劉 存，殷 勇*，2，楊 晗 ，朱 鹮 ，李恩澤 ，汪 浩 ，楊永康

1.武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學(xué)熱科學(xué)與動(dòng)力工程研究所，湖北 武漢 430205

有限時(shí)間熱力學(xué)［1-4］致力于求解在不同的約束條件下系統(tǒng)的最優(yōu)熱力性能。隨著低溫與微納米技術(shù)的發(fā)展，許多學(xué)者［5-8］把有限時(shí)間熱力學(xué)拓展到了量子力學(xué)領(lǐng)域［9-10］。在這些系統(tǒng)（量子放大器，激光制冷機(jī)，磁制冷機(jī)，半導(dǎo)體熱電發(fā)電機(jī)，光伏發(fā)電，自旋以及偶合諧振子等等）中，需要應(yīng)用量子熱力學(xué)的分析方法。對(duì)有效質(zhì)量為零的粒子，需要應(yīng)用相對(duì)論量子力學(xué)進(jìn)行分析。

1984 年，Kosloff［11］建立了第一個(gè)量子熱機(jī)模型。隨后，許多學(xué)者建立了不同類型的量子熱力裝置。Ro?nagel［12］建立了單原子驅(qū)動(dòng)的量子熱機(jī)模型，Ter?as［13］建立了由兩個(gè)納米諧振子驅(qū)動(dòng)的量子熱機(jī)模型，Su 等［14］建立了基于量子共振隧穿的三端量子點(diǎn)熱機(jī)模型，鄂青等［15］分析了以廣義勢(shì)阱中粒子為工質(zhì)的量子熱聲微循環(huán)的性能，文獻(xiàn)［16-17］研究了以一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子為工質(zhì)的量子斯特林熱泵［16］與制冷循環(huán)［17］的性能。作為一個(gè)最簡(jiǎn)單的量子系統(tǒng)，一維無(wú)限深勢(shì)阱得到了大量的關(guān)注，許多學(xué)者以無(wú)限深勢(shì)阱中粒子為工質(zhì)，建立了各種量子熱力模型（如量子卡諾循環(huán)［18］、量子奧托循環(huán)［19-20］、量子斯特林循環(huán)［21-23］、以及一種沒(méi)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的由3 個(gè)過(guò)程所組成的量子循環(huán)［24-25］），并得到了許多有意義的結(jié)論。2011年，Abe［26］假設(shè)勢(shì)阱壁以一個(gè)有限速率運(yùn)動(dòng)，得到了循環(huán)的周期以及熱機(jī)的輸出功率。王建輝等［27-28］以一維無(wú)限深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子為工質(zhì)，建立了量子卡諾熱機(jī)模型。文獻(xiàn)［23］建立了以無(wú)數(shù)個(gè)一維無(wú)限深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子為工質(zhì)的不可逆量子斯特林熱機(jī)循環(huán)模型，以Ω（Ω˙=(2-ηmax/η)P）函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)循環(huán)性能進(jìn)行了分析與優(yōu)化。

在文獻(xiàn)［18，23，26，29］的基礎(chǔ)上，本文將建立一個(gè)以一維無(wú)深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子為工質(zhì)的不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)模型。循環(huán)由兩個(gè)等溫過(guò)程與兩個(gè)等勢(shì)阱寬度過(guò)程組成，考慮熱漏，導(dǎo)出該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)與泵熱率，并對(duì)循環(huán)的性能進(jìn)行分析與優(yōu)化。

1 系統(tǒng)的量子力學(xué)描述

相對(duì)論能量動(dòng)量關(guān)系式可以表示為E=式中m為粒子質(zhì)量，p為動(dòng)量，c為光速。極端相對(duì)論情形下此式可以表示為E=cp。因此，囚禁于一維無(wú)限深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子滿足如下的定態(tài)薛定諤方程［28］：

式中，?為約化普朗克常數(shù)，Φ是波函數(shù)，可以表示為：

式中L是勢(shì)阱寬度。系數(shù)αn以及占有幾率pn=|αn|2滿足歸一化條件：

求解式（1）可得量子化的能級(jí)En［28］：

式中h是普朗克常數(shù)，n是量子數(shù)。En與L之間的關(guān)系為En∝L-1，這不同于一維無(wú)限深勢(shì)阱（En=n2π2?2/(2mL2)）與 諧 振 子 勢(shì) 阱 （En=n2?2/(mL2)）（En∝L-2）。系統(tǒng)能量期望值可以表示為：

在經(jīng)典熱力循環(huán)中，系統(tǒng)通過(guò)體積膨脹推動(dòng)活塞向外運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)外做功。設(shè)想把該一維無(wú)限深勢(shì)阱的勢(shì)阱壁當(dāng)作經(jīng)典活塞的對(duì)應(yīng)物，并以有限的速率v運(yùn)動(dòng)。因此，系統(tǒng)的能量本征值會(huì)隨著勢(shì)阱寬度的改變而變化。根據(jù)廣義力的定義：

式中dyn是與廣義位移Yn對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。由式（4）～式（6）可得施加在勢(shì)阱壁的力為：

2 循環(huán)模型

循環(huán)工質(zhì)為囚禁于一維無(wú)限深勢(shì)阱中的極端相對(duì)論粒子。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮能量最低的兩個(gè)能級(jí)。該量子熱力循環(huán)的工作物質(zhì)由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的粒子組成。粒子在激發(fā)態(tài)上的占有幾率由吉布斯分布律決定。該量子斯特林循環(huán)由兩個(gè)等溫過(guò)程與兩個(gè)等勢(shì)阱寬度過(guò)程組成?？紤]高低溫?zé)嵩撮g的熱漏，因此，本文研究的循環(huán)為不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)，在F-L圖上循環(huán)示意圖如圖1（a）所示。

過(guò)程1-2，系統(tǒng)與一溫度為T(mén)L的低溫?zé)嵩幢３譄狁詈希═1=T2=TL）并作等溫膨脹，系統(tǒng)從低溫?zé)嵩次找欢ǖ臒崃縌12并推動(dòng)勢(shì)阱壁向外運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)在每一狀態(tài)點(diǎn)的熵為：

式中k是玻爾茲曼常數(shù)，pi表示系統(tǒng)在狀態(tài)i時(shí)激發(fā)態(tài)（n=2）上的占有幾率，例如，p1表示圖1（a）中，粒子在狀態(tài)1 時(shí)處于激發(fā)態(tài)上的占有幾率。1-2過(guò)程中吸收的熱量Q12可以表示為：

圖1 （a）量子斯特林熱泵循環(huán)F-L 圖，（b）性能系數(shù)關(guān)于x 和 p1 的關(guān)系圖（a=0.01）Fig.1 （a）F-L plane of quantum stirling heat pump，（b）relationship between ε and p1（a=0.01）

由廣義力對(duì)位移積分，可以求出過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功：

在過(guò)程3-4，系統(tǒng)與一溫度為T(mén)H的高溫?zé)嵩瘩詈蟃3=T4=TH，并作等溫壓縮，外界對(duì)系統(tǒng)做功。過(guò)程中系統(tǒng)與高溫?zé)嵩唇粨Q的熱量可以表示為：

外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以表示為：

在過(guò)程2-3（4-1）中，系統(tǒng)從回?zé)崞魑眨ㄡ尫牛┮欢康臒崃縌23(Q34)，系統(tǒng)與回?zé)崞鹘粨Q的熱量可以表示為：

|Q23|≠|(zhì)Q41|表示該量子斯特林循環(huán)的回?zé)徇^(guò)程不能實(shí)現(xiàn)理想回?zé)帷楸３譄崞胶?，循環(huán)中高溫?zé)嵩幢仨殏魅氩糠譄崃縷 ΔQr|到回?zé)崞鳌?/p>

因?yàn)榻^熱線比等溫線陡峭，所以有p3＞p4,p2＞p1，因此 ΔQr＜ 0，考慮到高低溫?zé)嵩撮g的熱漏，假設(shè)每循環(huán)的漏熱量為：

式中a（s-1）是一個(gè)常數(shù)，每循環(huán)的漏熱量可以表示為Qe=，其中τ為循環(huán)周期?；谝陨峡紤]，系統(tǒng)從低溫?zé)嵩次盏臒崃縌l與釋放給高溫?zé)嵩次盏臒崃縌h可以表示為：

系統(tǒng)在各個(gè)狀態(tài)i(i=1,2,3,4)時(shí)激發(fā)態(tài)上的占有幾率由吉布斯分布給出［23，26］：

式中k是玻爾茲曼常數(shù)，Δi=Ei2-Ei1為各態(tài)i(i=1,2,3,4)的能級(jí)寬度。由式（18），可以得到：

由式（19）～式（22），可以得到：

式中r=TH/TL為高低溫?zé)嵩吹臏囟戎?，x=L2/L1為勢(shì)阱寬度比。式（23）～式（25）意味著在r給定時(shí)，p2，p3和p4是x和p1的函數(shù)。

3 性能系數(shù)與泵熱率

根據(jù)文獻(xiàn)［23-25］，該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)的周期為：

由式（10）和式（12）循環(huán)的輸入凈功可表示為：

該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)E=Qh/ | |W可以表示為：

泵熱率可以表示為：

式中，ζ=kTHvˉ/(ML1k)是一個(gè)由系統(tǒng)所決定的無(wú)量綱純數(shù)。

4 性能分析與優(yōu)化

由式（28），可以繪出該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)的性能系數(shù)ε隨x和p1的變化關(guān)系，如圖1（b）所示。r=TH/TL是系統(tǒng)高溫?zé)嵩磁c低溫?zé)嵩吹臏囟戎龋紤]到可逆卡諾循環(huán)的效率只取決于高低溫的熱源的溫度之比，因此，本文選擇溫比r為一個(gè)控制變量。為了研究循環(huán)的性能系數(shù)與粒子在狀態(tài)1 時(shí)處于激發(fā)態(tài)上的占有幾率p1和勢(shì)阱寬度比x的關(guān)系，取溫比r為定值（r=2）。r=2只說(shuō)明高溫?zé)嵩吹臏囟仁堑蜏責(zé)嵩礈囟鹊? 倍，并沒(méi)有確定高低溫?zé)嵩吹木唧w溫度。由圖可知，性能系數(shù)ε隨p1的增加而減??；性能系數(shù)隨勢(shì)阱寬度比x的變化關(guān)系為一個(gè)凸單調(diào)函數(shù)。p1取確定值時(shí)，該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)有極大值εmax以及對(duì)應(yīng)的xmε。

由式（30）可以繪出無(wú)量綱泵熱率關(guān)于x和p1的關(guān)系圖，如圖2（a）所示。繪圖中各參數(shù)取r=2，a=0.01，ξ=kTHvˉ/(ML1k)=1。由圖可知，無(wú)量綱泵熱率Π*關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系也是一個(gè)凸單調(diào)函數(shù)。存在一個(gè)無(wú)量綱泵熱率極大值Π*max以及對(duì)應(yīng)的xmΠ*。無(wú)量綱泵熱率隨p1的增加而減小。

圖2 關(guān)系曲線：（a）無(wú)量綱泵熱率關(guān)于x 和 p1，（b）不同 p1時(shí)，性能系數(shù)與無(wú)量綱泵熱率，（a=0.01）Fig.2 Variation curves：（ a）dimensionless pump-heating rate with x and p1，（b）ε with dimensionless pump-heating rate in terms of different p1（a=0.01）

圖2（b）為p1取不同數(shù)值時(shí)，以x為控制參數(shù)時(shí)，性能系數(shù)關(guān)于無(wú)量綱泵熱率的關(guān)系曲線圖。繪圖時(shí)參數(shù)取值與圖2（b）相同。曲線是回原點(diǎn)的扭葉型，這與經(jīng)典熱力學(xué)優(yōu)化理論得到的結(jié)果是一樣的。為了分析與優(yōu)化該不可逆量子斯特林熱泵的性能，以p1=0.01 的曲線為例，由圖2（b）中曲線可知，存在一個(gè)無(wú)量綱泵熱率的最大值Π*max以及對(duì)應(yīng)的性能系數(shù)εmΠ*。同樣也存在一個(gè)最大性能系數(shù)εmax以及對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱泵熱率Π*mE。曲線被εmΠ*和εmax分成 3 段，如圖2（b）中所示 I、II 和 III。在 I 與 III 上，無(wú)量綱泵熱率Π*是性能系數(shù)ε的單調(diào)函數(shù)。 在這個(gè)部分，無(wú)量綱泵熱率隨性能系數(shù)的增加而增加。在第二部分，無(wú)量綱泵熱率Π*隨性能系數(shù)ε的增加而減小；反之，如果性能系數(shù)ε減小時(shí)，無(wú)量綱泵熱率Π*增加。因此，區(qū)間II 所表示的范圍就是由性能系數(shù)與無(wú)量綱泵熱率優(yōu)化曲線所決定的熱泵的最優(yōu)運(yùn)行區(qū)間，可以表示為：

或者

當(dāng)式（31）或者式（32）被滿足時(shí)，對(duì)于給定的p1以及高低溫?zé)嵩粗g的溫度比r，該量子斯特林熱泵循環(huán)工作在其最優(yōu)區(qū)間內(nèi)。在這個(gè)區(qū)間，犧牲部分性能系數(shù)可以換來(lái)更高的泵熱率，或者可以通過(guò)犧牲部分泵執(zhí)率來(lái)?yè)Q取更高的性能系數(shù)。

如果式（33）被滿足，在給定的p1，r，以及熱漏系數(shù)a時(shí)，以性能系數(shù)與無(wú)量綱制冷率為優(yōu)化準(zhǔn)則，該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)工作在其最優(yōu)區(qū)間。

4 結(jié) 論

本文建立了以一維無(wú)限深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子為工質(zhì)的不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)模型，考慮旁通熱漏與不完全回?zé)?，?yīng)用有限時(shí)間熱力學(xué)的研究方法，求解體系的薛定諤方程，導(dǎo)出了循環(huán)的輸出率、熱效率等性能參數(shù)，采用數(shù)值計(jì)算與函數(shù)極值理論，分析和優(yōu)化了該不可逆量子斯特林循環(huán)的性能。結(jié)果表明：熱泵的性能系數(shù)是p1的單調(diào)遞減函數(shù)，性能系數(shù)隨p1的增加而減??；性能系數(shù)是勢(shì)阱寬度比x的凸單調(diào)函數(shù)。存在一個(gè)性能系數(shù)的極大值以及與之對(duì)應(yīng)的勢(shì)阱寬度比的取值，無(wú)量綱泵熱率也是p1的單調(diào)遞減函數(shù)，無(wú)量綱泵熱率隨p1的增加而減?。粺o(wú)量綱泵熱率是勢(shì)阱寬度比x的凸單調(diào)函數(shù)，存在一個(gè)無(wú)量綱泵熱率的極大值以及與之對(duì)應(yīng)的勢(shì)阱寬度比的取值。以勢(shì)阱寬度比為控制參數(shù)，無(wú)量綱泵熱率關(guān)于性能系數(shù)的關(guān)系曲線為回原點(diǎn)的扭葉型，由xmΠ*＜x＜xmE所決定的區(qū)間為該不可逆量子斯特林熱泵的最優(yōu)運(yùn)行區(qū)間。