陳 晨 陶建鋒 鄭桂妹

(1. 空軍工程大學(xué)研究生學(xué)院, 陜西西安 710051; 2. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西西安 710051)

1 引 言

MIMO雷達(dá)[1-2]本質(zhì)上是將通信領(lǐng)域中的多輸入多輸出技術(shù)應(yīng)用到雷達(dá)領(lǐng)域,進(jìn)而和數(shù)字陣列雷達(dá)技術(shù)進(jìn)行優(yōu)勢互補(bǔ)所形成的一種新型雷達(dá)。MIMO雷達(dá)由于采用了波形分集技術(shù),和傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比,其具有抗干擾能力強(qiáng)、分辨率高、多目標(biāo)跟蹤能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),這引起了國內(nèi)外研究人員的高度關(guān)注。根據(jù)收發(fā)陣元的距離,MIMO雷達(dá)可以分為兩大類:集中式MIMO雷達(dá)和分布式MIMO雷達(dá)。集中式MIMO雷達(dá)收發(fā)天線各單元相距較近,主要利用波形分集和多通道相干性,進(jìn)而擴(kuò)展陣列虛擬孔徑,提高角度分辨率和抗干擾能力。分布式MIMO雷達(dá)收發(fā)天線距離較遠(yuǎn),每對收發(fā)天線均可以當(dāng)作一組雙基地雷達(dá),利用目標(biāo)回波的空間分集增益,可以提高角閃爍目標(biāo)的檢測性能。

本文主要研究集中式單基地MIMO雷達(dá)的波達(dá)方向(Direction-Of-Arrival, DOA)估計(jì)問題,這是雷達(dá)信號處理領(lǐng)域的重點(diǎn)與難點(diǎn),廣受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。由于MIMO雷達(dá)具有常規(guī)陣列雷達(dá)所沒有的優(yōu)勢(抗干擾能力強(qiáng)、分辨率高、多目標(biāo)跟蹤能力強(qiáng)),所以眾多研究人員開始關(guān)注并研究MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)方法,在MIMO雷達(dá)的基礎(chǔ)上提出了許多新的、更有效的DOA估計(jì)方法[3-15]。文獻(xiàn)[3]提出了一種譜值優(yōu)選算法,該算法抑制了目標(biāo)閃爍且提高了DOA估計(jì)精度。文獻(xiàn)[4-5]將ESPRIT算法應(yīng)用到了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中,該方法可以有效地估計(jì)出信號的波達(dá)角,且運(yùn)算量較小。文獻(xiàn)[6]將MUSIC算法應(yīng)用到MIMO雷達(dá)中,在一定程度上降低了算法復(fù)雜度且獲得了不錯的DOA估計(jì)精度,但是MUSIC算法需要進(jìn)行譜峰搜索,因此該算法計(jì)算量仍然較高。針對該問題,文獻(xiàn)[7]提出了一種基于MIMO雷達(dá)低復(fù)雜度的求根MUSIC算法,其計(jì)算量顯著下降,但是DOA估計(jì)精度也隨之下降。此外可以發(fā)現(xiàn)上述算法均假設(shè)目標(biāo)是不相干的,但是在實(shí)際應(yīng)用中存在大量相干目標(biāo),而最大似然估計(jì)算法可以有效的解決相干信源問題。因此文獻(xiàn)[8-9]將最大似然估計(jì)算法應(yīng)用到MIMO雷達(dá)上面,解決了相干信源問題,但最大似然估計(jì)算法需要參數(shù)搜索,算法復(fù)雜度較高,不利于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。文獻(xiàn)[10-11]將雙向空間平滑算法與MIMO雷達(dá)相結(jié)合,取得了不錯的解相干能力,但其解相干能力是以犧牲陣元數(shù)目為代價(jià)獲得,陣列孔徑有一定的損失。極化平滑算法具有解相干的能力,且不損失陣列孔徑,因此文獻(xiàn)[12]提出了一種基于MIMO雷達(dá)的極化平滑廣義MUSIC算法,解決了低仰角多徑相干問題,且精度較高,這表明了極化平滑算法在MIMO雷達(dá)中可以獲得好的解相干能力。MIMO雷達(dá)具有波束數(shù)目較多、波束駐留時(shí)間長等特點(diǎn),因此利用MIMO雷達(dá)進(jìn)行DOA估計(jì),其計(jì)算量天然的大于普通陣列雷達(dá)。針對這個(gè)問題文獻(xiàn)[13]提出了一種降維ESPRIT算法,該算法降低了MIMO雷達(dá)導(dǎo)向矢量維度,進(jìn)而使得MIMO雷達(dá)復(fù)雜度變低,但是該算法完全在復(fù)數(shù)域進(jìn)行,沒有充分利用共軛接收數(shù)據(jù),角度估計(jì)精度有待提高。文獻(xiàn)[14]將酉ESPRIT算法[15]應(yīng)用于MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)中,該算法利用酉矩陣對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)值處理使其變?yōu)閷?shí)數(shù)數(shù)據(jù),且利用了共軛接收數(shù)據(jù)。

文獻(xiàn)[16]提出了一種降維酉ESPRIT算法,該算法即降低了運(yùn)算復(fù)雜度又有較高的測角精度,但該算法沒有考慮相干信號源。此外,文獻(xiàn)[13-14]中的算法均不能估計(jì)相干信源仰角,不夠貼合實(shí)際。本文為了與實(shí)際需求貼合,在達(dá)到好的解相干能力的同時(shí)降低運(yùn)算量,提出了一種基于極化平滑的降維酉ESPRIT算法:首先利用降維變換矩陣將接收信號數(shù)據(jù)由高維矩陣變?yōu)榈途S矩陣,然后利用降維后的接收信號數(shù)據(jù)構(gòu)造出一個(gè)中心復(fù)共軛對稱矩陣,對降維后的接收信號矩陣進(jìn)行實(shí)值處理,接下來對其進(jìn)行極化平滑解相干處理,最后構(gòu)造出旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系式實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。此外酉ESPRIT算法可以使數(shù)據(jù)樣本加倍[14],因此本文算法可以獲得更好的DOA估計(jì)精度。

2 信號模型

(1)

gp為第p個(gè)目標(biāo)的極化導(dǎo)向矢量[17]:

(2)

式中l(wèi)=1,...,L;?為Kron積;sp(p=1,...,P)為空間入射的P個(gè)相干窄帶信號,其值為復(fù)常數(shù),表達(dá)式為sp=αps1,p=1,...,P,αp=|αp|ejξp其幅值與相位分別代表第p個(gè)信號相對于第一個(gè)信號的幅度衰落與相位差;βp為第p個(gè)目標(biāo)的復(fù)反射系數(shù)。θp表示第p個(gè)目標(biāo)的波達(dá)角;Nl為匹配濾波后的高斯白噪聲。

式中0≤γp<π/2和-π≤ηk<π為信號極化參數(shù),令G=[g1,...,gP],其為極化導(dǎo)向矢量;φp為方位角,本文只考慮測俯仰角,所以在本文中將其視為先驗(yàn)信息并設(shè)其值φp=90°。發(fā)射陣列的第p個(gè)目標(biāo)的空間導(dǎo)向矢量為:

at(θp)=[at1(θp),at2(θp),...,atM(θp)]T=
[1,e-j2πdtsin θp/λ,...,e-j2π(M-1)dtsin θp/λ]T

(3)

接收陣列的第p個(gè)目標(biāo)空間導(dǎo)向矢量為:

ar(θp)=[ar1(θp),ar2(θp),...,arN(θp)]T=
[1,e-j2πdrsin θp/λ,...,e-j2π(N-1)drsin θp/λ]T

(4)

令

A(θ,γ,η)=[g1?ar(θ1)?at(θ1),...,gP?ar(θP)?at(θP)]

(5)

則式(1)可以簡化為:

yl=A(θ,γ,η)cl+Nl

(6)

式(6)中cl=[β1s1,β2s2,...,βPsP]T。收集L個(gè)快拍的yl數(shù)據(jù),形成矩陣Y,記為:

Y=AC+N(t)

(7)

3 極化平滑降維酉ESPRIT算法

3.1 降維處理

接收陣元由K=6個(gè)分量構(gòu)成,現(xiàn)在考慮相同極化類型的分量的輸出為:

Y(k)=BG(k)C+N(k)(t)

(8)

G(k)=diag(g1(k),...gP(k))為極化導(dǎo)向矢量G的第k個(gè)分量,B=ar(θ)?at(θ);Y(k)表示MN維的接收信號矢量,把接收極化敏感陣列分解為K個(gè)子陣。

對聯(lián)合導(dǎo)向矢量B=ar(θ)?at(θ)進(jìn)行觀察后可以發(fā)現(xiàn),此導(dǎo)向矢量實(shí)際上是由Ne=M+N-1[12]個(gè)不同的元素線性組合而成:

B=ar(θ)?at(θ)=Td(θ)

(9)

d(θ)=[1,e-j2πdtsin θp/λ,...,e-j2π(Ne-1)dtsin θp/λ]T

(10)

d(θ)表示Ne×1維的虛擬均勻線陣導(dǎo)向矢量,變換矩陣T[12]為:

(11)

根據(jù)式(9)可以將聯(lián)合導(dǎo)向矢量矩陣表示為:

B=TD

(12)

上式中D=[d(θ1),...,d(θP)]表示虛擬均勻線陣導(dǎo)向矢量矩陣,將式(12)代入式(8)中可得:

Y(k)=TDG(k)C+N(k)(t)

(13)

從上式可以看出,接收極化信號分量是由虛擬均勻線陣導(dǎo)向矢量D張成的高維空間,因此可以將其轉(zhuǎn)換到低維空間,降低其維度。設(shè)降維變換矩陣為Ne×MN維的矩陣Q,則式(13)經(jīng)過降維變換后為:

YRD(k)=QTDG(k)C+NRD(k)(t)

(14)

其中NRD(k)(t)=QN(k)(t),降維后的噪聲矢量需為高斯白噪聲,也即降維處理后的噪聲協(xié)方差矩陣需為σ2INe,因此不難發(fā)現(xiàn)降維矩陣需滿足該式:QQH=INe,我們可以選降維矩陣[12]為

Q=(THT)-1/2TH

(15)

將式(15)代入式(14)可得降維后的協(xié)方差矩陣為:

YRD(k)=(THT)-1/2THTDG(k)C+NRD(k)(t)=
(THT)1/2DG(k)C+NRD(k)(t)

(16)

YRD(k)=W1/2DG(k)C+NRD(k)(t)

(17)

由式(17)發(fā)現(xiàn)接收極化信號分量經(jīng)過降維處理后維度變小,且降維矩陣是稀疏的,增加計(jì)算量很小。但如果直接構(gòu)造旋轉(zhuǎn)不變性方程進(jìn)行DOA估計(jì),就不能充分利用共軛的觀測數(shù)據(jù)。因此可以利用酉矩陣對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)值處理來提高算法精度,此外通過實(shí)值處理還可以進(jìn)一步降低算法計(jì)算量。

3.2 實(shí)值極化平滑算法

(18)

式中,ΓK[14]為稀疏的酉矩陣,其奇數(shù)與偶數(shù)維分別定義為:

(19)

經(jīng)過降維實(shí)值處理后的相同極化類型分量數(shù)據(jù)為V(k),這樣可以求得各個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣為:

(20)

然后對其進(jìn)行極化平滑處理,極化平滑算法[13]的本質(zhì)就是對各子陣的協(xié)方差矩陣進(jìn)行均勻加權(quán)求和,以恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差的秩為滿秩達(dá)到解相干的目的。下面證明降維實(shí)值后的數(shù)據(jù)經(jīng)過極化平滑后的數(shù)據(jù)協(xié)方差仍然為滿秩。極化平滑后的相關(guān)矩陣為:

(21)

式(21)中ΓNe為酉矩陣,因此有rank(R)=rank(RZ),RZ可以化簡為下式:

(22)

式(22)中,ΠNe為K×K維的交換矩陣,因此不難得到rank(RZ)=rank(RY),RY繼續(xù)化簡可以得出下式:

(23)

式(23)中

(24)

設(shè)fk=G(k)C,則有式(24)可寫為下式:

(25)

其中

(26)

此時(shí)當(dāng)P≤K時(shí)有rank(R)=rank(RZ)=rank(RY)=rank(RK)=rank(F)=P,由此可見經(jīng)過降維實(shí)值處理后再次進(jìn)行極化平滑處理后可以恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差的秩為滿秩,達(dá)到解相干的效果。由理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知六維極化平滑最多可以估計(jì)六個(gè)相干信號。

3.3 ESPRIT算法

對式(21)進(jìn)行特征值分解

(27)

式中,US為大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的實(shí)值子空間,也即信號實(shí)值子空間。

降維后的數(shù)據(jù)和均勻線陣接收的數(shù)據(jù)是等效的,所以可得到降維后復(fù)數(shù)域的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系式:

J2d(θp)=ejπsin θpJ1d(θp)
J1=[INe-1,0(Ne-1)×1]
J2=[0(Ne-1)×1,INe-1]

(28)

J1,J2可分別選擇d(θp)的前Ne-1行和后Ne-1行。且J2和J1滿足中心對稱關(guān)系

J2=ΠNe-1J1ΠNe

(29)

通過均勻線陣的中心對稱關(guān)系可以將式(28)變換為實(shí)值的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系式[15]

(30)

因此式(30)的實(shí)值旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系可以寫成矩陣形式:

K2H=K1HΦ

(31)

K2US=K1USψ

(32)

其中ψ=Ω-1ΦΩ,通過最小二乘或者總體最小二乘估計(jì)法求解實(shí)值矩陣Ψ,對Ψ進(jìn)行實(shí)值特征值分解可以得到最終的波達(dá)角估計(jì)值。假設(shè)Ψ的第p個(gè)特征值為λp,則第p個(gè)目標(biāo)的波達(dá)角可以由下式估計(jì)出:

(33)

4 計(jì)算復(fù)雜度分析

在算法實(shí)現(xiàn)過程中,相比于乘法運(yùn)算耗費(fèi)時(shí)間來說,加法運(yùn)算耗費(fèi)時(shí)間可忽略不計(jì),因此本節(jié)在進(jìn)行復(fù)雜度分析時(shí),忽略掉加法運(yùn)算。由文獻(xiàn)[18]可知實(shí)數(shù)乘法計(jì)算量為復(fù)數(shù)乘法的1/4。本文算法計(jì)算復(fù)雜度主要分為三個(gè)部分:(1)降維處理;(2)實(shí)值處理;(3)特征值計(jì)算(4)特征值分解,其計(jì)算復(fù)雜度分別為:

極化ESPRIT算法計(jì)算復(fù)雜度主要分為兩個(gè)部分:(1)特征值計(jì)算，(2)特征值分解,其計(jì)算量分別為:1)O(6LM4),2)M6/3,則極化ESPRIT算法復(fù)雜度為O(6LM4+M6/3)。本文在第5節(jié)對兩種算法的復(fù)雜度進(jìn)行了仿真,且進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

5 仿真分析

本節(jié)主要通過幾組仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文算法的有效性與真實(shí)性。為了描述方便,將本文所提算法簡稱為P-RD-UESPRIT,將極化平滑算法簡稱為P-ESPRIT算法。

假設(shè)一個(gè)均勻線陣組成的全極化MIMO雷達(dá)。其發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)分別為M=8,N=6,工作頻率f=3×108Hz,則波長λ=1 m,且收發(fā)陣元間距均為λ/2。假設(shè)有6個(gè)窄帶相干目標(biāo)信號,其波達(dá)角分別為:θ1=10°,θ2=20°,θ3=30°,θ4=40°,θ5=50°,θ6=60°。定義均方根誤差(Root mean square error,RMSE)來衡量算法的估計(jì)性能:

(34)

圖1為本文算法極化處理后信號數(shù)據(jù)協(xié)方差特征值和未經(jīng)過極化處理的數(shù)據(jù)協(xié)方差特征值點(diǎn)圖,入射信號為六個(gè)相干窄帶信號。從圖1中可以看出極化處理前因?yàn)橄喔稍吹拇嬖?使得協(xié)方差秩虧,只存在一個(gè)大特征值,而經(jīng)過極化處理后,數(shù)據(jù)協(xié)方差的秩得到了恢復(fù),存在六個(gè)大特征值,與六個(gè)相干信號源對應(yīng),達(dá)到了解相干的目的。

圖1 特征值點(diǎn)圖Fig.1 Eigenvalue dot plot

圖2為本文所提P-RD-UESPRIT算法的波達(dá)角估計(jì)結(jié)果,蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)K=1000,六個(gè)相干目標(biāo)的信噪比均為10 dB,快拍數(shù)snap=100。由圖2可以看出本文所提算法可以正確的估計(jì)出6個(gè)相干信源的波達(dá)角。

圖2 六個(gè)相干目標(biāo)DOA估計(jì)結(jié)果Fig.2 DOA estimation results of six coherent targets

圖3為本文所提P-RD-UESPRIT算法和P-ESPRIT算法估計(jì)角度RMSE隨目標(biāo)信噪比變化關(guān)系(6個(gè)相干目標(biāo)的信噪比相等),其中快拍數(shù)snap=100,蒙特卡洛次數(shù)K=1000。從圖中可以看到本文所提P-RD-UESPRIT算法和P-ESPRIT算法估計(jì)精度都隨著信噪比增大而改善,且本文所提P-RD-UESPRIT算法精度明顯高于P-ESPRIT算法,這是由于本文所提P-RD-UESPRIT算法在實(shí)值處理時(shí)數(shù)據(jù)加倍。

圖3 DOA估計(jì)精度信噪比變化關(guān)系Fig.3 DOA estimation accuracy signal-to-noise ratio variation

圖4 DOA估計(jì)精度隨快拍數(shù)變化關(guān)系Fig.4 Angle accuracy changes with the number of snapshots

圖4給出了本文所提P-RD-UESPRIT算法和P-ESPRIT算法角度估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)的變化關(guān)系圖,六個(gè)相干目標(biāo)的信噪比均為10 dB,蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)K=1000。從圖中可以看出本文提出的P-RD-UESPRIT算法與P-ESPRIT算法相比,整體精度較高,在低快拍數(shù)的情況下P-RD-UESPRIT算法優(yōu)勢更為明顯。

圖5為本文所提P-RD-UESPRIT算法和P-ESPRIT算法的計(jì)算復(fù)雜度隨陣元數(shù)目變化圖,設(shè)置收發(fā)天線數(shù)目相等,即M=N,快拍數(shù)snap=100,目標(biāo)個(gè)數(shù)P=6。從圖5中可以看出與P-ESPRIT相比,P-RD-UESPRIT計(jì)算復(fù)雜度明顯更低,且隨著陣元數(shù)目的增大,P-RD-UESPRIT的計(jì)算復(fù)雜度相比P-ESPRIT將有更大的優(yōu)勢。

圖5 復(fù)雜度隨陣元數(shù)目變化關(guān)系Fig.5 The relationship between complexity and the number of array elements

6 結(jié)論

本文所提的基于極化平滑降維酉ESPRIT算法在一定程度上解決了單基地MIMO雷達(dá)相干信號DOA估計(jì)問題。該算法通過降維變換矩陣將信號接收數(shù)據(jù)由高維矩陣降為低維矩陣,然后在低維空間基礎(chǔ)上構(gòu)造中心復(fù)共軛對稱矩陣,再構(gòu)造出合適的酉矩陣對其進(jìn)行實(shí)值處理,接著對其進(jìn)行極化平滑處理以達(dá)到解相干目的,最后在解相干后的低維實(shí)值數(shù)據(jù)空間構(gòu)造實(shí)值旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系式估計(jì)出信號的DOA。在理論推導(dǎo)部分證明了降維實(shí)值后的數(shù)據(jù)仍然可以使用極化平滑算法達(dá)到解相干的目的,且在第4節(jié)對算法復(fù)雜度進(jìn)行了分析。在第5節(jié)進(jìn)行了仿真實(shí)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文算法的正確性,與常規(guī)極化平滑ESPRIT算法相比,具有更好的解相干能力、更低的運(yùn)算量,且在低信噪比、低快拍數(shù)時(shí)仍然具有不錯的估計(jì)精度。