王佳 劉榮明 王佳超 吳慎將

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院, 西安 710021)

本文提出一種基于雙圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量方法, 其測量原理是徑向剪切干涉儀所形成的莫爾條紋不僅由二維平面內(nèi)位移決定, 軸向位移會在+1 和–1 級莫爾條紋之間產(chǎn)生一個特定的相移.首先, 基于標量衍射理論對雙圓光柵徑向剪切干涉儀的+1 和–1 級莫爾條紋強度分布進行推導(dǎo), 建立了三維位移量與莫爾條紋強度分布的精確解析關(guān)系; 其次, 在頻譜分析的基礎(chǔ)上, 利用半圓環(huán)濾波器進行空間濾波, 實現(xiàn)+1 和–1 級莫爾條紋的同時成像; 然后, 提出了從莫爾條紋圖中定量提取三維位移的算法, 并通過數(shù)值模擬進行驗證; 最后, 實驗結(jié)果驗證了該方法測量平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為4.8 × 10–3 mm, 平均誤差為2.0 ×10–4 mm, 軸向位移的最大絕對誤差為0.25 mm, 平均誤差為8.6 × 10–3 mm.該方法具有裝置簡單、測量精度高、非接觸、瞬時測量等特點, 可實現(xiàn)三維位移的同時測量.

1 引 言

兩個周期性的光柵重疊可以產(chǎn)生莫爾條紋, 這種莫爾現(xiàn)象在表面形貌、位移、應(yīng)變、振動和折射率等光學(xué)測量領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1?8].在位移測量方面, 莫爾條紋技術(shù)具有精度高、裝置簡單、測量范圍大等特點, 已廣泛應(yīng)用于二維位移測量[9?11].利用直線光柵的莫爾條紋可以測量二維平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角和一維位移[12].隨著精密測量要求和光柵制造精度的提高, 利用圓光柵莫爾條紋的二維位移測量得到了較深入的研究和應(yīng)用[13?16].利用傅里葉變換算法、圖像分析算法或基于強度的計算方法可以從莫爾條紋中定量提取出位移信息[17,18].但是, 它們僅適用于二維平面內(nèi)位移的測量, 不能實現(xiàn)包含軸向位移的三維位移量測量.

基于幾何疊加理論的研究表明, 圓光柵的莫爾條紋對平面內(nèi)位移以及軸向位移均敏感[19,20].當(dāng)兩個光柵之間存在軸向距離時, 從不同角度觀察到的莫爾條紋圖案不同.基于該原理的三維位移測量要求采集不同角度的莫爾條紋圖像, 在測量過程中需要移動探測器或使用多個探測器, 探測器位置會引入新誤差[20].除此之外, 沒有文獻報道利用圓光柵莫爾條紋進行三維位移測量.

對兩個完全相同的圓光柵進行徑向剪切干涉的研究表明, 每個衍射級次的莫爾條紋與光柵圓心間的三維位移有關(guān)[21].特別地, +1 和–1 級莫爾條紋之間存在一個依賴于兩個光柵之間軸向距離的相移量.如果同時對+1 和–1 級莫爾條紋進行成像,則可實現(xiàn)三維位移的測量.然而當(dāng)平面內(nèi)位移量都為0 時, 具有兩個完全相同圓光柵的徑向剪切干涉儀不會產(chǎn)生莫爾條紋, 無法實現(xiàn)三維位移的測量.本文提出利用兩個參數(shù)不同的圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量技術(shù).建立并分析了測量系統(tǒng), 得到三維位移與莫爾條紋強度的精確解析關(guān)系, 并提出了三維位移量提取算法.數(shù)值仿真和實驗驗證了該方法的可行性和精度.

2 測量原理

雙圓光柵徑向剪切干涉儀的光路如圖1 所示.G1 和G2 是兩個Ronchi 同心圓光柵, 其占空比為1, 周期分別為a1和a2.兩個光柵平面相互平行并垂直于光軸放置.光柵G1 的圓心固定在z軸上,光柵G2 與被測位移物體相連, 被測物體的三維位移量決定了G2 圓心的空間位置.兩個光柵圓心在(x,y) 平面內(nèi)的位移如圖2 所示, 其中?x和?y分別表示x軸和y軸位移, 軸向位移由?z表示.L1和L2 為傅里葉變換透鏡, 與空間濾波器F 組成4-f系統(tǒng), 用于對不同衍射級次的莫爾條紋圖像進行濾波和成像.

圖1 雙圓光柵徑向剪切干涉儀光路圖Fig.1.Schematic diagram of radial shearing interferometer with double circular gratings.

圖2 兩個光柵圓心在 ( x,y) 平面內(nèi)的二維位移Fig.2.The geometric relation of in-plane displacements for two gratings.

在極坐標系 (r,φ) 中, 圓心在z軸上的光柵G1 的透過率函數(shù)g1(r,φ) 可以表示為

其中m表示光柵G1 的衍射級次,為傅里葉展開系數(shù).準直單色平行光入射到G1 上,則G1 后表面的光場分布為

根據(jù)標量衍射理論, 入射光經(jīng)過G1 后的傳播可以由惠更斯-菲涅爾-基爾霍夫積分表示[22], 傳播軸向距離?z后光柵G2 前表面的光場分布為

其中M為一個常數(shù).

由于G2 的圓心在x和y方向的位移為?x和?y, 如圖2 所示, 則G2 上的點 (r2,φ2) 在 (r,φ) 坐標系中的位置為

由于?r →0 , 因此r2=r ??rcos(φ ?θ) , 則光柵G2 的透過率函數(shù)可以表示為

其中n表示光柵G2 的衍射級次, 傅里葉展開系數(shù)Cn=(1/2)sinc(nπ/2), 并且

因此, 光柵G2 后表面的光場分布為

圖3 用幾何方法描述了入射光經(jīng)過兩個圓光柵的衍射過程.由于圓光柵柵線曲率的中心對稱特性, 衍射光傳播方向也呈中心對稱分布.經(jīng)過光柵G1 后, +1 級衍射光發(fā)散傳播, 而–1 級衍射光匯聚傳播, 因此相同衍射級次的光的傳播方向不再相同.根據(jù)角譜理論, 傳播方向的相同光具有相同的頻譜[22].因此, 同一級頻譜中包含了不同衍射級次的光.經(jīng)過雙圓光柵后,m+n=+1 和m+n=?1 級衍射光都包含在一級頻譜中, 因此不能利用傳統(tǒng)的空間濾波方法對+1 和–1 級衍射光分別進行成像.

圖3 雙圓光柵的衍射過程Fig.3.Geometrical schematic of diffraction process by double circular gratings.

很顯然, 透射率為中心對稱徑向周期函數(shù)的同心圓光柵的頻譜是中心對稱分布的.如圖4(a)所示, 經(jīng)過雙圓光柵的衍射光頻譜由一系列同心圓組成, 相鄰頻譜的間隔為 1 /a1(a1≈a2).此外, 某一個點的 (m+n) 級衍射頻譜與其中心對稱點的?(m+n)級衍射頻譜處于相同的位置.也就是說,如果將一級頻譜沿y=0 分為上、下兩個部分, 則成像面將相應(yīng)地被劃分為y>0 和y<0 兩個部分.如果使用圖4(b)中的半圓環(huán)形空間濾波器使φ ∈[0,π) 部 分的一級光譜通過, 則成像面上y >0部分為m+n=+1 級衍射光成像,y<0 部分為m+n=?1 級衍射光.相反, 如果使φ∈[π,2π) 部分的一級光譜通過, 則成像面上y>0 部分為m+n=?1 級 衍射光成像,y<0 部分為m+n=+1 級衍射光成像.因此, 可以在成像面的上、下兩部分分別得到+1 和–1 級莫爾條紋圖像.

圖4 (a)雙圓光柵的頻譜分布; (b)實驗中使用的半圓環(huán)形濾波器Fig.4.(a) Spectrum distribution of double circular gratings;(b) the semicircular spatial filter used in experiment.

+1 和–1 級莫爾條紋是由m+n=+1 和m+n=?1 級衍射光成像的結(jié)果.當(dāng)|m|>1 和|n|>1時, 傅里葉展開系數(shù)非常小, 因此只需要保留其中(m=1,n=0),(m=0,n=1) 和(m=?1,n=0),(m=0,n=?1)這兩項.因此, 成像面光場分布可以表示為

莫爾條紋強度分布表示為

(9)式和(10)式表明: +1 和–1 級莫爾條紋不僅由平面內(nèi)位移量 (?r,θ) 決 定, 也受到軸向位移?z的影響.?z在+1 和–1 級莫爾條紋之間引入一個相移, 因此會導(dǎo)致莫爾條紋在y=0 處出現(xiàn)突變.

當(dāng)探測光源為He-Ne 激光(波長為632.8 nm),圓光柵G1 和G2 的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm 時, 通過(9)式和(10)式進行數(shù)值模擬得到的莫爾條紋如圖5 所示.在相同的參數(shù)下實驗得到的莫爾條紋如圖6 所示.可以清楚地看出,數(shù)值模擬與實驗結(jié)果完全吻合, 證明了理論推導(dǎo)的正確性.

圖5 數(shù)值模擬得到的不同位移量的莫爾條紋Fig.5.Moiré patterns with different 3D displacements obtained by numerical simulation.

3 位移信息提取

3.1 提取算法

從莫爾條紋圖中定量提取三維位移信息的方法包括傅里葉變換算法、圖像分析算法或基于強度的計算方法[17,18,20].為了方便處理, 一般以莫爾條紋的中心為原點, 將直角坐標系下的莫爾條紋轉(zhuǎn)換到極坐標系中進行分析.

由(9)式和(10)式可以得到+1 或–1 級莫爾條紋的亮條紋中心坐標位置(以下稱為特征點)為

其中當(dāng)y>0 時符號為“–”, 當(dāng)y<0 時符號為“+”,K為未知整數(shù).

在+1 級或–1 級莫爾條紋圖中同一亮條紋上的特征點P+1={(ri,φi),i=1,2,3,···}或P?1={(ri,φi), i=1,2,3,···}滿足關(guān)系式:

圖6 實驗得到的不同位移量的莫爾條紋Fig.6.Moiré patterns with different 3D displacements obtained by experiment.

其中 (ri,φi) 和 (ri?1,φi?1) 是+1 級或–1級中的兩個特征點位置.利用三個特征點的位置, 可以得到以下線性方程組:

因此, 平面內(nèi)位移?x和?y可以通過以下公式進行求解:

由(11)式可以得到, 同一條亮條紋中+1 級和–1 級特征點滿足關(guān)系式:

利用+1 級和–1 級同一條亮條紋中的兩個特征點位置 (ri,φi) 和 (rj,φj) , 可以求解出軸向位移?z:

3.2 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬實驗驗證位移提取算法的精度.在模擬實驗中, 探測光的波長為632.8 nm, 兩個圓光柵的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm.通 過(9)式 和(10)式 計 算 出(?x,?y,?z)=(0.2 mm,0.1 mm,4.5 mm)的莫爾條紋如圖7(a)所示.

圖7 提取特征點坐標的圖像處理過程Fig.7.Process of image processing for extracting the coordinates of feature points.

首先, 將直角坐標系中的莫爾條紋轉(zhuǎn)換到極坐標系中, 結(jié)果如圖7(b)所示.其次, 對圖像進行二值化, 并提取出亮條紋的骨架, 結(jié)果如圖7(c)和(d)所示.然后, 保留其中一個亮條紋骨架, 數(shù)值為255 的像素點位置即為亮條紋的特征點位置.最后, 利用(13)—(15)式計算三維位移, 結(jié)果為

(0.2003 mm, 0.0999 mm, 4.4417 mm), 絕對誤差為0.1521%、0.1404%和1.2965%, 證明了該算法具有較高的精度.

4 實驗及分析

實驗中光源選用He-Ne 激光器(大恒光電DH-HN250), 探測光波長為632.8 nm.圓光柵G1和G2(蘇州聚芯微納科技有限公司設(shè)計加工)的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm.光柵G1 的圓心固定于光軸上, 光柵G2 安裝在一個分辨率為0.001 mm的三維平移臺(大恒光電GCM-TP)上進行平移.4f 系統(tǒng)中傅里葉變換透鏡的焦距為150 mm, 孔徑為38.1 mm(大恒光電GCL-010607).用CCD 相機(CCD: MER-630-16 GM/C, 鏡頭: Kowa LM12-JC5MC)采集莫爾條紋, 由于鏡頭的放大作用, 每個像素的真實成像大小為0.05 mm.

首先對軸向位移測量進行實驗研究.保持平面內(nèi)位移?x= 0 mm、?y= 0 mm 不變, 軸向距離?z以間距1 mm 由0 mm 增加到15 mm, 實驗獲得的莫爾條紋如圖8 所示.利用上述位移提取算法對莫爾條紋進行處理, 得到軸向位移?z變化如圖9(a)所示, 圖9(b)顯示了軸向位移測量誤差.

然后進行三維位移測量實驗.實驗中位移?y=0.15 mm 和?z= 7.90 mm 保持不變,?x以間距0.05 mm 從0 mm 增加到0.35 mm.實驗得到的莫爾條紋如圖10 所示.三維位移測量結(jié)果及測量誤差如圖11 所示, 詳細數(shù)據(jù)見表1.

由(13)—(15)式可知, 三維位移測量精度取決于光柵周期、探測光波長和特征點位置精度.測量誤差主要由坐標變換原點和亮條紋特征點的定位誤差造成的.

實驗結(jié)果中, 測量平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為4.8 × 10–3mm, 平均誤差為2.0 × 10–4mm, 軸向位移的最大絕對誤差為0.25 mm, 平均誤差為8.6 × 10–3mm.在已有的測量方法中, 平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為5.25 × 10–3mm[18], 軸向位移的最大絕對誤差為0.22 mm, 平均誤差為0.085 mm[20],與該方法具有較高的測量精度.

圖8 當(dāng) Δ x = 0 mm、 Δ y = 0 mm 時實驗得到的莫爾條紋圖Fig.8.Moiré patterns captured by experiment when Δ x = 0 mm and Δ y = 0 mm.

圖9 當(dāng) Δ x = 0 mm、 Δ y = 0 mm 時軸向位移測量結(jié)果Fig.9.Measurement results of out-of-plane displacement when Δ x = 0 mm and Δ y = 0 mm.

圖10 當(dāng) Δ y = 0.15 mm、 Δ z = 7.90 mm 時實驗得到的莫爾條紋圖Fig.10.Moiré patterns captured by experiment when Δ y = 0.15 mm and Δ z = 7.90 mm.

z軸測量誤差大于x軸和y軸.這是因為莫爾條紋的變化對x軸和y軸位移更敏感.如圖6 和圖8所示, 當(dāng)z軸位移量在1 個Talbot 距離(15.8 mm)內(nèi)變化時, 由相移引起的莫爾條紋變化十幾個像素.這導(dǎo)致該測量方法對z軸位移測量的靈敏度較低, 誤差較大.通過選擇合適的光柵和提高圖像采集設(shè)備的分辨率, 可以提高測量精度.

圖11 當(dāng) Δ y = 0.15 mm、 Δ z = 7.90 mm 時三維位移測量結(jié)果Fig.11.Measurement results of 3D displacements when Δ y = 0.15 mm and Δ z = 7.90 mm.

表1 實驗測量結(jié)果及誤差Table 1.Measurement results and errors of experiment.

5 結(jié) 論

本文研究了基于雙圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量方法, 通過空間濾波技術(shù)同時得到+1 和–1 級莫爾條紋圖像, 并提出了相應(yīng)的位移量提取算法.二維平面內(nèi)位移可分別用+1 或–1 級莫爾條紋進行測量, 軸向位移用+1 和–1 級莫爾條紋之間的相移來測量.該方法采用同軸成像的徑向剪切干涉儀, 與需要采集不同視角莫爾條紋的三維位移測量方法相比[20], 可利用單個探測器拍攝到的一幅莫爾條紋圖實現(xiàn)三維位移的瞬時測量, 并具有相同的測量精度.總而言之, 該方法具有裝置簡單、測量精度高、非接觸、瞬時測量等特點, 可實現(xiàn)三維位移的同時測量.