廣州市南沙麒麟中學(xué)(511455) 武志容

新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出高中數(shù)學(xué)教學(xué)由以前的三維目標(biāo): 知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀上升到六大核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模,從學(xué)生個(gè)人的技能提升到個(gè)體的全面發(fā)展,從具體的操作步驟到高度的概括提煉,是從量變到質(zhì)變的一個(gè)飛躍,也從更高程度上要求我們?cè)谡麄€(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要高度的重視和不斷的滲透這些核心素養(yǎng),只有掌握好了它們才能真正的學(xué)好高中數(shù)學(xué),才能在各種考試中立于不敗之地.新教材新高考倡導(dǎo)的新題型很多時(shí)候也需要我們有很好的直觀想象能力作為一個(gè)突破點(diǎn).

直觀想象可以說(shuō)是這六大核心素養(yǎng)中最容易理解和接受的,但正如武術(shù)中的太極一樣,看似簡(jiǎn)單卻不易掌握,只有真正的武林高手才能做到游刃有余、以柔克剛、化腐朽為神奇.眾所周知幾何問(wèn)題是直觀想象的最好體現(xiàn),除此之外直觀想象在非幾何問(wèn)題中也有非常多的運(yùn)用,我們結(jié)合近幾年的高考題重點(diǎn)考察非幾何問(wèn)題.

一、有圖有形,直觀+想象

例1(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第5 題)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位°C)的關(guān)系,在20 個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖:

由此散點(diǎn)圖,在10°C至40°C之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( )

A.=ax+bB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

解題分析這道圖形題非常的直觀,但不同層次的同學(xué)看到這道題的感覺(jué)是不一樣的: 低層次的同學(xué)會(huì)馬上錯(cuò)選A,因?yàn)榫突貧w方程來(lái)講線性回歸方程相對(duì)比較熟悉,平時(shí)練習(xí)也較多;中層的同學(xué)可能關(guān)注點(diǎn)是在這20 個(gè)數(shù)據(jù)上,雖然給了坐標(biāo)但沒(méi)有給出具體的對(duì)應(yīng)值,只能估算,但20 個(gè)數(shù)據(jù)估算起來(lái)也很困難,況且這里的a,b都未知,所以最后會(huì)陷于一種比較困惑的狀態(tài);稍好的同學(xué)會(huì)知道直接看圖再加一點(diǎn)自己的想象,不需要計(jì)算,只需根據(jù)圖形的大致形態(tài),再結(jié)合各個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn),直接找出與之吻合度較好的對(duì)數(shù)函數(shù)模型,直接看出答案D,既快又準(zhǔn).

像這種有實(shí)際應(yīng)用背景的題目是近幾年高考的熱點(diǎn)題型,它把數(shù)學(xué)融入實(shí)際生活中,讓我們了解數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用情況,并深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)是一門(mén)非常有用的學(xué)科,它不同于一些純數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)題,往往會(huì)配給一些圖形,給人比較新穎、有趣的感覺(jué),但題目本身又不會(huì)很難,計(jì)算、技巧、方法其實(shí)要求都不高,以估算、想象、聯(lián)想為主,它更側(cè)重的是思維的靈活,大局意識(shí)、整體把握,不拘泥于局部的某一個(gè)細(xì)節(jié),有一定的創(chuàng)新性,更符合當(dāng)下我們培養(yǎng)人才的目標(biāo)和方向.

與之類似的還有去年的網(wǎng)紅高考題(維納斯的身高問(wèn)題).

例2 (2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第4 題)古希臘時(shí)期, 人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是≈0.618, 稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105 cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm,則其身高可能是( )

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm

解題分析同樣這道題從直觀上來(lái)看是可以估算的.從一個(gè)黃金比例出發(fā), 如頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比為求出咽喉至肚臍的長(zhǎng)度大致為≈0.618?x ≈42,總身高約為26+42+105=173cm,比較接近的就是答案C.計(jì)算并不復(fù)雜,可以非常快速精準(zhǔn)的找到答案.但很多同學(xué)卻陷于精確計(jì)算里面了,咽喉與脖子下端有一個(gè)長(zhǎng)度,肚臍到腿也有一個(gè)長(zhǎng)度又該怎么算呢?其實(shí)此題的目的就是考察學(xué)生的直觀想象+估算,最后的問(wèn)題也是“其身高可能是”,說(shuō)明不需要精確計(jì)算.另外從整個(gè)人體來(lái)看那些小長(zhǎng)度可以忽略不計(jì)或者憑我們的直觀給它一個(gè)估值,而從選項(xiàng)來(lái)看各個(gè)長(zhǎng)度差距也比較大,10cm 的誤差范圍說(shuō)明也不要糾結(jié)于那些不可知的小長(zhǎng)度,所以說(shuō)直觀想象+估算用的好,完全可以起到事半功倍的效果.

二、無(wú)圖有形,想象+逆向

例3(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ-16ρsinθ+3=0.

(1) 當(dāng)k=1 時(shí),C1是什么曲線?

(2) 當(dāng)k等于4 時(shí),求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

解題分析(1)略.(2)主要是參數(shù)方程

的化簡(jiǎn)比較困難.可以說(shuō)這是一道沒(méi)有圖的題目,但有比較工整的“形”—參數(shù)方程關(guān)于方冪通常我們做的比較多的變形是低次往高次上化,如

特別是sin4t=(sin2t)2,cos4t=(cos2t)2.

這是很多同學(xué)都能想到的,但反過(guò)來(lái)

很多同學(xué)可能就想不到,所以這道題做不下去基本上就是卡在這個(gè)點(diǎn)上.當(dāng)出現(xiàn)問(wèn)題的時(shí)候不妨多觀察一下這個(gè)式子的特點(diǎn),我們說(shuō)美的式子也是一種圖形,并非有圖才直觀,無(wú)圖想象也要直觀.數(shù)形結(jié)合、定性分析已經(jīng)成為高考試題的重要組成部分.反復(fù)觀察下面的式子:

想象一下它們之間的關(guān)系

不難想到

所以

這兩個(gè)幾乎同樣的式子顯示出的規(guī)律其實(shí)非常明顯,多看幾遍不難發(fā)現(xiàn)它們之間主要存在平方關(guān)系,平方逆運(yùn)算就是開(kāi)方.題目的用意就是要我們將四次方式反過(guò)來(lái)化為二次方式,這里就充分體現(xiàn)了我們老師在講新課的時(shí)候有沒(méi)有著重滲透平方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算這樣的一種數(shù)學(xué)思想方法.

逆向思維是我們想象的一個(gè)方向,也通常是我們創(chuàng)新能力培養(yǎng)的一個(gè)重要途徑,如加法與減法、乘法與除法、乘方與開(kāi)方、導(dǎo)數(shù)與積分、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、函數(shù)與反函數(shù)等等,逆向思維用的好就可以很好的舉一反三、觸類旁通,更好的加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解,更好的把握數(shù)量關(guān)系和圖形特點(diǎn)的本質(zhì).該題目的是通過(guò)對(duì)式子所呈現(xiàn)出來(lái)的“形”進(jìn)行直觀想象來(lái)觸發(fā)學(xué)生的逆向思維進(jìn)而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新能力的提升,這種變形變式能力也是數(shù)學(xué)常用的方法技巧之一,此題與2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第22 題有異曲同工之處:

例4(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線?的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+

(1)求C和?的直角坐標(biāo)方程;

(2) 求C上的點(diǎn)到?距離的最小值.

解題分析這道題的式子也是一個(gè)非常好的“形”,由這個(gè)式子可以聯(lián)想到很多數(shù)學(xué)公式,如: 平方差公式、完全平方公式、三角函數(shù)公式等,所以這道題也有很多巧妙的解法,如:

或作三角代換t=用三角萬(wàn)能公式:

再代入三角函數(shù)的公式sin2α+cos2α=1 等.

但如此精巧的解法很多中下層同學(xué)很難看出來(lái)或根本想不到, 更別說(shuō)是在緊張的高考考場(chǎng)上了.此時(shí)一定不能盲目的去做, 而是要停下來(lái)多觀察式子的特點(diǎn), 直觀感覺(jué)找準(zhǔn)切入點(diǎn)—想辦法先換算出t, 但兩個(gè)式子好像都不太好求出t, 其實(shí)仔細(xì)觀察后不難發(fā)現(xiàn)上式比較容易先化出然后將t2整體代入下式就可以換出t,再利用t與t2的關(guān)系消去參數(shù)t,從而得到x,y的直角坐標(biāo)方程.

這里學(xué)生只要明白一個(gè)核心觀念就可以了: 知道了t2也就等價(jià)于知道了t,再把它當(dāng)做已知量繼續(xù)代入其他式子就一定能換出t.有了這個(gè)“定海神針”作為支撐,哪怕中間步驟繁瑣一點(diǎn),還是有足夠的信念堅(jiān)持能做出來(lái)的,相比較想不出巧妙解法而不知從何下手,我覺(jué)得這種做法更直觀更切實(shí)有效.所以說(shuō)很多時(shí)候我們看待數(shù)學(xué)問(wèn)題要有整體意識(shí)、逆向思維,要更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思想方法的把握,打開(kāi)我們僵化的思維、開(kāi)闊我們的視野,思維的導(dǎo)向往往比方法、技巧更重要.

三、無(wú)圖無(wú)形,直觀+猜想

例5(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷第21 題)已知函數(shù)f(x) =ex+ax2-x,

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=1 時(shí),f(x)≥求a的取值范圍.

解題分析這道題既沒(méi)有圖也沒(méi)有形式工整的式子—“形”,但該題大部分同學(xué)都知道基本方法是利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)解決函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題,沿著這個(gè)思路一步步往下做看能發(fā)現(xiàn)什么.在做第一小問(wèn)時(shí)

直接觀察可以得出該導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)(因?yàn)閥= ex和y=2x-1 都是增函數(shù)),但找出方程的根有點(diǎn)困難.令

這是一個(gè)超越方程, 在中學(xué)范圍內(nèi)沒(méi)有確定的方法求解, 要找出它的根, 就只能靠我們的經(jīng)驗(yàn)或直觀+猜想了,如果把x=0直接代入會(huì)發(fā)現(xiàn)方程是成立的,所以馬上發(fā)現(xiàn)0 就是它的一個(gè)根, 再結(jié)合單調(diào)遞增的性質(zhì)可以大致想象出其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex+2x-1,的圖象如上圖所示.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖像特征,原來(lái)的函數(shù)f(x) = ex+x2-x的單調(diào)性就很清楚了: 當(dāng)x ＞0 時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x ＜0 時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減.

做第二問(wèn)時(shí)同樣也需要直觀+ 猜想來(lái)助攻.首先將式子分類, 構(gòu)建出新的函數(shù): 當(dāng)x= 0 時(shí), 待證不等式恒成立,a ∈R; 當(dāng)x ＞0 時(shí),a ≥恒成立, 令h(x) =, 所 以h′(x) = 令h′(x) = 0, 其 中g(shù)(x) =- x -1 = 0 的根也需要憑我們的直觀觀察出來(lái),嘗試把x=0 代入進(jìn)去發(fā)現(xiàn)仍然是成立的！(屢試不爽)說(shuō)明x= 0 是它的一個(gè)根,還有沒(méi)有其他的根? 這個(gè)時(shí)候就需要用單調(diào)性來(lái)保證根的唯一性,所以想到需要再進(jìn)行求導(dǎo)來(lái)判斷.

令g′(x) = ex - x -1, 直觀發(fā)現(xiàn)g′(0) = 0;再次求導(dǎo)g′′(x) =ex -1,當(dāng)x ＞0 時(shí),g′′(x)＞0,說(shuō)明g′(x) 單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x ＞0時(shí),g′(x)＞g′(0) = 0, 說(shuō)明g(x)也是單調(diào)遞增, 因此g(x)＞g(0) = 0, 因此對(duì)于h′(x) =只要考察s(x) = 2-x這部分的正負(fù)情況就可以了, 再次借助于它的圖象可知: 在(0,2)內(nèi),h(x)單調(diào)遞增; 在(2,+∞)內(nèi),h(x)單調(diào)遞減, 所以h(x)max=h(2)=從而a ≥

整道題的關(guān)鍵點(diǎn)其實(shí)還是幾個(gè)超越方程的求根問(wèn)題,好像超過(guò)我們中學(xué)數(shù)學(xué)的范疇,但實(shí)際上憑我們的解題經(jīng)驗(yàn)和對(duì)數(shù)學(xué)的直觀想象一般都能直接看出方程的根,如果不具備這樣的核心素養(yǎng),一味的鉆進(jìn)去求解計(jì)算往往最后就做不下去.類似的問(wèn)題還有下面的這些導(dǎo)數(shù)題:

題目1(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20 題)已知函數(shù),f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．證明:

(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);

(2)f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn)．

題目2(2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:＜a-2.

再如下面的向量題:

例6(2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第14 題)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=____.

解題分析該題看上去跟圖形沒(méi)有任何關(guān)系, 但可以根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)直觀想象出圖形來(lái).根據(jù)|a|=|b|=1,|a+b|= 1 可以想象出一個(gè)等邊三角形, 再利用向量三角形運(yùn)算規(guī)則馬上可以得出|a-b|就是鈍角三角形中120°所對(duì)的邊長(zhǎng)能想象出圖形出來(lái)這道題計(jì)算起來(lái)也就非常簡(jiǎn)單.

縱觀近幾年的高考題不難發(fā)現(xiàn)直觀想象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個(gè)趨勢(shì), 無(wú)論是數(shù)還是形都要求越來(lái)越高.有圖直觀好想象,無(wú)圖想象也要直觀,再利用數(shù)形結(jié)合、定性分析、全局意識(shí)、整體把握、逆向思維、···,往往能達(dá)到攻無(wú)不克,無(wú)堅(jiān)不摧的效果！事實(shí)上我們現(xiàn)在的科研需要有方法有技巧,更需要?jiǎng)?chuàng)新,直觀感受往往是創(chuàng)新的起點(diǎn),再加上豐富的想象和大膽的猜想,最后用我們的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)計(jì)算等方法技巧來(lái)加以核實(shí)和驗(yàn)證從而成就我們的偉大創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn).所以說(shuō)沒(méi)有很好的直觀想象就很難有創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn),也就不會(huì)有我們今天的科技進(jìn)步！