張 正

1.吉首大學信息科學與工程學院，吉首，4160002.吉首大學農(nóng)礦裝備研發(fā)中心，吉首，416000

0 引言

工程實踐中參數(shù)化結(jié)構(gòu)的特性分析[1-2]，比如結(jié)構(gòu)響應的靈敏度特性分析[3-4]是一個重要的研究領(lǐng)域。參數(shù)化結(jié)構(gòu)的特性分析是建立在參數(shù)域與響應集合映射關(guān)系之上的，其響應關(guān)于參數(shù)的靈敏度分析需要計算求解結(jié)構(gòu)響應的有限元向量解。工程中的結(jié)構(gòu)一般較為復雜，離散之后的系統(tǒng)也較為龐大，故而針對結(jié)構(gòu)響應的單次有限元分析耗時較長，尤其對參數(shù)域的靈敏度極值這類需要反復多次計算求解結(jié)構(gòu)響應有限元解的問題來說，分析耗時過長，工程上往往難以接受。

結(jié)構(gòu)響應的靈敏度極值分析首先需要分析響應關(guān)于參數(shù)點的靈敏度計算式，然后在此基礎(chǔ)上將其推廣至全參數(shù)域范圍實施遍歷，進而獲得相應的靈敏度極值模型。減基法(RBM)[5-7]能在線高效計算諸多問題的向量解，它在結(jié)構(gòu)響應分析方面計算效率較高，同時在合適的減基空間中計算精度較高[8-10]，故而將減基法直接用于結(jié)構(gòu)響應的靈敏度分析以及靈敏度極值求解等問題具有工程可行性，而這方面的研究工作尚未見諸文獻。

本文研究結(jié)構(gòu)參數(shù)域與響應集合之間的減基映射特征，建立結(jié)構(gòu)參數(shù)點的靈敏度減基計算式，給出了結(jié)構(gòu)的兩個靈敏度減基極值模型，并通過結(jié)構(gòu)算例進行驗證。

1 減基靈敏度分析

參數(shù)化結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應的有限元平衡方程式為

(1)

式中，μ為結(jié)構(gòu)參數(shù)的向量形式;Ω為結(jié)構(gòu)的參數(shù)域;m為參數(shù)域的維度；K(μ)為結(jié)構(gòu)的參數(shù)化剛度矩陣;u(μ)為結(jié)構(gòu)參數(shù)化的位移響應向量;F為載荷向量。

KN(μ)αN(μ)=FN

(2)

(3)

j=1,2,…,p

式中，KN(μ)為結(jié)構(gòu)的N階減基剛度矩陣;FN為與參數(shù)無關(guān)的N階減基載荷向量;αN(μ)為需求解的N階權(quán)系數(shù)向量；σj(μ)為受參數(shù)影響的標量函數(shù);Kj為結(jié)構(gòu)分離參數(shù)獲得的n階剛度矩陣，p為其剛度矩陣分離數(shù)目;BN,j、FN分別為不受參數(shù)影響的N階矩陣和向量。

綜合減基空間中的基矩陣ZN，可以得到結(jié)構(gòu)在減基空間中的減基位移響應：

uN(μ)=ZNαN(μ)

(4)

離線處理階段將式(3)中的BN,j、FN與ZN予以計算并存儲；在線處理階段則依式(3)、式(2)、式(4)的順序進行調(diào)用并計算。

取減基位移響應向量uN(μ)中的一個節(jié)點響應作為研究對象，其位移響應記為uN(μ)。在N維減基空間UN中，結(jié)構(gòu)參數(shù)向量μ與減基位移響應uN(μ)形成一個連續(xù)映射關(guān)系：

μuNμ∈Ω

(5)

考慮到結(jié)構(gòu)位移響應隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化而變化，取參數(shù)向量μ的分量，即參數(shù)分量μi(i=1,2，…,m)，研究其對結(jié)構(gòu)位移響應的影響，可以得到減基位移響應uN(μ)關(guān)于參數(shù)分量μi的變化率為

(6)

(7)

可以看出，式(7)為減基靈敏度的單步差分形式。由于結(jié)構(gòu)參數(shù)向量μ與減基位移響應uN(μ)之間形成的連續(xù)映射關(guān)系是一個黑箱函數(shù)，沒有顯性的表達式，需要利用減基平衡方程式實施點對點的計算，故而減基靈敏度的單步差分式(7)容易造成結(jié)構(gòu)數(shù)值計算的奇異性。為了保證結(jié)構(gòu)數(shù)值計算的穩(wěn)定性，需將單步差分形式轉(zhuǎn)變?yōu)閮刹讲罘中问?，因此參?shù)化結(jié)構(gòu)的減基靈敏度計算式可變?yōu)?/p>

(8)

2 減基極值模型

對于參數(shù)化結(jié)構(gòu)的分析問題，在全參數(shù)域范圍內(nèi)求解結(jié)構(gòu)節(jié)點響應關(guān)于參數(shù)分量μi(i=1,2,…,m)的靈敏度極值才具有實際的工程意義。由式(8)推導出在結(jié)構(gòu)參數(shù)點μ處，節(jié)點響應關(guān)于參數(shù)分量μi的減基靈敏度計算式，如將其在全參數(shù)域范圍內(nèi)遍歷搜尋極值，即可快速獲得參數(shù)分量μi的全域靈敏度極值。這是一個減基的工程優(yōu)化問題。

全參數(shù)域上，節(jié)點響應關(guān)于參數(shù)分量μi的靈敏度極值模型的減基形式可表示如下：

(9)

對于減基的工程優(yōu)化問題(式(9))，只能快速求解節(jié)點響應關(guān)于參數(shù)分量μi的全域靈敏度極值，而不能同時分析全部參數(shù)分量的全域靈敏度極值。在全參數(shù)域上，同時分析全部參數(shù)分量的靈敏度極值是一個工程上的向量優(yōu)化問題，即多目標優(yōu)化問題。

綜合式(8)描述的減基靈敏度計算式，節(jié)點響應關(guān)于全部參數(shù)分量的全域靈敏度極值模型的減基形式可表示如下：

(10)

式(10)所示的多目標優(yōu)化問題沒有具體的工程意義上的優(yōu)化解，只有Pareto最優(yōu)解[11]，即會有一個Pareto前沿以供工程上的參考與決策。式(9)和式(10)所描述的兩個工程極值模型由于來源于減基空間下的減基映射關(guān)系及其減基列式，因此是兩個具有高效計算特征的工程優(yōu)化問題，并且它們的離線存儲與在線調(diào)用等處理過程與減基法的計算過程是一致的。

3 結(jié)構(gòu)數(shù)值算例

研究圖1所示的參數(shù)化薄平板結(jié)構(gòu)。l1=0.5 m，l2=0.25 m，厚度為0.02 m，載荷f=380 kN，結(jié)構(gòu)左端為固定端約束。結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)為彈性模量E(GPa)和泊松比υ，將材料參數(shù)記為向量形式μ=(μ1,μ2)T=(E,υ)T∈Ω，其中Ω為結(jié)構(gòu)的參數(shù)域(110,220)×(0.15,0.3)，它的維度m=2。將結(jié)構(gòu)用有限元離散成為具有n個自由度(n=3048)的系統(tǒng)，取圖1中節(jié)點O處的豎向位移響應進行觀測和研究。在有限元的求解環(huán)境下，O點處豎向位移響應關(guān)于彈性模量E的靈敏度記為|u(μ1=E)(μ)|，而它關(guān)于泊松比υ的靈敏度則記為|u(μ2=υ)(μ)|。該結(jié)構(gòu)算例的數(shù)值模擬在MATLAB軟件環(huán)境下實施，計算機采用i5-7400CPU、8G內(nèi)存以及64位操作系統(tǒng)。

圖1 薄平板結(jié)構(gòu)算例Fig.1 An example of thin plate structure

(11)

同樣的過程，依據(jù)式(9)獲得利用減基法分析響應關(guān)于泊松比υ的靈敏度極值模型：

(12)

類似的過程，依據(jù)式(10)獲得同時分析彈性模量E和泊松比υ靈敏度的減基極值模型:

(13)

針對結(jié)構(gòu)算例的靈敏度極值模型(式(11)和式(12))，將數(shù)值計算中的有限微元分別選為Δ(μ1)=Δ(E)=1.1×10-3與Δ(μ2)=Δ(υ)=1.5×10-5，并利用遺傳算法[13]進行在線計算。設(shè)遺傳算法的種群數(shù)為70，最大尋優(yōu)代數(shù)為60，并使其隨機發(fā)生器的狀態(tài)保持一致。

針對式(11)描述的減基極值模型，利用遺傳算法搜索響應關(guān)于彈性模量E的靈敏度極值為2.748 09×10-5m/GPa，其尋優(yōu)過程如圖2所示。利用遺傳算法結(jié)合有限元搜索響應關(guān)于彈性模量E的靈敏度極值為2.747 49×10-5m/GPa，其尋優(yōu)過程如圖3所示。

圖2 減基法分析響應彈性模量靈敏度極值Fig.2 The sensitivity extremum of elasticity modulusof response by RBM

圖3 有限元分析響應彈性模量靈敏度極值Fig.3 The sensitivity extremum of elasticity modulusof response by FE

針對式(12)描述的減基極值模型，利用遺傳算法搜索響應關(guān)于泊松比υ的靈敏度極值為0.311 221 mm，其尋優(yōu)過程如圖4所示。利用遺傳算法結(jié)合有限元搜索響應關(guān)于泊松比υ的靈敏度極值為0.308 565 mm，其尋優(yōu)過程如圖5所示。

圖4 減基法分析響應泊松比靈敏度極值Fig.4 The sensitivity extremum of Poisson’s ratioof response by RBM

圖5 有限元分析響應泊松比靈敏度極值Fig.5 The sensitivity extremum of Poisson’s ratioof response by FE

將有限元解作為標準解，彈性模量E靈敏度極值的減基算法相對誤差為2.2×10-4，而泊松比υ靈敏度極值的減基算法相對誤差則為8.6×10-3，可以看出，減基法在13維的減基空間中就具有極高的在線計算精確度。另外，同一臺計算機上，利用減基法在線求解彈性模量E和泊松比υ靈敏度極值的計算時間皆約為2.5 s，而采用有限元在線求解彈性模量E和泊松比υ靈敏度極值的計算時間皆約為144.5 s，可以看出，減基法具有相對極佳的在線計算時效性。

針對結(jié)構(gòu)算例的全參數(shù)靈敏度極值模型(式(13))，利用多目標遺傳算法[14]進行在線計算。將遺傳算法的種群數(shù)量尺寸設(shè)置為60，最大尋優(yōu)代數(shù)設(shè)置為60，并將其Pareto 前沿的群體比例設(shè)置為0.7。針對式(13)描述的減基極值模型，利用遺傳算法尋優(yōu)獲得的Pareto 前沿如圖6所示。作為比較，利用遺傳算法結(jié)合有限元極值模型獲得的Pareto 前沿如圖7所示。由圖6與圖7所示的搜索結(jié)果可以看出，利用減基法所獲得的Pareto 前沿與有限元所獲得的Pareto 前沿幾乎是一致的，其中的細微差別是由減基計算中的數(shù)值誤差所致。另外，同一臺計算機上，遺傳算法在線求解減基極值模型所耗費的時間約為3.4 s，而遺傳算法在線求解有限元極值模型所花費的時間約為250.5 s，減基法具有相對極佳的計算時效性。

圖6 減基法分析結(jié)構(gòu)響應靈敏度極值的Pareto前沿Fig.6 The Pareto front of sensitivity extremum ofstructural response by RBM

4 結(jié)語

本文提出了一種快速分析參數(shù)化結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應特性的減基方法。對于參數(shù)化結(jié)構(gòu),直接利用減基平衡方程作為映射關(guān)系進行響應特性分析,同時通過兩步差分法得到了響應關(guān)于參數(shù)點的靈敏度減基計算式，進而獲得了全參數(shù)域范圍上的靈敏度減基極值模型以及全參數(shù)的靈敏度減基極值模型。結(jié)構(gòu)算例的數(shù)值計算結(jié)果表明，相較于有限元法，該方法能夠在確保極高計算精度的條件下獲得極佳的計算效率，具有工程上的可行性和有效性。文中所提的方法為一般性的結(jié)構(gòu)靈敏度分析方法，在具體的工程實踐中可以推廣應用于復雜裝備的響應特性分析工作。