降權(quán)估計(jì)，因此采用IGG3 方案更為合適；從估計(jì)算法的連續(xù)性方面，具有獨(dú)立性的M 估計(jì)連續(xù)性最好，而兩個(gè)相關(guān)估計(jì)算法由于需要運(yùn)用到權(quán)陣P，但在某些連續(xù)歷元相關(guān)性較差的時(shí)刻權(quán)陣P 無(wú)法生成，因此會(huì)導(dǎo)致這些時(shí)刻無(wú)法生成估計(jì)值，故連續(xù)性較差。

圖5 三種方案抗差結(jié)果圖

3.3 M 與IGG3 組合抗差估計(jì)

通過(guò)上述分析可知，任何算法都不會(huì)十全十美，正所謂“魚(yú)與熊掌不可兼得”，必須在算法估值準(zhǔn)確度和連續(xù)性之間做出取舍，因此實(shí)際應(yīng)用中，將M 估計(jì)和IGG3 方案綜合使用效果更好，即在連續(xù)歷元相關(guān)性較好的時(shí)刻，權(quán)陣P 存在，故此時(shí)采用相關(guān)IGG3 方案，而在連續(xù)歷元相關(guān)性較差的時(shí)刻，權(quán)陣P 不存在，故此時(shí)采用獨(dú)立M 估計(jì)，具體試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 M 與IGG3 組合抗差結(jié)果圖

由圖6可知，原始偽距雙差在34 s 以后精度達(dá)到0.1 m 以下，而采用M 與IGG3 組合抗差估計(jì)算法后，偽距雙差在13 s 以后就能達(dá)標(biāo)，由此可見(jiàn)，該算法適用于接收機(jī)初始跟蹤鎖定階段的偽距抗差校正，能極大縮短接收機(jī)偽距的收斂時(shí)間，并能適當(dāng)提高偽距精度[5]。

4 結(jié)論

通過(guò)以上分析可知，采用M 與IGG3 組合抗差估計(jì)算法并將其應(yīng)用到新增衛(wèi)星偽距測(cè)量值的預(yù)處理中，可極大提高接收機(jī)的收斂速度和精度。