呂衛(wèi)平，黃 婧，馬 奕

(龍巖學(xué)院 福建龍巖 364000)

小波分析是一門(mén)具有巨大應(yīng)用潛力的新學(xué)科，它含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容及廣泛適用的特性，吸引了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)術(shù)研究者的關(guān)注。小波分析在圖像處理、信號(hào)消噪、地震勘探等領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，并由此產(chǎn)生了很多有用的科學(xué)成果。程正興、王劍平等[1-2]利用小波分析對(duì)圖像進(jìn)行壓縮、去噪等操作，效果較好。詹玲超等[3]討論了基于小波變換的多模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像的融合方法，在保證圖像質(zhì)量的同時(shí)還可增強(qiáng)圖像的空間細(xì)節(jié)表現(xiàn)能力。王一丁等[4]提出將連續(xù)小波變換算法用于雷達(dá)信號(hào)處理，該方法保持高距離分辨率的同時(shí)可有效降低回波信號(hào)的副瓣電平。馮占林等[5]利用數(shù)據(jù)小波系數(shù)分布特點(diǎn)及結(jié)合零樹(shù)量化編碼對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，壓縮后可以滿(mǎn)足限失真提高壓縮比的工程要求。陳峰等[6]利用小波變換技術(shù)對(duì)信號(hào)噪聲進(jìn)行抑制和去除非平穩(wěn)信號(hào)的噪聲，發(fā)現(xiàn)小波變換去除噪聲的效果優(yōu)于傳統(tǒng)的Fourior變換方法。將經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域通過(guò)觀(guān)測(cè)得到的現(xiàn)象用數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，然后將這些數(shù)據(jù)按時(shí)間先后次序排列，稱(chēng)之為經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列。從定義可以看出經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列就是經(jīng)濟(jì)金融現(xiàn)象所發(fā)出的信號(hào)，它與平時(shí)所說(shuō)的信號(hào)無(wú)多大差異，通常處理信號(hào)的方法對(duì)它也同樣適用。從目前已有的資料看，小波分析方法在經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列方面的應(yīng)用雖有涉及[7-10]，但與小波分析在其他領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用相比還相差甚遠(yuǎn)，乏善可陳，還有很大的研究空間。

在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域，信息是持續(xù)影響市場(chǎng)發(fā)展過(guò)程的，但經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)的采集卻是基于離散化基礎(chǔ)上的，這必定會(huì)導(dǎo)致不同程度的信息缺失。高頻時(shí)間序列比低頻序列包含更多的市場(chǎng)信息，并具有長(zhǎng)期趨勢(shì)。高頻即意味著高頻率的采集，必然會(huì)導(dǎo)致干擾信號(hào)即噪聲增多，這些噪聲將反過(guò)來(lái)影響數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析和處理，故需要對(duì)其進(jìn)行去噪處理。傳統(tǒng)處理信號(hào)噪聲的方法是Fourier變換濾波法，它的缺點(diǎn)是只能在整個(gè)時(shí)間域上去處理，而不能給出信號(hào)在具體節(jié)點(diǎn)上的變化情況，這會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在時(shí)間域上的任何一個(gè)小突變，從而可能影響到信號(hào)的整個(gè)分析結(jié)果，且它要求實(shí)際信號(hào)與干擾信號(hào)即噪聲的頻譜要相互分開(kāi)，但高頻時(shí)間序列具有典型的非穩(wěn)定、非線(xiàn)性和長(zhǎng)記憶性，不滿(mǎn)足平衡性條件，這對(duì)于高頻信號(hào)而言是較難做到的。

改進(jìn)后的窗口Fourier變換濾波法，雖能隨參數(shù)變化而任意移動(dòng)，但時(shí)頻窗口大小卻是固定的(如圖1所示)，不能隨著高低頻信號(hào)不同的要求而靈活變動(dòng)。

不同于Fourier變換及窗口Fourier變換濾波法，小波變換的多分辨分析特性使它在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，窗口大小雖然固定但其形狀可變，用戶(hù)可以根據(jù)高頻和低頻局部信號(hào)分析所需而靈活變動(dòng)窗口的時(shí)頻局部化分析方法(如圖2所示)?；谛〔ㄗ儞Q的上述特性，文章將利用小波變換方法對(duì)經(jīng)濟(jì)金融高頻時(shí)間序列這類(lèi)波動(dòng)性大、奇異點(diǎn)密集的信號(hào)進(jìn)行小波去噪處理。

圖1 窗口Fourier變換工作原理

圖2 小波變換工作原理

1 預(yù)備知識(shí)

函數(shù)f(x)稱(chēng)為平方可積函數(shù)[11]，即f(x)∈L2(R)，若滿(mǎn)足：

定義1[11]令Vj，j∈Z為L(zhǎng)2(R)中的一個(gè)函數(shù)子空間序列，且

Vj=Wj+1⊕Vj+1=Wj+1⊕Wj+2⊕Vj+2=Wj+1⊕Wj+2⊕Wj+3⊕…，j∈Z，

若滿(mǎn)足下列條件：

(1)單調(diào)性：…?Vj+1?Vj?Vj-1?…，?j∈Z；

(3)正交性：Vj=Vj+1⊕Wj+1；

(4)伸縮性：f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj-1，?j∈Z；

(5)平移不變性：f(t)∈Vj?f(t-b)∈Vj，?b∈Z；

(6)若存在函數(shù)φ(t)∈V0使得{φ(t-b)}b∈Z構(gòu)成V0的一個(gè)Riesz基，即存在常數(shù)A，B滿(mǎn)足0

(1)

定理1 設(shè)有限能量信號(hào)ψ(t)∈L2(R)，定義ψ(t)的Fourier變換如下：

(2)

(3)

則稱(chēng)式(3)為小波函數(shù)的容許性條件。

定理3 對(duì)f(x)∈L2(R)，若ψ(t)滿(mǎn)足式(3)，則有如下的重構(gòu)公式[11]：

(4)

其中a>0，b∈R。

2 多分辨分析小波消噪

小波消噪的目標(biāo)是抑制干擾信號(hào)，還原真實(shí)信號(hào)。基于多分辨分析的小波消噪實(shí)質(zhì)上就是對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行濾波的問(wèn)題，但它又不同于傳統(tǒng)的低通濾波器，經(jīng)小波消噪后的信號(hào)能保留初始信號(hào)的主要特征，從這點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，小波消噪就是低通濾波和特征提取的結(jié)合，它的工作流程如圖3所示。

圖3 小波消噪工作流程圖

2.1 多分辨分析小波變換分解

設(shè)含噪信號(hào)s(t)∈L2(R)，將L2(R)用其子空間Vj和Wj表示為如下的嵌套空間：

Vj=Vj+1⊕Wj+1=…⊕Wj+2⊕Wj+1，j∈Z，

圖4 小波消噪分解圖

從上可知，基于多分辨分析的小波消噪方法中，對(duì)于小波基函數(shù)、小波分解層數(shù)、閾值的選取和量化方法將直接影響小波消噪的效果。

2.2 小波基函數(shù)與分解層數(shù)的確定

表1 常用小波基函數(shù)性能比較

與Fourier變換不同，小波變換中的基函數(shù)有多種選擇，只要滿(mǎn)足公式(3)的函數(shù)都可以作為小波變換的一個(gè)基函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[10]中關(guān)于常用小波基函數(shù)主要性能的闡述，對(duì)常用小波基函數(shù)性能作如下總結(jié)。

考慮到高頻經(jīng)濟(jì)金融信號(hào)的不平穩(wěn)、數(shù)據(jù)起伏大、奇異點(diǎn)密集等特點(diǎn)，對(duì)信號(hào)消噪的要求更高，此時(shí)應(yīng)側(cè)重選擇具有正交性、消失矩及對(duì)稱(chēng)性等性能的小波基函數(shù)比較合適。利用具有正交性的小波基函數(shù)對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行分解，分解后的數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)性，可以使噪聲分布在整個(gè)小波域中，而信號(hào)的主要特征則集中于某些有限的系數(shù)中；具有消失矩和對(duì)稱(chēng)性的小波基函數(shù)能夠更好地應(yīng)對(duì)高頻信號(hào)的突變型且通過(guò)小波變換后的信號(hào)不容易失真、偏差較小。通過(guò)對(duì)比常用各類(lèi)小波基函數(shù)的性能(見(jiàn)表1)，本文選取同時(shí)具有近似對(duì)稱(chēng)性、正交性、消失矩的symN小波作為基函數(shù)來(lái)處理高頻經(jīng)濟(jì)金融信號(hào)。

在小波消噪過(guò)程中，小波分解的層數(shù)越多，信噪特征差異表現(xiàn)越明顯，去噪效果就越好，但這也意味著重構(gòu)時(shí)計(jì)算量變大，且失真度即誤差也相應(yīng)變大，所以分解層數(shù)并不是越高越好。對(duì)于經(jīng)濟(jì)金融高頻時(shí)間序列信號(hào)，其數(shù)據(jù)本身波動(dòng)性較大，為了更好地分離實(shí)際信號(hào)和噪聲，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)比對(duì)之后，本文將分解層數(shù)確定為5層。

2.3 小波消噪中閾值及量化方法的選取

閾值μ主要通過(guò)DONOBO提出的通用閾值公式[12]：

(5)

得到，其中σ表示隨機(jī)干擾信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差，N表示分解層數(shù)。

(6)

(7)

3 多分辨分析小波消噪在高頻經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列中的應(yīng)用實(shí)例

以上海證券交易所綜合股價(jià)收益率指數(shù)Rt為例，用基于多分辨分析的小波消噪對(duì)其進(jìn)行去噪處理。數(shù)據(jù)采用2019年10月1日至2019年11月30日共43個(gè)交易日的上證綜合指數(shù)，隔五分鐘抽取一次，則每個(gè)交易日48個(gè)數(shù)據(jù)，43 d共2064個(gè)高頻數(shù)據(jù)。收益率Rt為：

Date 圖5 上證綜合指數(shù)收益率Rt序列走勢(shì)圖

其中Pt表示t時(shí)刻的收盤(pán)價(jià)。得到含噪聲的收益率序列信號(hào)如圖5所示。

由圖5可以看出，Rt波動(dòng)性較大，想要精確地提取出收益率序列信號(hào)變化趨勢(shì)的主要特征成分，需要對(duì)收益率時(shí)間序列信號(hào)Rt進(jìn)行消噪處理。由于收益率序列信號(hào)較不平穩(wěn)、數(shù)據(jù)起伏大等因素，并結(jié)合各類(lèi)小波基函數(shù)的性能特征，本文采用sym4小波對(duì)含噪信號(hào)Rt作5層小波分解，得到分解后的各層逼近系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)如圖6所示。

Date (a)

從圖6可以看出，Rt經(jīng)過(guò)分解后，細(xì)節(jié)信號(hào)隨著分解層數(shù)的增多越來(lái)越平穩(wěn)，信號(hào)的周期性也逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，特別是到第五層時(shí)，細(xì)節(jié)信號(hào)已經(jīng)具有非常明顯的周期性，這說(shuō)明基于多分辨分析的小波分解能很好地將高頻信號(hào)的噪聲分離出來(lái)。

小波分解到第五層時(shí)收益率序列Rt的逼近信號(hào)如圖7所示。

Date

Date

由圖8可知，經(jīng)過(guò)處理后的上證綜合指數(shù)收益率序列Rt小幅波動(dòng)基本上被消除，而原始信號(hào)的主要特征卻得以較好地留存下來(lái)，消噪后的信號(hào)趨于平穩(wěn)，消噪效果理想，為后續(xù)對(duì)上證綜合指數(shù)收益率序列Rt走勢(shì)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)提供了可能和保障。

4 小結(jié)

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，人們對(duì)于所收集數(shù)據(jù)的精確度要求不斷地提高，高頻數(shù)據(jù)的采集是趨勢(shì)所向。得益于科學(xué)與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，以分秒為頻率采集經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)成為了可能。但凡事都有兩面性，采集頻率越高也就意味著噪聲越大，這些噪聲將反過(guò)來(lái)影響數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析和處理，且高頻時(shí)間序列信號(hào)具有典型的非穩(wěn)定、非線(xiàn)性和突變性，不滿(mǎn)足平衡性條件，作為信號(hào)存在較多的奇異點(diǎn)。因此，在應(yīng)用經(jīng)濟(jì)金融高頻序列信號(hào)之前，需要對(duì)噪聲進(jìn)行處理。由于Fourier變換濾波法的局限性，文章提出利用基于多分辨分析的小波消噪法對(duì)高頻經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列信號(hào)進(jìn)行去噪處理，并以高頻上證綜合指數(shù)收益率序列Rt為例對(duì)其進(jìn)行小波消噪，消噪效果理想，為后續(xù)的進(jìn)一步研究提供保障和支持。