李耀龍，李洪儒，王 冰，于 賀

（1.陸軍工程大學導彈工程系 石家莊，050003）（2.西北核技術研究所 西安，710024）

（3.上海海事大學物流工程學院 上海，201306）

引言

滾動軸承是旋轉機械中的重要零部件之一，起到支撐機械旋轉體、降低摩擦力的作用，同時也是旋轉機械中最為廣泛且最易失效的零部件之一。在當前針對滾動軸承的分析研究中，一方面集中在故障診斷領域［1］，另一方面致力于軸承的故障預測研究。通過開展?jié)L動軸承的全壽命試驗，提取退化特征，分析其性能退化的規(guī)律，最后實現(xiàn)故障預測［2］。

有效的退化特征是實現(xiàn)預測的前提，許多綜述對滾動軸承的退化特征進行了分類和總結。Lei等［3］將退化特征分成兩類：①具有物理意義的特征，該類特征一般運用統(tǒng)計學和信號處理方法提取，包括常用的統(tǒng)計學特征、時域頻域特征等；②虛擬特征，該類特征主要是通過融合算法得到。文獻［4-5］將退化特征分為時域特征、頻域特征和時頻域特征等3類。然而，傳統(tǒng)的退化特征缺乏一致性趨勢，即不同的全壽命數(shù)據(jù)由于自身退化過程不同，其特征往往具有個性，不同全壽命數(shù)據(jù)的相同特征之間往往不具有一致的退化趨勢。尋找不同全壽命數(shù)據(jù)間的相似或一致的變化規(guī)律，對建立退化模型具有重要意義［6］，同時也對深入挖掘滾動軸承退化過程的機理具有重要參考價值。

在以往的特征分類中包含了兩小類傳統(tǒng)的退化特征：①具有上升趨勢的能量特征，以RMS為典型，RMS以其良好的性能被廣泛應用于軸承的退化狀態(tài)識別和剩余壽命預測中［7］；②具有下降趨勢的復雜度特征，例如近似熵、樣本熵及排列熵等。在研究過程中，可以發(fā)現(xiàn)能量特征和復雜度特征存在反向同步性，因此，推斷二者可能存在協(xié)整關系。

基于以上分析，筆者在對能量特征和復雜度特征的分析基礎上，擬將協(xié)整理論引入到滾動軸承的預測特征提取中。對能量特征和復雜度特征中的特征代表進行協(xié)整分析，并提取基于協(xié)整理論的滾動軸承退化特征。在此基礎上，采用多組全壽命試驗數(shù)據(jù)集，對所提特征的性能進行驗證。

1 協(xié)整理論

通常，可以采用單位根檢驗來判斷時間序列的平穩(wěn)性，當存在單位根時，時間序列是非平穩(wěn)的。ADF（augmented dickey-fuller）檢驗是常用的單位根檢驗法［8］。時間序列若經(jīng)過d-1階差分仍不平穩(wěn)，經(jīng)過d階差分才平穩(wěn)，稱該序列是d階單整的，記作I（d）。

Engle等［9］給出了協(xié)整的定義：由n組的d階單整序列組成的向量yt=[y1t，y2t，…，ynt]T，如果存在一 個 向 量β=[β1，β2，…，βn]使 得 線性 組 合βyt=β1y1t+β2y2t+…+βn ynt是d-b階單整，其中b＞0，那么認為yt=[y1t，y2t，…，ynt]T是（d，b）階協(xié)整，記為yt～CI（d，b），向量β稱為協(xié)整向量。常見的協(xié)整關系為CI（1，1）。協(xié)整意味著單整序列之間存在長期穩(wěn)定的均衡關系，或者說存在特定的內在均衡機制在維持著單整序列間的長期穩(wěn)定關系。協(xié)整檢驗的常用方法有E-G（engle-granger）檢驗法和Johansen檢驗法［8］。E-G檢驗法較為簡單，適用于二組向量的協(xié)整檢驗。筆者采用E-G檢驗法。在進行E-G檢驗法之前，首先要確定待檢驗時間序列的單整階數(shù)，可以通過ADF檢驗來確定。

2 能量特征與復雜度特征

2.1 能量特征

能量特征反映的是軸承在運行過程中的能量變化，式（1）列舉了常見的能量特征。E1～E7分別為方根幅值、均方根值、絕對均值、峰峰值、最大值、最小值和頻譜平均值。為了方便，在最小值前加了一個負號，使其為正。

這里給出上述特征是能量特征的原因。簡單來說，可以把每一個振動點的振動簡化成簡諧運動，其位移符合x=Acos（wt+φ），假定振動點的質量為m，那么其動能為

其勢能為

振動點的總能量為

振動點的能量與振幅的平方成正比。不同的振幅反映的是不同的能量。上述7個特征都代表著某種具有物理意義的振幅。以常用的美國IMS中心的全壽命試驗數(shù)據(jù)集中失效模式為外圈故障的Bearing2-1為例，將其能量特征繪制如圖1所示。從圖1可以看出，幾種能量特征的走勢相似。通過ADF檢驗可以得到E1，E2，E3和E7為I（2）；E4，E5，E6為I（1）。根據(jù)定義，同階單整才可以進行E-G協(xié)整檢驗，在顯著性水平為0.1的條件下，E1，E2，E3之間具有協(xié)整關系；E4，E5，E6之間具有協(xié)整關系。也就是說，E1～E3具有相同的變化趨勢，E4～E6具有相同的變化趨勢。E7雖代表著某種能量特征，但與RMS之間在當前顯著水平下不具有協(xié)整關系，原因在于E7在求取的過程中存在傅里葉變換，而傅里葉變換本身存在混疊、泄漏等問題。E4～E6表征了每組信號的極值，穩(wěn)定性較差；而E1～E3表征了每組信號的平均能量，穩(wěn)定性較強。因此，可以選擇E1～E3中的任意一個特征代表能量特征。因RMS在工業(yè)上應用廣泛，故選擇其作為能量特征的代表。

圖1 IMS中心數(shù)據(jù)集Bearing2-1的能量特征Fig.1 The energy features of Bearing2-1 of IMS center

2.2 復雜度特征

復雜度特征能反映信號的復雜程度。常用的復雜度特征有近似熵、樣本熵、模糊熵、香農(nóng)熵、排列熵及L-Z復雜度等。其計算方法及參數(shù)設置詳見文獻［10-15］。為了測試各個復雜度的性能，在其計算過程中，相同的參數(shù)將設為一致，以減少參數(shù)對結果的影響。表1列出了復雜度的參數(shù)選取，其中相似容限均取0.2倍信號標準差。香農(nóng)熵在計算時要對數(shù)據(jù)進行劃分，設置極值間劃分為50個區(qū)間。排列熵在計算過程中與香農(nóng)熵相近，其嵌入維數(shù)與樣本熵和近似熵不同，排列熵的嵌入維數(shù)越大，越準確，但耗時更長，經(jīng)考慮將排列熵的嵌入維數(shù)設置為6。

表1 復雜度的參數(shù)選取Tab.1 The selection of complexities'parameters

為了測試復雜度的性能，設置一個仿真信號，為S(t)=X(t)+e(t)，其中：X(t)為 正 弦 信 號，有X(t)=sin(2π×10t)；e（t）為附加高斯白噪聲。采樣頻率為10 000 Hz，采樣時間1 s。通過改變噪聲的強度進而改變信噪比，觀察仿真信號復雜度的變化如圖2所示。理論上，復雜度隨著噪聲的增加應該增強?？梢钥闯觯戕r(nóng)熵與排列熵并不完全單調，說明二者的性能不太好。

為了進一步測試性能，需采用更一般的信號對復雜度進行測試。Logistic模型是典型的非線性系統(tǒng)，該模型中包含大量的周期和混沌信號，周期信號的復雜度應為0，混沌信號的復雜度應較高。圖3給出了2.5＜μ＜4時的Logistic模型結果以及對應的最 大Lyapunov指 數(shù)（the largest Lyapunov exponent，簡稱LLE）。LLE可以反映所出信號的復雜程度，LLE＜0時表明信號是周期信號；LLE=0時為分岔點；LLE＞0時表明信號為混沌信號。將6種復雜度帶入Logistic模型中，其結果如圖4所示。

圖2 仿真信號的復雜度隨SNR變化的曲線Fig.2 The curve of six complexities versus SNRs

圖3 Logistic模型及其LLEFig.3 The Logistic map and its LLE

圖4 6種復雜度應用于Logistic模型的曲線Fig.4 The six complexities of the Logistic map

可以看出，香農(nóng)熵和排列熵對周期信號的衡量存在誤差。模糊熵在衡量μ=3.5時出現(xiàn)了偏差，這是由于模糊熵存在模糊隸屬度而導致的問題。L-Z復雜度在μ=3.6左右發(fā)生了偏差，這是由于L-Z復雜度在計算過程中的粗?；^程導致的。

綜上，近似熵和樣本熵在6個復雜度中表現(xiàn)較好。同時，作為近似熵的改進算法，樣本熵在計算時不包含自身數(shù)據(jù)段的比較，其優(yōu)越性體現(xiàn)在較少地依賴時間序列長度，結果的一致性較好。所以，樣本熵在這6個復雜度中的性能最好。這樣，就可以把樣本熵作為復雜度的代表。

3 基于協(xié)整理論的退化特征提取

上文已經(jīng)確定了能量和復雜度特征的代表分別是RMS和樣本熵，同時也說明了能量特征反映了信號的幅值，其平方才反映信號的某種能量。故以RMS2和樣本熵為基礎，利用二者進行協(xié)整融合，其基于協(xié)整理論的退化特征提取流程如圖5所示。

圖5 基于協(xié)整理論的退化特征的提取流程Fig.5 The extraction procedure of the degradation feature based on cointegration theory

要進行基于協(xié)整理論的退化特征提取必須確定二者間是否存在協(xié)整關系。首先，二者的單整階數(shù)須一致。以Bearing2-1為例，先要確定RMS2和樣本熵的單整階數(shù)，經(jīng)ADF檢驗，樣本熵為I（1）序列，RMS2為I（2）序列。進一步檢驗發(fā)現(xiàn)，n＜966，RMS2為I（1）序列。此時RMS2和樣本熵不具有協(xié)整關系。依次減小n，并對RMS2和樣本熵進行E-G檢驗，發(fā)現(xiàn)n=914時，二者出現(xiàn)協(xié)整關系。定義該點為轉變點。在確定協(xié)整向量后，按照協(xié)整向量繪制RMS2和樣本熵的線性組合，如圖6所示。

可以看出，基于協(xié)整理論的退化特征呈現(xiàn)明顯的兩段性。914組之前，序列平穩(wěn)，波動性很?。?14組至最后失效，序列呈單調上升趨勢。

圖6 基于協(xié)整理論的退化特征Fig.6 The degradation feature based on cointegration theory

4 實例驗證

4.1 軸承全壽命數(shù)據(jù)集

為了驗證所提特征的兩段性和一致性，文中將選取多組軸承全壽命數(shù)據(jù)用于支撐。數(shù)據(jù)來自美國IMS中心的全壽命試驗數(shù)據(jù)集，其試驗詳情可見文獻［16］。筆者選取失效模式為外圈故障所提及的Bearing1-4作為測試集1，以失效模式為內圈故障的Bearing1-3作為測試集2。測試集1，2都包含2 155組數(shù)據(jù)。選取Bearing2-1為測試集3，包含982組數(shù)據(jù)。

4.2 基于協(xié)整理論的退化特征的有效性驗證

首先，將測試集的RMS和樣本熵進行提取，其曲線如圖7所示。從圖7可以看出，各個測試集的退化曲線表現(xiàn)各不相同。具體分析，測試集1表現(xiàn)出了“愈合”現(xiàn)象，RMS先上升后下降。關于滾動軸承中的“愈合”現(xiàn)象可參考文獻［17-18］。測試集2的RMS表現(xiàn)出了長時間的平穩(wěn)，最后快速上升，此時也能觀察到“愈合”現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)在160組左右RMS出現(xiàn)了階躍，分析原始信號，此處存在關機，說明開關機對工況是有影響的，在進行全壽命試驗時應減少開關機頻率。測試集3的RMS開始較平穩(wěn)，而后上升，出現(xiàn)階躍，而后出現(xiàn)了兩次“愈合”現(xiàn)象，表現(xiàn)出了強烈的長期波動性，并不利于預測。對比圖6可以看出，通過協(xié)整方法可以有效減小退化前、中期的RMS和樣本熵的長期波動性。

可以看出不同的測試集其RMS和樣本熵各有特點，沒有一個統(tǒng)一的變化規(guī)律，缺乏一致性。通過E-G檢驗各測試集的RMS2與樣本熵的協(xié)整性，可以驗證測試集的所有RMS2與樣本熵的部分序列間具有協(xié)整性。根據(jù)所提方法，將測試集1，2基于協(xié)整理論的退化特征進行提取，如圖8所示。

圖7 測試集的RMS和樣本熵曲線Fig.7 The RMS and sample entropy of the test datasets

從圖6，8得知，3個測試集基于協(xié)整理論的退化特征具有明顯的兩段性。在全壽命的前、中期表現(xiàn)出平穩(wěn)性。當滾動軸承處于失效期，該特征表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，并具有一定的單調性。幾個測試集的RMS和樣本熵表現(xiàn)出了不同的軸承退化過程，但經(jīng)協(xié)整理論融合后，其融合特征表現(xiàn)出了一致性的演化規(guī)律，說明該方法可以統(tǒng)一不同軸承的演化過程，具有一般性。經(jīng)協(xié)整理論融合還降低了RMS和樣本熵在全壽命的前、中期的長期趨勢性波動。

5 結果分析

現(xiàn)就為何所提取的退化特征具有一致性和兩段性進行說明。以Bearing2-1為例，將其RMS2與所提特征放在一起進行對比，為了方便采用RMS代替RMS2，如圖9所示。

根據(jù)Bearing2-1的RMS曲線可以推斷該軸承的退化過程。從開始運行到第510組，RMS保持平穩(wěn)，可知軸承處于正常狀態(tài)；從510～700組，RMS持續(xù)上升，軸承處于輕微故障階段；700組時，RMS突增，這可能是摩擦面上產(chǎn)生了凸起造成的，而后運行至823組，RMS經(jīng)歷了下降再上升的階段，這主要是由于持續(xù)的摩擦作用使局部凸起的表面降低，而后RMS又經(jīng)歷了這種下降再上升的過程，此時軸承處于中度故障階段；從900～982組，RMS持續(xù)上升，此時軸承處于重度故障階段直至失效。

這種下降再上升的過“愈合”現(xiàn)象在軸承中具有普遍性，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因在于持續(xù)的摩擦作用使局部凸起的表面降低。而后由于故障加深，摩擦副表面又形成了新的凸起，如此往復。“愈合”現(xiàn)象說明軸承已經(jīng)進入中度故障狀態(tài)，它的出現(xiàn)雖有利于退化狀態(tài)識別，但也會導致RMS的單調性下降，不利于軸承的預測。

反觀所提出的基于協(xié)整理論的特征，其具有兩段性。從開始運行到914組左右，其具有平穩(wěn)性；從914組到最后失效，其快速上升。對其具有兩段性進行分析。當軸承處于正常狀態(tài)下，RMS平穩(wěn)，樣本熵也平穩(wěn)。當軸承處于輕微故障階段，摩擦面上出現(xiàn)凸起，導致能量上升，RMS上升；同時，凸起可導致信號的周期性增加，復雜度降低。當軸承處在“愈合”現(xiàn)象時，持續(xù)的摩擦使凸起變得平滑，這樣導致能量降低，RMS下降；由于凸起變得平滑，周期性也就相應降低，致使復雜度升高?？傊?，在914組之前，RMS2與樣本熵保持著同步性，這樣使兩序列的線性組合為平穩(wěn)序列。

圖8 測試集1,2的基于協(xié)整理論的退化特征提取Fig.8 The degradation feature based on cointegration of the dataset1 and 2

圖9 RMS和基于協(xié)整理論的退化特征對比Fig.9 The comparation of RMS and theproposed feature

當軸承接近于失效，能量急劇增加，摩擦副表面上的凸起急劇增多，雖有平滑作用，但效果不明顯。由于每個凸起都能形成周期性信號，那么整體的振動信號就是各個凸起引起的信號疊加，此時的信號周期性就不顯著了，所以復雜度降低得不明顯。這時，兩序列的協(xié)整性消失，所提特征在此階段明顯上升。所以轉變點可以看作局部故障向多點故障變化的轉折點，當運行到轉變點時，軸承距離失效已經(jīng)不遠，應當進行軸承的剩余壽命預測了。

文獻［3］綜述了特征是否適合于作為預測性能的指標，其中包括單調性、魯棒性和趨勢性。其表達式分別如下，其中count（）為滿足要求的個數(shù)

單調性是衡量特征單調的程度，在求取前應該進行平滑處理，降低噪聲的影響。魯棒性衡量的是特征的穩(wěn)定程度，從而減少預測結果的不確定性，其中X（tk）=XT（tk）+XR（tk），即信號分為確定的趨勢信號和平滑后的剩余信號。趨勢性是指特征與運行時間的相關程度。3個指標的取值范圍都是［0，1］，越接近于1說明特征相應的性能越好。求取3個測試集的預測性能指標，如表2所示。在求取時應當對特征進行歸一化處理，在計算單調性和趨勢性時忽略各特征平穩(wěn)階段帶來的影響。平滑方法采用高斯濾波方法，窗口長度20。

從表2看，基于協(xié)整理論的退化特征具有明顯的非減性特點。相對于RMS和樣本熵，其在非平穩(wěn)階段的單調性更好。在魯棒性和趨勢性上，所提特征與RMS及樣本熵處于同一水平。事實上基于協(xié)整理論的退化特征提取是一種融合特征的方法。融合算法包括線性和非線性降維方法，其中以主成分分析法（principal components analysis，簡稱PCA）和等距特征映射（isometric mapping，簡稱Isomap）為典型。以Bearing2-1為例，將RMS2與樣本熵經(jīng)PCA和Isomap融合后得到圖10的結果。

表2 測試集特征的預測性能指標Tab.2 The prediction performance index of datas?ets'features

從結果看，PCA與Isomap融合后特征與樣本熵很相似?？傮w上RMS2與樣本熵走勢相反，經(jīng)PCA與Isomap融合后的特征保持了其共有的趨勢。區(qū)別于PCA和Isomap，協(xié)整融合是將二者中趨勢不相同的地方提取出來，而將共有的趨勢進行消除。

圖10 Bearing2-1的RMS2與樣本熵經(jīng)PCA與Isomap融合后的結果Fig.10 The fusion result of Bearing2-1's RMS2 and sample entropy based on PCA and Isomap

6 結束語

筆者發(fā)現(xiàn)了滾動軸承全壽命數(shù)據(jù)中RMS和樣本熵存在的協(xié)整關系，并提出了一種基于協(xié)整理論的滾動軸承退化特征的提取方法。所提取的退化特征有以下特點：具有良好的兩段性，能夠反映滾動軸承退化的前、中期和失效階段的不同特性。同時，該特征可以降低RMS、樣本熵在退化前、中期時的長期波動性。所提特征具有一般性，能夠將不同的滾動軸承全壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)一起來，得到具有一致性的演變過程。相比于RMS和樣本熵，所提特征在非平穩(wěn)階段的單調性好，故障預測能力更好。