張 磊 ，孫會來

(1. 天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院 天津300387；2. 天津市交通運輸綜合行政執(zhí)法總隊 天津 300304)

1 無模型自適應(yīng)控制算法(MFAC)

工業(yè)機器人目前正經(jīng)歷著歷史發(fā)展的黃金時期，無論是工業(yè)機應(yīng)用還是前沿技術(shù)研究都處于進步與發(fā)展過程中，工業(yè)機器人在汽車制造、電子產(chǎn)業(yè)、金屬加工、生活日化用品等行業(yè)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。

中國電子學(xué)會整理了國際機器人聯(lián)合會(IFR)的數(shù)據(jù)，如圖1所示，2014年以來工業(yè)機器人市場正以8.3%的速度增長，自2018年以來中國、日本、美國和德國等主要國家占比超3/4，而我國是亞洲最大的銷售市場，未來幾年將繼續(xù)保持高速增長。

在機械手科研領(lǐng)域中離不開機械手仿真與編程技術(shù)的研究，其一方面可對機械手控制算法進行驗證，另一方面能夠在機械手優(yōu)化設(shè)計上提供一個穩(wěn)定的平臺。對于機械手控制系統(tǒng)的研究離不開動力學(xué)模型的分析和運動學(xué)模型的分析，動力學(xué)模型輸出為各軸的力矩τ，重點在于控制每個軸驅(qū)動力。運動學(xué)模型輸出為各個軸的位移角度θ，重點在于調(diào)控每個軸運動的角度。從上述分析可知，在機械臂研究領(lǐng)域，一定是運動學(xué)模型和動力學(xué)模型相互配合的，在控制方面使用運動學(xué)模型配合動力學(xué)模型完成相應(yīng)研究工作。目前大多機械手的控制器設(shè)計都是基于動力學(xué)模型進行設(shè)計與研究的，而現(xiàn)實的控制中往往存在諸多的不確定性，首先不存在完美的數(shù)學(xué)模型，其次系統(tǒng)擾動不可控較難建模，最后測量傳感器也存在誤差?；谏鲜鲈?，本文使用無模型自適應(yīng)控制算法(MFAC)作用到機械臂的被控對象中，進行相關(guān)的控制研究工作[1]。無模型自適應(yīng)控制(Model Free Adaptive Control)是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的非線性系統(tǒng)控制算法[2]，是一種利用在線數(shù)據(jù)信息的控制策略，該策略針對離散化的非線性系統(tǒng)使用了一種新的線性化方法。該方法是一種不基于被控對象模型信息的控制器，只利用在線數(shù)據(jù)信息將每個點進行線性化處理，得到相應(yīng)偽偏導(dǎo)數(shù)(PPD)、偽梯度(PG)、偽雅可比矩陣(PJM)，最后利用準則函數(shù)獲得控制量u (k)。通過軌跡跟蹤效果分析可知，該控制器控制效果比傳統(tǒng)的PID控制器更具有抗擾性和抗抖震等優(yōu)勢。

2 機械手模型的建立

運動學(xué)模型的目的在于利用笛卡爾空間的坐標系[3]，建立位姿和各關(guān)節(jié)之間的角度關(guān)系，由于運動學(xué)模型無法在控制方面起到核心作用，只是對各個軸的角度進行統(tǒng)一設(shè)計，將角度位置指令傳遞給各個運動軸。而控制系統(tǒng)主要目的是調(diào)節(jié)各個軸的驅(qū)動力矩，從而能夠獲得理想的軌跡跟蹤[4]，所以更關(guān)注動力學(xué)模型的建立。一個典型的二自由度的機械手如圖2所示，本文以二自由度的機械手為被控對象，進行控制器設(shè)計與分析，為后續(xù)多自由度機械臂軌跡規(guī)劃問題奠定基礎(chǔ)。

考慮一個多關(guān)節(jié)機器人，其動態(tài)性能可由二階非線性微分方程描述：

其中：q∈Rn表示關(guān)節(jié)角位移量；M (q ) ∈Rn×n表示機械臂的慣性矩陣；C (q ,q˙ )q˙∈Rn表示離心力和哥氏力；G(q)∈Rn表示重力項；表示摩擦力矩；τ∈Rn表示控制力矩；τd∈Rn表示外加擾動。

針對被控對象1式，選用單關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)和雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型如下。

單力臂機械手數(shù)學(xué)模型：

其中：dτ為摩擦模型。摩擦模型為庫侖摩擦和粘性摩擦模型，即：

其中：1k和k2為正的常數(shù)。

雙關(guān)節(jié)機械手動力學(xué)模型：

其中：

試驗組的包裝質(zhì)量、消毒質(zhì)量、收回及時度、供給及時度等護理質(zhì)量評分與對照組進行比較，對照組均低于試驗組，差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.05）。見表1。

上述依據(jù)機械臂動力學(xué)模型列寫出單力臂和雙關(guān)節(jié)機械手的動力學(xué)模型，是機械臂控制系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)。

3 無模型自適應(yīng)控制器

MFAC系統(tǒng)數(shù)據(jù)的處理與人工智能機器學(xué)習控制算法具有很大區(qū)別，不需要利用大量數(shù)據(jù)對模型進行訓(xùn)練，通過不斷改進神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層間的權(quán)值關(guān)系優(yōu)化自身策略，實時在線數(shù)據(jù)進行動態(tài)線性化的處理，并且具有不需要被控對象模型信息的特點。無模型自適應(yīng)控制器繼承了線性系統(tǒng)中自適應(yīng)控制器的研究成果，在每時每刻對非線性系統(tǒng)進行動態(tài)線性化，其對于系統(tǒng)未知模型和不確定的擾動項具有良好的魯棒性能，極大增強了控制系統(tǒng)對干擾或參數(shù)變化等的魯棒性(rubustness)。無模型自適應(yīng)控制包括非線性系統(tǒng)的動態(tài)線性化、參數(shù)估計、控制律3部分。非線性系統(tǒng)的動態(tài)線性化方法有緊格式(CFDL)、偏格式(PFDL)、全格式(FFDL)3種，對應(yīng)衍生出基于3種線性化的無模型自適應(yīng)控制方法[5]。

3.1 SISO非線性系統(tǒng)的CFDL-MFAC控制算法

考慮如下的離散時間SISO非線性系統(tǒng)：

其中：ny，un分別表示系統(tǒng)輸出y(k)和系統(tǒng)輸入u(k)的未知階數(shù)，f(…)表示非線性函數(shù)。對于SISO系統(tǒng)：

假設(shè) 1，系統(tǒng)式(5)對有界的可控輸入信號存在有界的期望輸出y*(k+1)；

假設(shè) 2，f(…)關(guān)于控制輸入u(k)的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的；

假設(shè)3，系統(tǒng)(5)是廣義Lipschitz的，即對任意k當 Δ（u k）≠0時，滿 足其 中，且b＞0。

定理 1：對非線性系統(tǒng)(5)，滿足以上三點假設(shè)，當 Δ（u k）≠0時，存在偽偏導(dǎo)數(shù)量φ(k)，可將系統(tǒng)(3-1)描述為如下的緊格式動態(tài)線性化模型：

SISO無模型自適應(yīng)控制方法的控制率可描述如下：

上列式中：μ，λ是權(quán)重因子。η，ρ是步長序列，且η∈(0，1)，ρ∈(0，1)。

3.2 MIMO非線性系統(tǒng)的CFDL-MFAC控制算法

其中：u (k ) ∈ Rm,y (k )∈Rm分別表示k時刻系統(tǒng)的輸入和輸出；ny、nu分別是兩個未知的正整數(shù)；是 未 知 的非線性向量值函數(shù)。

且對于任意時刻的k，Φ(k)是有界的。

MIMO無模型自適應(yīng)控制方法的控制率可描述如下：

4 機械臂軌跡跟蹤仿真

本文通過對單力臂和雙關(guān)節(jié)機械手控制系統(tǒng)的MATLAB仿真實驗驗證，以實現(xiàn)機械臂高精度軌跡跟蹤控制的目的[6]。機械臂控制原理如圖3所示。

為了更好地進行仿真驗證，本文針對同一被控對象分別采用PID控制器和MFAC控制器進行仿真控制效果對比。

4.1 PID控制系統(tǒng)的仿真設(shè)計

PID控制借助其容易理解、控制簡單、理論背景比較完善等優(yōu)點，是一種基于誤差消除誤差的控制策略[6]，當誤差產(chǎn)生后再利用控制量消除偏差。PID控制只需要進行簡單的數(shù)學(xué)計算后將積分、比例、微分的結(jié)果進行加權(quán)求和得到相應(yīng)的控制效果。PID控制原理框圖如圖4所示。

PID控制算法的雙軸機械臂正弦跟蹤Simulink仿真如圖5所示，將上述(4)式雙關(guān)節(jié)機械臂被控對象用S-function表示出來，其雙關(guān)節(jié)機械臂參數(shù)為：

示波器觀測軸1和軸2的輸出與期望之間的關(guān)系，軸1、軸2分別相對應(yīng)軌跡跟蹤輸出，如圖6、圖7所示，仿真環(huán)境：采樣時間為100 s，控制器參數(shù)目標位置指令均采用

4.2 無模型自適應(yīng)控制算法控制系統(tǒng)仿真設(shè)計

采用緊格式線性化無模型自適應(yīng)控制算法就上述式(2)單力臂機械手系統(tǒng)進行仿真[7]，其被控對象參數(shù)為控制器參數(shù)為ρ= 0.56，λ=0.02，η=1。基于無模型自適應(yīng)控制的單關(guān)節(jié)機械臂Simulink仿真框圖如圖8所示，軌跡跟蹤輸出如圖9所示。

采用緊格式線性無模型自適應(yīng)控制算法對上述式(4)雙關(guān)節(jié)機械手進行仿真，如圖10所示。相關(guān)機械臂參數(shù)已描述，此處不再贅述。其控制器參數(shù)兩個軸的軌跡跟蹤輸出分別如圖11和圖12所示。

利用仿真實驗對比分析，通過圖6、圖7發(fā)現(xiàn)PID控制二自由度機械臂在關(guān)節(jié)空間運動時，存在抖震現(xiàn)象，未能精確地跟蹤期望軌跡[8]；而通過圖9、圖11和圖12可以看出無模型自適應(yīng)控制器對于單關(guān)節(jié)和雙關(guān)機機械手均能有很好的跟蹤性能。表明該控制器能有效提高軌跡跟蹤的精度，運行軌跡平穩(wěn)，消除系統(tǒng)抖震，收斂更快，魯棒性較強，控制品質(zhì)相比于傳統(tǒng)PID有較為明顯的改善[9]。

5 總 結(jié)

本文在研究過程中基于拉格朗日方法分別針對單軸和雙軸機械手系統(tǒng)建立其動力學(xué)模型，并分別介紹了基于緊格式的單輸入、單輸出和多輸入、多輸出的無模型自適應(yīng)控制方法。在MATLAB/Simulink中分別進行了無模型自適應(yīng)控制器和PID控制器的軌跡跟蹤仿真工作，從控制效果可以看出，無模型自適應(yīng)控制器能夠使軌跡運行平穩(wěn)，效果優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制，說明該控制策略對于控制機械臂軌跡跟蹤問題具有良好的效果?！?/p>