許飛雪，劉勤明，歐陽海玲，葉春明

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

近些年來，在制造業(yè)中實施售后服務(wù)和維修策略的結(jié)合，已經(jīng)成為供應(yīng)商獲取收益利潤的關(guān)鍵性優(yōu)勢。尤其對出售關(guān)鍵性高縝密度的大型設(shè)備，例如飛機發(fā)動機、風(fēng)電機和石油管道等，此類系統(tǒng)的顧客更注這些設(shè)備的績效收益，其次追求成本優(yōu)化。由于在簽訂性能合同（Performance-Based Contract，PBC）時，服務(wù)提供者基于維修服務(wù)績效獲取收益，從而促進供應(yīng)商完善維修策略、降低成本的同時，不斷提高系統(tǒng)可用度以獲取更高的利潤。2007 年，Kim 等［1］首先明確了性能合同的概念。之后，又研究平均設(shè)備中斷時間的PBC設(shè)計，證明了系統(tǒng)可用性是評判供應(yīng)商維修質(zhì)量與效率的關(guān)鍵標(biāo)準(zhǔn)［2］。文獻［3］研究了設(shè)備可靠度與性能合同之間的關(guān)系，并對比了性能合同與資源合同（Time and Material Contract，T&MC）對系統(tǒng)可用度的影響。文獻［4］和文獻［5］中研究了基于性能合同對生產(chǎn)系統(tǒng)采取不同維修策略。上述文獻驗證了系統(tǒng)可用度是性能合同制定的關(guān)鍵指標(biāo)，但只基于單部件系統(tǒng)進行展開研究，實際上，大多數(shù)系統(tǒng)是由多部件組成的，呈串聯(lián)、并聯(lián)和串并聯(lián)等結(jié)構(gòu)。

多部件系統(tǒng)維修決策是由多個部件組成的系統(tǒng)維修策略優(yōu)化組合問題。多部件系統(tǒng)各部件維修組合情況多，分析難度大，描述系統(tǒng)各部件的狀態(tài)退化過程，制定多部件系統(tǒng)的最優(yōu)維修策略，已引起廣泛關(guān)注。文獻［6］研究了多部件系統(tǒng)各部件間的結(jié)構(gòu)相關(guān)性、經(jīng)濟相關(guān)性和隨機相關(guān)性；文獻［7］和文獻［8］深層次描述了相關(guān)性對維修策略的影響；文獻［9］通過推測設(shè)備停機時間分布，以“故障率”為維修閾值，建立了期望維修費用最低的系統(tǒng)維修策略；文獻［10］和文獻［11］中研究了影響部件退化的因素，制定了以單位時間費用率最小為目標(biāo)的多部件系統(tǒng)維修策略模型；文獻［12］中提出了在對多部件系統(tǒng)優(yōu)化的過程中，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并利用聚合迭代算法進行了求解；文獻［13］研究了動態(tài)成組維修引入不同相關(guān)性模型，推進了相關(guān)理論的發(fā)展；文獻［14］和文獻［15］中將機會維修引入多部件系統(tǒng)維修模型中，進一步求解系統(tǒng)平均維修費用率，并通過對比驗證了機會維修可為供應(yīng)商節(jié)約大量時間和成本；文獻［16］中提出了以成本最低化為維修目標(biāo)，建立了基于多部件串并聯(lián)系統(tǒng)的維修策略模型。以上研究均以減少總維修成本為目標(biāo)優(yōu)化，忽略了維修策略帶來的系統(tǒng)績效，沒有將系統(tǒng)可用性、系統(tǒng)績效、故障平均間隔時間考慮到維修策略以內(nèi)，使供應(yīng)商利潤達到最大化。

從上述分析看出，以單位時間內(nèi)維修費用率最低為優(yōu)化目標(biāo)的多部件系統(tǒng)維修已得到廣泛認可，但以往的研究分析中，忽略了維修策略帶來的系統(tǒng)績效，且較少有文獻將系統(tǒng)績效與多部件維修策略相結(jié)合；其次，大多數(shù)文獻僅在理論上研究PBC 和T&MC 合同對維修策略的影響，并沒有通過具體模型構(gòu)建，來驗證性能合同與維修策略的聯(lián)合優(yōu)化，將促進系統(tǒng)可用度的提高，以及使維修商獲取更理想化的利潤。

綜上，本文以多部件串聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，基于韋伯（Weibull）分布描述系統(tǒng)各部件使用壽命分布，判斷各部件使用壽命情況，采取不同的維修策略，即預(yù)防維修、事后維修和機會維修，進一步求解各維修策略的概率；同時依據(jù)單位更新周期內(nèi)的不同維修次數(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)各部件總運行時間與停機時間，獲得系統(tǒng)可用度大小，創(chuàng)新性地將供應(yīng)商利潤、成本、收益函數(shù)與系統(tǒng)可用度相結(jié)合；并以機會維修閾值和預(yù)防性維修閾值為決策變量，建立基于PBC 模式下多部件系統(tǒng)維修策略模型。該模型既有助于供應(yīng)商與運營商共同參與制定系統(tǒng)維修策略，同時又實現(xiàn)了以數(shù)學(xué)模型的落實來激勵供應(yīng)商不斷提高維修質(zhì)量與效率。

1 問題描述及建模

1.1 問題描述

一般多部件系統(tǒng)的維修策略模型以平均維修成本最小化為優(yōu)化目標(biāo)，但實際生產(chǎn)中，各維修成本的數(shù)據(jù)并不容易獲得；其次，在實際生產(chǎn)過程中，大型設(shè)備客戶對系統(tǒng)性能績效更敏感，不只是追求維修成本最低?；赑BC 模式下的多部件系統(tǒng)維修策略模型以部件壽命變化值為出發(fā)點，依據(jù)單位周期內(nèi)的實際維修策略，得出平均故障時間和平均運行時間，進一步得出系統(tǒng)可用性和維修成本，最終建立以供應(yīng)商利潤為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在合理范圍內(nèi)逐漸實現(xiàn)決策目標(biāo)最優(yōu)化。

本文研究對象為多部件串聯(lián)系統(tǒng)如圖1，任何一個部件故障將會導(dǎo)致系統(tǒng)停機。該模型使用韋伯分布描述多部件串聯(lián)系統(tǒng)的各部件壽命分布，通過檢測系統(tǒng)各部件的使用壽命情況，比較與預(yù)防性維修閾值和機會維修閾值兩個決策變量的大小，確定部件是否需要維修以及如何實施維修活動。假設(shè)部件i的使用壽命函數(shù)分布服從韋伯分布，βi為形狀參數(shù)，αi為尺度參數(shù)。其概率密度函數(shù)為：

當(dāng)部件i的使用時間超過預(yù)防維修閾值ηi時，采取預(yù)防維修策略。部件在兩個時間間隔[0，wi)和[wi，ηi]內(nèi)，存在不同的事后維修可能性：第一，當(dāng)部件i在[0，wi)期間內(nèi)故障停機，它一定是由隨機故障造成，對其實施事后維修，不存在機會維修的可能性；第二，在[wi，ηi]期間，部件可能被實施機會維修或事后維修。當(dāng)部件i被實施預(yù)防維修和事后維修時，如果其他的任一部件的使用壽命達到或超過wi，且低于ηi時，此部件執(zhí)行機會維修。

圖1 多部件串聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-component series system

1.2 符號說明

A：系統(tǒng)可用度；

Ai：部件i的可用度；

Amin：系統(tǒng)最小可用度；

wi：機會維修閾值；

ηi：預(yù)防維修閾值；

M：壽命失效閾值；

TL：單位更新周期時間；

E(Npi)：單位更新周期內(nèi)預(yù)防維修的次數(shù)；

E(Noi)：單位更新周期內(nèi)機會維修的次數(shù)；

E(Nci)：單位更新周期內(nèi)事后維修的次數(shù)；

E(tpi)：單次預(yù)防維修時間；

E(toi)：單次機會維修時間；

E(tci)：單次事后維修時間；

E(Tup)：單位更新周期內(nèi)系統(tǒng)運行時間；

E(Td)：單位更新周期內(nèi)系統(tǒng)故障時間；

δi：部件i的機會維修參數(shù)；

λpi：部件i的預(yù)防維修率；

λci：部件i的事后維修率；

λoi：部件i的機會維修率；

Cs：維修建立成本；

Cd：單位時間內(nèi)停機成本；

Cpi：部件i的預(yù)防維修成本；

Cci：部件i的事后維修成本；

Coi：部件i的機會維修成本；

Cdi：部件i的停機成本；

C(wi，ηi)：系統(tǒng)總維修成本；

Pi(p)：部件i的預(yù)防維修概率；

Pi(c)：部件i的事后維修概率；

Pi(o)：部件i的機會維修概率；

P(w，η)：供應(yīng)商所獲利潤；

R(A)：供應(yīng)端所獲收益；

fi(t)：部件i壽命函數(shù)的概率密度函數(shù)；

Fi(t)：部件i壽命函數(shù)的累積分布函數(shù)；

gi(wi，t)：部件i機會維修時間的概率密度函數(shù)；

Gi(wi，t)：部件i機會維修時間的累積分布函數(shù)。

1.3 假設(shè)

1）系統(tǒng)中的所有部件初始為全新狀態(tài)。每個部件之間僅存在經(jīng)濟獨立性，即任意部件故障不會影響其他部件。

2）所有維修行動認為是完美維修，即當(dāng)故障部件經(jīng)過維修以后恢復(fù)全新狀態(tài)。

3）部件i的單次維修時間：tci＞tpi＞toi。停機時間主要取決于事后維修和預(yù)防維修。

4）部件i的事后維修成本遠大于預(yù)防維修成本，機會維修成本小于預(yù)防維修成本，即Cci＞Cpi＞Coi。

5）有足夠的備件、工具庫存和維修工人確保維修行動正常進行。

6）部件i的事后維修時間、預(yù)防維修時間和機會維修時間分別遵循參數(shù)為δi的指數(shù)分布。

1.4 模型建立

多部件系統(tǒng)維修決策問題是選擇合理的預(yù)防維修閾值和機會維修閾值，實現(xiàn)維修活動的最優(yōu)化。閾值過低會增加系統(tǒng)的可靠性，但過度維修會加大維修成本，造成資源浪費；閾值過高可以降低維修成本，但伴隨增加系統(tǒng)故障風(fēng)險。本文從經(jīng)濟性角度出發(fā)，通過選擇最佳的閾值ηi和wi，使系統(tǒng)可用度達到最大，供應(yīng)商所獲利潤最高。

PBC 模式下以利潤為中心的多部件系統(tǒng)維修策略模型需要將供應(yīng)商所提供績效、維修總成本和收益三大目標(biāo)統(tǒng)一為一體，在建立的模型中，供應(yīng)商收益直接取決于系統(tǒng)可用度的大小。售后服務(wù)利潤由供應(yīng)商收益與維修成本之差所得，其由系統(tǒng)可用度和維修成本共同決定。對供應(yīng)商而言，維修費用小但為運營商帶來的服務(wù)效果差，將不能從客戶手中得到可觀利潤；服務(wù)性能好但維修成本高，也同樣獲取不了最佳利潤。因此，以最大化供應(yīng)商利潤為目標(biāo)函數(shù)，建立一個維修成本與服務(wù)績效二者相平衡的維修優(yōu)化模型。

設(shè)T0為合同有效時間段，TL為單位更新周期長，假設(shè)系統(tǒng)是由n(n=1，2，…)個不同的部件串聯(lián)組成，供應(yīng)商在合同期內(nèi)的期望利潤可表達為：

其中：對于Pm(w，η)，當(dāng)m=1時表示收益函數(shù)呈線性變化；當(dāng)m=2 時收益函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；wi表示機會維修時間閾值；ηi表示預(yù)防維修時間閾值。

1.4.1 性能合同指標(biāo)

1）供應(yīng)商收益。

目前，系統(tǒng)可用度與收益線性相關(guān)理論已被廣泛應(yīng)用。Gibbons［17］已經(jīng)提出系統(tǒng)可用度與收益之間的理論關(guān)系成線性。Nowicki 等［18］指出收益函數(shù)為a+b×A，其中a表示合同的固定值以保證補償供應(yīng)商的基礎(chǔ)成本，b×A表示性能合同對供應(yīng)商維修效益的激勵。在合同T0時間段內(nèi)的線性收益函數(shù)為：

其中：δ、γ表示指數(shù)參數(shù)模型中的激勵參數(shù)；Amin表示供應(yīng)商需達到的最小系統(tǒng)可用度。在上述兩個模型中，當(dāng)系統(tǒng)可用度超過最小可用度時，供應(yīng)商將會得到額外的獎勵?？捎枚仍礁撸?yīng)商得到的獎勵越多；否則，當(dāng)系統(tǒng)可用度低于最小值時，供應(yīng)商會得到懲罰。

2）系統(tǒng)可用度。

在生產(chǎn)系統(tǒng)中，系統(tǒng)運行可用度是一個非常重要的指標(biāo)系數(shù)，一般使用兩種方式增加系統(tǒng)可用度：第一，增加系統(tǒng)平均運作時間；第二，減少平均故障維修時間。本文主要通過優(yōu)化機會維修閾值和預(yù)防維修閾值減少系統(tǒng)停機，提高系統(tǒng)可用度。結(jié)合上述討論，部件i的可用度是由停機時間和合同有效期決定，可視為總運行時間與單位更新周期時間長的比值：

其中：E(tpi)、E(tci)和E(toi)分別表示一次預(yù)防維修、事后維修和機會維修需要的時間，由實際案例獲得。進一步，作為一個串聯(lián)系統(tǒng)，可得系統(tǒng)可用度為：

3）維修總成本。

系統(tǒng)涉及的費用有預(yù)防性維修成本、事后維修成本、機會維修成本、維修準(zhǔn)備成本和停機損失成本。在單位更新周期內(nèi)的期望成本表達為：

1.4.2 維修策略模型

本文采用三種維修方法：預(yù)防維修、事后維修和機會維修。實際情況中，根據(jù)系統(tǒng)部件所處的不同狀態(tài)，采取不同的維修措施。事后維修用于由突然和意外故障造成的系統(tǒng)停機。預(yù)防維修是通過判斷系統(tǒng)狀態(tài)與兩個維修閾值的關(guān)系，提前實施以保持系統(tǒng)可靠度，避免事后維修發(fā)生的可能性。較多的預(yù)防維修可以使系統(tǒng)擁有較高的可靠度和較少的事后維修次數(shù)；但它占據(jù)更多的運行時間，消耗更多資源。因此，機會維修則是一個可以平衡時間和預(yù)防維修成本的維修方法。當(dāng)其他部件進行預(yù)防和事后維修時，對此部件采用機會成組維修。在多部件系統(tǒng)維修中，機會維修可以減少拆卸和裝配等時間，節(jié)約相關(guān)成本。

部件i的三個維修率通過乘以相關(guān)維修概率得到，總維修率可以通過運行時間獲得。在得到所有部件的三個維修率后，維修的總次數(shù)和總時間便可依次求出。相關(guān)的維修率依次表示為：λpi、λci、λoi。

下面詳細介紹三種維修方法：

1）機會維修。

機會維修策略是在考慮部件之間經(jīng)濟相關(guān)性的基礎(chǔ)上，將各個部件的維修策略組合起來，提高系統(tǒng)可用度并節(jié)約維修成本的一種維修方法。當(dāng)一個故障部件實施預(yù)防或事后維修時，系統(tǒng)中的其他任一部件使用度滿足機會維修條件時，對其采取機會維修。因此，部件i的機會維修參數(shù)為：

本文主要目的是優(yōu)化機會維修閾值wi，當(dāng)其他的任一部件被預(yù)防維修或事后維修時，如果部件i的使用度達到或超過wi，且低于ηi時，部件i執(zhí)行機會維修。基于可靠性理論，部件i的機會維修時間服從參數(shù)為δi的指數(shù)分布。部件i的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)為：

綜上，部件i的機會維修行動發(fā)生在時間間隔[wi，ηi]內(nèi)。根據(jù)式（10）～（11），得出部件i實施機會維修的概率為：

得到部件i實施機會維修的概率后，在合同T0時間段內(nèi)，完成機會維修的期望次數(shù)為：

其中：λi表示部件i的總維修率，λi=λpi+λci+λoi。

2）事后維修。

部件在[0，wi)和[wi，ηi]兩個時間間隔內(nèi)，存在不同的維修策略，事后維修的概率由兩部分時間間隔內(nèi)的維修概率之和得到：第一，當(dāng)部件i在[0，wi)期間故障停機，它一定是由隨機故障造成，對其實施事后維修；第二，在[wi，ηi]期間，部件可能被實施機會維修或事后維修。因此，單位更新周期內(nèi)的事后維修概率為：

一旦發(fā)生故障，系統(tǒng)將會停機，隨之對部件進行事后維修。這就伴隨產(chǎn)生維修啟動成本Cs，事后維修成本費Cci和停工成本損失Cdi，Cdi=E(tci)×Cd，Cd為單位時間停工成本損失，即實施預(yù)防維修的成本為三者之和。

3）預(yù)防維修。

當(dāng)部件i的使用度超過預(yù)防維修閾值ηi時，采取預(yù)防維修策略，即實施預(yù)防維修的概率為：

進一步推出在合同T0時間內(nèi)，預(yù)防維修的期望次數(shù)為：

同理，當(dāng)對部件i實施預(yù)防維修時，伴隨產(chǎn)生三種維修成本：維修準(zhǔn)備成本Cs、預(yù)防維修成本Cpi和停工成本損失Cdi，Cdi=E(tpi)×Cd，即實施預(yù)防維修的成本為三者之和。

4）單位更新周期。

單位更新周期由期望運行時間和期望故障時間組成。部件i的維修率由單位更新周期得到，單位更新周期是部件i維修率的倒數(shù)。依據(jù)更新過程理論，部件i的期望運行時間為：

2 模型求解

2.1 灰狼優(yōu)化算法過程

從目標(biāo)函數(shù)可以看出，該模型是一種復(fù)雜的多變量優(yōu)化問題，非線性的函數(shù)求解從理論上很難得到分析結(jié)果。而灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimizer，GWO）算法是一種新型群智能優(yōu)化算法，它通過跟蹤定位、包圍和捕擊行為獲取獵物，具有極強的群體智能優(yōu)化特性［19］。相較于普遍用于優(yōu)化目標(biāo)模型的遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法和灰狼優(yōu)化算法具有結(jié)果更簡單、需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少、計算更快捷的特點，能夠在局部求最優(yōu)解和全局求最優(yōu)解實現(xiàn)平衡，因此在求解過程中往往具有更高的精度和效率。為了增加搜索效率，依據(jù)實際經(jīng)驗確定機會維修閾值w和預(yù)防性維修閾值η的取值范圍，滿足η，w∈(0，M)。具體算法步驟如下：

a）初始化灰狼數(shù)量S、灰狼種群Y={Y1，Y2，…，YS}，每個灰狼個體位置D由閾值η和閾值w組成、最大迭代數(shù)次數(shù)T，首先令迭代次數(shù)t=1。

b）把平均維修利潤率p(w，η)作為個體適應(yīng)度函數(shù)，即f=p(w，η)，計算各灰狼個體的適應(yīng)度值fi(i=1，2，…，S)。尋找fi值處于前三位的個體Q1、Q2、Q3。

c）計算GWO 算法的收斂因子w=2 -2 tan4(π/4t)，并更新系數(shù)向量A=2w·r1-w和B=2r2；其中r1和r2為[0，1]內(nèi)的隨機向量。

d）遍歷灰狼種群，開始逮捕。分別更新前三個體Q1、Q2、Q3的位置，即

2.2 基于灰狼優(yōu)化算法的維修策略模型求解

以利潤為中心的多部件系統(tǒng)維修策略模型是一種復(fù)雜的多變量優(yōu)化問題。其中，充分有效地利用每一個決策變量的覆蓋能力，合理布局每個變量的位置，適當(dāng)調(diào)整決策變量的參數(shù)，不僅能夠獲取所需的信息，還能夠減少兩個決策變量之間相互的干擾，產(chǎn)生理想化的經(jīng)濟效應(yīng)，并且提高系統(tǒng)的整體效能。將灰狼優(yōu)化算法應(yīng)用于多部件系統(tǒng)維修策略模型的具體步驟如下：

1）在設(shè)置區(qū)域內(nèi)隨機預(yù)設(shè)期望利潤，并在該決策目標(biāo)識別范圍內(nèi)讀取所有可以讀取到的信息，并對所得數(shù)據(jù)預(yù)處理。

2）初始化參數(shù)：期望利潤的數(shù)量S、系數(shù)向量A和B、隨機向量r1、r2、最大迭代次數(shù)T，隨機部置目標(biāo)變量利潤的位置（灰狼的初始解位置）。

3）以新型績效模型為基礎(chǔ)，建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，并計算此時每個目標(biāo)函數(shù)利潤率的適應(yīng)度值，由此選定位于前三位置的3個利潤度，并利用其位置信息更新其他應(yīng)變量的位置。

4）獵物表示在可接受范圍內(nèi)可能放置目標(biāo)變量位置的解，灰狼有機會從各個方向包圍獵物，即在有效范圍內(nèi)，系統(tǒng)維修的最佳利潤度可能放置在每個潛在的位置；引入改進型灰狼優(yōu)化算法，利用慣性常數(shù)策略更新各參數(shù)值，借助各個系數(shù)的調(diào)整平衡算法的搜索輸出能力。

5）利用目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度最高的位置作為最優(yōu)等級的灰狼，迫使其他灰狼向此等級密集的方向移動，以覆蓋更多的變量數(shù)。將所有更新后的灰狼個體信息作為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的位置信息，利用目標(biāo)函數(shù)計算每個期望利潤的適應(yīng)度值，將其中前三個體作為新一次迭代過程中的Q1、Q2、Q3目標(biāo)灰狼，更新其他灰狼的位置。迭代次數(shù)t=t+1；判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否大于最大迭代次數(shù)T，若未達到，繼續(xù)更新灰狼位置，直至達到最大迭代次數(shù)T。此時提取出每個灰狼個體所在獵物的位置信息，并將其作為系統(tǒng)維修策略優(yōu)化部署的結(jié)果。

6）在GWO迭代一定次數(shù)后，若有些灰狼個體在局部極值點出現(xiàn)較密集的聚攏情況時，則對其他等級的灰狼狀態(tài)進行高斯變異，分開干擾較強的參數(shù)，以求得更佳的目標(biāo)函數(shù)利潤值。

7）直到達到迭代次數(shù)或者遍歷所有最佳利潤潛在的位置時，找到目標(biāo)函數(shù)表現(xiàn)最好的解，否則返回步驟4）。

圖2 灰狼優(yōu)化算法流程Fig.2 Flowchart of grey wolf optimizer algorithm

3 案例分析

3.1 算法求解對比

本模型考慮系統(tǒng)由4 個關(guān)鍵部件組成，為了簡便化，對部件從1～4 分別編號。詳細的參數(shù)信息從實際案例獲得，合同期限認定為10 年，即T0=10，最小的系統(tǒng)可用度設(shè)為0.85。從倉庫到發(fā)電廠的距離為800 m。在線性收益函數(shù)里，兩個激勵參數(shù)設(shè)置為a=17萬元，b=1 200萬元。為了和線性收益函數(shù)比較，指數(shù)收益函數(shù)的兩個激勵參數(shù)設(shè)為14 和10，并依據(jù)實際經(jīng)驗設(shè)立兩個閾值范圍為w∈(0，50)，η∈(50，80)。

將以上參數(shù)代入利潤目標(biāo)函數(shù)的表達式，利用灰狼優(yōu)化算法求解每單位時間的平均利潤率。算法模型中，最大迭代次數(shù)設(shè)為70，種群規(guī)模設(shè)為45?；依侨后w在搜索過程中獲取與最優(yōu)解相關(guān)的信息，跟蹤、包圍和捕擊等步驟，使灰狼個體不斷向最優(yōu)解區(qū)域靠攏。求解中，灰狼優(yōu)化算法的初始種群在解析空間內(nèi)隨機分布，隨著種群的迭代，個體逐步向最優(yōu)解靠攏。經(jīng)過25 次種群迭代，確立了系統(tǒng)維修策略的最優(yōu)解，找到了不同激勵模型下的最佳決策變量(wi，ηi)，并進一步推出最佳利潤p，系統(tǒng)可用度A和系統(tǒng)收益R，具體結(jié)果分析見3.2節(jié)。求解模型所用的相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 部件相關(guān)參數(shù)Tab.1 Component related parameters

首先，為了驗證改進灰狼優(yōu)化算法在多部件系統(tǒng)組合維修模型應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性，將其與普遍應(yīng)用的遺傳算法、粒子群算法進行比較分析。在實驗過程中，將80 個隨機分布的變量個體放置在工作區(qū)域，然后分別用算法進行優(yōu)化，比較結(jié)果如圖3所示。

通過比較可以得到：在相同的條件下，分別對灰狼優(yōu)化算法、遺傳算法和粒子群算法進行模擬分析。在圖3 中，可用的灰狼個體被標(biāo)記為圓，散落在區(qū)域里的點表示隨機放置的變量位置。在有10 個可用的利潤度的條件下，GA 覆蓋了80 個變量位置中的65 個（81.2%），PSO 算法涵蓋了80 個隨機位置中的71 個（88.7%），部分灰狼個體產(chǎn)生了干擾，但是參數(shù)變量并沒有被多個灰狼捕獲，說明該算法的負載平衡得到了充分的考慮。其中：GWO 算法在實驗中覆蓋了74個（92.5%）變量位置，無任何的干擾，并且讀取了更多的灰狼個體，說明本文算法在保證覆蓋率的基礎(chǔ)上避免了個體之間的干擾，綜合性能優(yōu)于參與對比的兩種傳統(tǒng)算法。

在適應(yīng)度函數(shù)值上，適應(yīng)度函數(shù)值越大，說明算法的效果越好。實驗結(jié)果表明，在70 次迭代中，基于線性函數(shù)模型下，GA 得到的最佳適應(yīng)度函數(shù)值（即最佳利潤）為1 292.8，粒子群算法的最佳適應(yīng)度函數(shù)值為1 378.6，而灰狼優(yōu)化算法的最佳適應(yīng)度函數(shù)值達到了1 425.18。通過調(diào)整10個可用灰狼個體覆蓋更多標(biāo)簽并獲得加權(quán)和目標(biāo)的更好的適應(yīng)度值，GWO表現(xiàn)優(yōu)于對比算法。

圖3 在隨機分布的80個個體上GA、PSO和GWO的實驗結(jié)果Fig.3 Experimental results of GA，PSO and GWO on 80 randomly distributed individuals

3.2 結(jié)果分析

從表2 可看出：在相同的參數(shù)輸入下，相比傳統(tǒng)的以維修費用最小化為目標(biāo)的維修策略，雖然以利潤為中心的績效模型策略，所用維修成本率略高，但帶來的系統(tǒng)可用度更大，所獲利潤率也更高。明顯地，當(dāng)可用度與收益呈線性變化時，前者所用維修成本率低于后者23個百分點，可用度低于1.73個百分點，但后者所獲利潤率高達25.3%，高出傳統(tǒng)成本模型利潤率5.2%。其次，當(dāng)可用度與收益呈指數(shù)函數(shù)變化時，傳統(tǒng)模型成本率低于績效模型10.91個百分點，可用度低于1.4個百分點，后者所獲利潤卻高達19.1%，高出傳統(tǒng)成本模型利潤率7.4%。所以綜上，基于三個模型評判標(biāo)準(zhǔn)，以利潤為中心的新型績效模型更能為供應(yīng)商帶來理想化收益。

從表3 可看出，針對最佳機會維修閾值w和預(yù)防性維修閾值η，后者值明顯更大，即在單位更新周期內(nèi)，檢測次數(shù)與維修次數(shù)較少，使系統(tǒng)壽命得到充分發(fā)揮，也是利潤更高的來源之一。明顯地，在線性收益函數(shù)里，績效性能模型的預(yù)防維修閾值高于傳統(tǒng)模型約50.6 個單位，但其機會維修閾值相對更低，約低5.7 個單位，意味著新型模型可通過增加機會維修的次數(shù)從而減少預(yù)防維修和事后維修的時間，系統(tǒng)停機的次數(shù)更少，進一步提高了系統(tǒng)可用度，從而實現(xiàn)提高利潤的目的。同理在指數(shù)收益函數(shù)里分析理論結(jié)果亦是如此。

表2 不同收益函數(shù)下三大評判標(biāo)準(zhǔn)值Tab.2 Three evaluation standard values under different income functions

表3 四個部件在不同收益函數(shù)下的最優(yōu)維修閾值Tab.3 Optimal maintenance thresholds of four components under different revenue functions

系統(tǒng)可用度是評判傳統(tǒng)模型和績效模型所帶來設(shè)備可靠度大小的重要指標(biāo)之一。從表4～5 可以看出，所提模型的系統(tǒng)可用度遠高于傳統(tǒng)模型。其次對于傳統(tǒng)模型，系統(tǒng)可用度不受任何激勵參數(shù)的改變而改變；對于績效模型，在線性收益函數(shù)里，系統(tǒng)績效不受激勵參數(shù)a影響，但會隨著參數(shù)b的增加而增加，當(dāng)b=32 600 萬元時，系統(tǒng)可用度達到0.981 5。在指數(shù)收益函數(shù)里，兩個激勵參數(shù)(r，δ)均對系統(tǒng)績效產(chǎn)生影響。尤其當(dāng)參數(shù)r從13.5 到15 增加時，系統(tǒng)可用度增加了13個百分點；而參數(shù)b則對系統(tǒng)績效產(chǎn)生較小的影響。

綜上，在實際生產(chǎn)中，相較于以成本為目標(biāo)函數(shù)的傳統(tǒng)模型，所提模型不僅促使供應(yīng)商提供更好的服務(wù)質(zhì)量與效率，同時保證了維修成本在運營商可接受的范圍之內(nèi)，所以當(dāng)收益與系統(tǒng)平均可用度呈指數(shù)函數(shù)變化的情況下，以利潤為中心的新型績效模型更能雙方帶來理想化效果，實現(xiàn)運營商與供應(yīng)商二者利潤點的平衡。

表4 線性收益函數(shù)下不同激勵參數(shù)產(chǎn)生的系統(tǒng)可用度Tab.4 System availability based on different excitation parameters under linear income function

表5 指數(shù)收益函數(shù)下不同激勵參數(shù)產(chǎn)生的系統(tǒng)可用度Tab.5 System availability based on different excitation parameters under exponential income function

3.3 敏感度分析

為了分析收益激勵參數(shù)r、η對三個評判標(biāo)準(zhǔn)的敏感程度，基于指數(shù)收益函數(shù)，計算不同激勵參數(shù)下，傳統(tǒng)模型與所提績效模型的三個評判標(biāo)準(zhǔn)變化趨勢。本文通過改變其中一個參數(shù)，固定其余參數(shù)的辦法，分析不同參數(shù)對可用度，與維修總成本的影響。一般情況下，維修費用滿足Coi＜Cpi＜Cci，激勵參數(shù)范圍r∈(10，20)，δ∈(8，10)，r值以1 個單位從10 到20變化，δ值以0.2個單位從8到10變化，其余參數(shù)保持不變。

從圖4 看出，隨著激勵參數(shù)r、δ的增加，成本也在增加，績效模型下的維修成本對δ值的變化最敏感，呈明顯遞增趨勢。r、δ對傳統(tǒng)模型成本無影響，但績效模型產(chǎn)生的維修成本略高于傳統(tǒng)模型，由3.2 節(jié)分析結(jié)果可知，為了保持較高的系統(tǒng)可用度適當(dāng)增加維修成本是合理的。

圖4 不同激勵參數(shù)下的維修成本變化Fig.4 Maintenance cost changing with different excitation parameters

圖5 代表兩種模型在不同激勵參數(shù)下產(chǎn)生的系統(tǒng)可用度值，可看出績效模型產(chǎn)生的系統(tǒng)可用度明顯高于傳統(tǒng)模型，高出值將近0.25。當(dāng)r值以1 個單位從10 到20 變化時，基于PBC 模式下的系統(tǒng)可用度呈平穩(wěn)增長趨勢，大約比傳統(tǒng)模型高出2 個百分點；當(dāng)δ值以0.2 個單位從8 到10 變化時，所提模型的系統(tǒng)可用度比傳統(tǒng)模型高出近1.7 個百分點。r、δ的改變對傳統(tǒng)模型下的成本無影響。因此，對于新型績效模型，增加r值是一種有效提高系統(tǒng)運行可用度的方式。

圖5 不同激勵參數(shù)產(chǎn)生的系統(tǒng)可用度Fig.5 System availability generated by different excitation parameters

從圖6～7 可看出：隨著兩個參數(shù)的增大，系統(tǒng)收益逐漸增大，即供應(yīng)商的維修能力和運營商獎勵程度決定維修效率本身；其次，在不同激勵參數(shù)影響下，所提模型的收益率遠高于傳統(tǒng)模型。因此，驗證了對于多部件系統(tǒng)，績效模型比傳統(tǒng)成本模型更有效。

圖6 隨著不同參數(shù)r改變的系統(tǒng)收益Fig.6 System revenue changing with different parameters r

圖7 隨著不同參數(shù)δ改變的系統(tǒng)收益Fig.7 System revenue changing with different parameters δ

4 結(jié)語

本文針對多部件串聯(lián)系統(tǒng)，以供應(yīng)商利潤為中心，建立了基于PBC 模式下多部件系統(tǒng)維修策略模型，采用灰狼優(yōu)化算法對模型進行求解，數(shù)值分析表明：相對于傳統(tǒng)成本模型，新型績效模型可帶來更高的系統(tǒng)可用度和利潤率，同時得出指數(shù)收益函數(shù)比線型收益函數(shù)更有效。本文中的新型績效模型和灰狼優(yōu)化算法、數(shù)值分析結(jié)論能為運營商和供應(yīng)商共同制定維修策略提供有效決策支持，在提高供應(yīng)商售后服務(wù)效率的同時，加大運營商運營規(guī)模和利潤率，從而促進傳統(tǒng)制造業(yè)完成由賣產(chǎn)品到賣服務(wù)的新型轉(zhuǎn)變。未來研究在此維修策略模型基礎(chǔ)上，可拓展到庫存持有成本、采購成本等多個維修成本參數(shù)的加入，此外對研究系統(tǒng)可拓展為串并聯(lián)，并聯(lián)等更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，并考慮性能合同隨著時間的推移，不斷作出階段性調(diào)整，以更符合運營商與供應(yīng)商雙方實際需要。