劉 超，聶 宏，陳 麗

（1.遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

切換系統(tǒng)是由一組包含連續(xù)或離散時(shí)間動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)和一條決定各個(gè)子系統(tǒng)如何切換的切換信號(hào)所構(gòu)成的。它在工程實(shí)際中具有非常廣泛的應(yīng)用，如飛行器控制、交通控制、機(jī)器人行走控制、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)及多智能體的協(xié)作與控制等[1‐3]。切換系統(tǒng)理論在改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能和提高系統(tǒng)的控制精度方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢(shì)。近年來切換系統(tǒng)涌現(xiàn)出了大量的研究成果，涉及穩(wěn)定性分析、故障檢測、H∞控制以及其他控制綜合問題等[4‐6]。

跟蹤控制是控制領(lǐng)域的重要問題之一，其目的是通過有效的控制使被控對(duì)象具有所期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。由于跟蹤控制擁有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，如在化工過程中對(duì)溫度的實(shí)時(shí)跟蹤、加工制造業(yè)中對(duì)機(jī)器人路徑的跟蹤等，目前跟蹤控制問題已經(jīng)得到比較深入的研究[7‐9]。文獻(xiàn)[7]研究一類常時(shí)滯切換系統(tǒng)的模型跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)基于狀態(tài)的切換信號(hào)，保證了系統(tǒng)具有魯棒H∞跟蹤性能。文獻(xiàn)[8]針對(duì)具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)，得到了跟蹤控制問題可解的充分條件。文獻(xiàn)[9]討論異步切換下時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題，利用平均駐留時(shí)間方法，給出了跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方案。這些研究成果均是使用平均駐留時(shí)間的方法。文獻(xiàn)[10]指出，使用模型依賴平均駐留時(shí)間法（Mode‐Dependent Average Dwell Time，MDADT）相較于平均駐留時(shí)間法可設(shè)計(jì)保守性較低，更具一般性的切換信號(hào)。通過使用MDADT 方法，文獻(xiàn)[11]研究一類具有時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)切換系統(tǒng)H∞鎮(zhèn)定問題，設(shè)計(jì)出一類切換信號(hào)和狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)具有全局指數(shù)穩(wěn)定性和L2性能。文獻(xiàn)[12]通過設(shè)計(jì)有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制器，得到了線性切換系統(tǒng)有限時(shí)間有界且具有H∞性能的充分條件。文獻(xiàn)[13]針對(duì)一類具有時(shí)變時(shí)滯的線性切換系統(tǒng)，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，保證了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有加權(quán)H∞性能。到目前為止，利用模型依賴平均駐留時(shí)間方法對(duì)切換時(shí)滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制的研究還鮮有報(bào)道。

受文獻(xiàn)[10-15]的啟發(fā)，本文使用模型依賴平均駐留時(shí)間方法研究切換時(shí)滯系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題。利用多Lyapunov 函數(shù)理論，以線性矩陣不等式形式給出切換時(shí)滯系統(tǒng)H∞輸出跟蹤問題可解的充分條件，同時(shí)還給出狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分相結(jié)合的切換控制器的設(shè)計(jì)方案。最后，以仿真例子驗(yàn)證所獲得結(jié)論的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮如下線性時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)：

式中，x(t)t ∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)；u(t)t ∈Rm為控制輸入；ω(t) ∈Rp為屬于L2[0,∞)的擾動(dòng)輸入；y(t) ∈Rq為輸出；?(θ)為定義在[-h,0]上的連續(xù)可微的初值函數(shù)；σ(t)t:[0,∞),∞→M ={1,2,…,m}為關(guān)于時(shí)間t 的分段連續(xù)的常值函數(shù)，稱作切換信號(hào)。對(duì)任意的i ∈M,Ai、Bi、Ei、Fi和C 是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。d(t)為有界時(shí)變時(shí)滯，滿足如下條件:

對(duì)應(yīng)于切換信號(hào)σ(t)的切換序列為：

式中，x(t0)為初始狀態(tài)；t0為初始時(shí)間；tk為切換時(shí)刻；N 為非負(fù)整數(shù)集。當(dāng)t ∈[tk,tk+1)，第ik個(gè)子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)。

假設(shè)參考信號(hào)為yr(t)，則輸出跟蹤誤差為：選取含有狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息的控制器為：

式中，Kσ(t)、Lσ(t)為待確定的控制器增益。

結(jié)合式（1）、式（4）和式（5）可以得到如下增廣系統(tǒng)：

本文旨在設(shè)計(jì)一個(gè)切換信號(hào)和包含跟蹤誤差積分信息的控制器（5），使系統(tǒng)（6）是指數(shù)穩(wěn)定的且具有H∞輸出跟蹤性能，為此給出如下定義和引理。

定出義跟1蹤[16性]能對(duì)，于為切此換給信出號(hào)如下σ(定t)義和和任引意理時(shí)?？蘐、t,T ≥t ≥0,令Nσi(T,t)表示在時(shí)間區(qū)間[t,T]上的第i 子系統(tǒng)被激活的次數(shù),i ∈M。Ti(T,t)表示第i 子系統(tǒng)在[t,T]上總的運(yùn)行時(shí)間。如果存在N0i>0,τai>0，使不等式對(duì)任意T ≥t ≥0 成立，那么稱切換信號(hào)σ(t)具有模型依賴的平均駐留時(shí)間τai，其中，N0i表示模型依賴的振動(dòng)界。

2 主要結(jié)果

3 控制器設(shè)計(jì)

定理1 給出了輸出跟蹤控制問題可解的充分條件，但定理1 給出的結(jié)論不便于求解，下面將定理中的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。

定理2 對(duì)任意給定的常數(shù)γ>0，λi>0，μi≥1，如果存在矩陣Pˉi>0、Qˉi>0、Zˉi>0、Yi，?i ∈M，使得如下不等式

使用式(27)，并在式(25)左右兩側(cè)同時(shí)乘以矩陣diag{Pi,Zi,I,I,I}，有：

由Schur 補(bǔ)引理，可以推出式（7）成立，證畢。

4 仿真實(shí)例

考慮具有兩個(gè)子系統(tǒng)的連續(xù)切換系統(tǒng)，具有如下參數(shù)：

兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計(jì)算結(jié)果

從表1 可以看出，本文定理2 中求得的H∞性能γ 小于文獻(xiàn)[9]定理3 中求得的H∞性能γ。因此，相比于平均駐留時(shí)間策略，模型依賴的平均駐留時(shí)間有更好的H∞輸出跟蹤性能。選取初始狀態(tài)x(t0)=[-2 1]T，切換信號(hào)如圖1 所示。系統(tǒng)（6）的H∞輸出跟蹤性能如圖2 所示。當(dāng)?(t) =yr(t) =0 時(shí)，開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖3 所示。

圖1 切換信號(hào)

圖2 系統(tǒng)（6）的H∞輸出跟蹤性能（γ=0.54）

圖3 當(dāng)?(t) = yr(t) = 0 時(shí)，開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

從圖3 可以看出，u(t) =0 時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但是通過使用本文定理2 所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋和積分誤差相結(jié)合的控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線如圖4 所示。

圖4 系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線

5 結(jié) 論

研究了具有模型依賴平均駐留時(shí)間的切換時(shí)滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題。使用模型依賴平均駐留時(shí)間方法和多Lyapunov 函數(shù)理論，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息相結(jié)合的控制器，得到了系統(tǒng)在模型依賴平均駐留時(shí)間切換信號(hào)下有效地跟蹤參考信號(hào)的充分條件。相比于平均駐留時(shí)間策略，模型依賴的平均駐留時(shí)間有更好的H∞輸出跟蹤性能。