郭政宏，胡葉正

（西南石油大學 地球科學與技術學院，四川成都 610500）

彈性波正演是認識地下復雜介質的重要手段，在彈性波有限差分正演模擬中，除了二階質點位移方程外，常用一階速度-應力方程，其優(yōu)點是不需要對彈性參數進行空間微分，就可以得到完整的地震波場響應[1]。除了常規(guī)網格外，Madariaga提出的交錯網格，它在不增加計算量的前提下，和常規(guī)網格相比局部精度提高了4倍，收斂速度也很快，很好地壓制了數值頻散[2]。

彈性波縱橫波場分離是進行彈性波逆時偏移的必要條件，如若不能正確分離縱橫波場，則在偏移成像過程中由于縱橫波的互相干擾，導致偏移成像失敗。目前大多數學者都采用傳統(tǒng)的Helmholtz原理分離縱橫波場。Helmholtz分解基于彈性波混合波場是由一個無旋場和無散場組成的，這個無旋場就是縱波的勢函數，無散場就是橫波的勢函數。因此可以通過對混合波場做散度運算提取縱波，做旋度運算。但是由于旋度運算和散度運算對空間做了一階偏導數，分離后的波場的振幅和相位都會改變，且分離后的縱橫波波場與原波場的物理意義不一致。假設原波場為位移，那么經過Helmholtz分離后的波場為質點速度相關的一個量。而且對其做相位矯正和振幅恢復時計算量過大，對后期的逆時偏移來算不易實現(xiàn)。本文采用縱橫波解耦方程有限差分交錯網格形式下的正演模擬，吸收邊界采用CPML。在提高計算效率上利用MPI和OpenMP進行并行加速。

1 基本原理與方法

1.1 彈性波各向同性一階速度-應力方程

密度非均勻，二維彈性波各向同性一階速度-應力方程：

式（1）中：vx、vz為彈性波質點振動速度的水平分量和垂直分量（在多波多分量地震勘探中，也被稱之為偽橫波和偽縱波）；τxx、τzz、τxz為質點振動x軸向，z軸向的正應力，和y平面法向的剪切應力；λ、μ則為彈性波的模量，其中μ是剪切模量；ρ表示為密度參數。

其中，密度，縱橫波速度參數和彈性波的模量參數關系如下：

彈性波一階速度-應力方程交錯網格各個分量的配置方式如圖1所示，其中密度位于半網格點上。

各向同性彈性波介質中，縱波和橫波是完全解耦：縱波是一個有源無旋散度場，橫波是一個有旋無散的散度場，混合波場是由一個散度場（縱波波場）和一個旋度場（橫波波場）疊加而成。

基于Helmholtz彈性波縱橫波場分離理論，可以從質點振動速度的水平分量和垂直分量提取散度獲得縱波波場，從中提取旋度獲得橫波波場。

時空域直接采用散度算子和旋度算子如下：

從式（3）中可以看出，Helmholtz分離后的縱橫波場，其相位整體移動了90°，縱橫波振幅比也發(fā)生了變化，同時得到的縱橫波波場和原波場的物理意義也不相同。

1.2 縱橫波解耦的一階速度-應力方程

密度非均勻，各向同性縱橫波波場分離方程：

應用有限差分進行彈性波波動方程正演時，由于正演的空間有限，需要在節(jié)段的人工邊界上引入吸收邊界條件。當前吸收效果較好的邊界條件是完全匹配層（PML）邊界，它能夠使大角度入射的彈性波在匹配層中無反射地通過，并按照指數規(guī)律進行衰減。由于在彈性波正演模擬中，縱波速度、橫波速度和密度的差異變化復雜，使用常規(guī)的PML吸收邊界會留下一些反射波和大量的隱失波，而采用CPML算法后則可以大大減少反射波的存在，并且對隱失波的吸收具有很好的效果。

2 模型測試

選取Mamousi模型的一塊區(qū)域（圖1（a）），該區(qū)域的網格大小為（1 201×401），空間采樣間隔為5m，縱橫波波速比為1.73，不考慮密度模型（密度默認為1），縱波震源激發(fā)，零相位雷克子波，震源主頻30Hz，時間采樣間隔0.000 5s，有限差分階數16階，CPML吸收層數32。

圖1 速度模型及波場分離

基于彈性波各向同性一階速度-應力方程，并采用Helmholtz原理提取的縱橫波場如圖1所示。使用相同正演模擬參數，基于縱橫波解耦一階速度-應力彈性波方程分離的縱橫波如1（b）所示。

由于采用彈性波進行正演模擬，正演記錄中出現(xiàn)了特有的面波現(xiàn)象，這是由于縱橫波或者部分分量耦合在一起導致的，是聲波正演模擬所不具有的特征。由于Marmousi的模型相對復雜，其反射波比較雜亂，波場也相對復雜。

對比圖1（b）和圖2（a），分離出的縱橫波振幅與圖1（a）相比更加符合真實的縱橫波振幅比值，其反射波的細節(jié)更加清晰。同時縱橫波解耦分離的縱橫波保持原有的矢量特征，這與通過Helmholtz分離出來的標量波場有本質不同，分離出來的波場的物理意義和原來的波場的物理意義相一致。

圖2 縱橫波解耦

3 結論

基于縱橫波解耦方程交錯網格下進行數值模擬，并借助Marmousi模型進行測試。同時和基于Helmholtz縱橫波分解的方程相比，前者提取到縱橫波場振幅和相位沒有發(fā)生變換，波場的細節(jié)清楚，其分離出的波場干凈，更加適應于后續(xù)的彈性波逆時偏移成像等工作流程。