劉宏恩， 吳金兵， 劉猛飛， 周 璇， 張志東

(河北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用物理系，天津 300401)

1 引 言

很多技術(shù)都依賴于液晶微滴內(nèi)部的分子取向[1-2]。例如在聚合物分散液晶(PDLC)系統(tǒng)中，液晶微滴均勻分布在聚合物網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)外場(chǎng)作用時(shí)，系統(tǒng)存在很高的灰度[3]；當(dāng)施加外場(chǎng)作用時(shí)，液晶微滴的對(duì)稱軸和內(nèi)部液晶分子會(huì)沿著外加場(chǎng)作用的方向排列，此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)透明狀態(tài)，由此可以制作性能良好的光控膜等光學(xué)器件。一般來(lái)說(shuō)，液晶微滴內(nèi)部的分子排列方式是由微滴的表面能與本體能相互作用導(dǎo)致的。對(duì)于向列相液晶微滴，早期大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究主要針對(duì)于微米級(jí)大尺寸情況[4-7]，而近年來(lái)對(duì)于更小尺寸的研究已經(jīng)逐漸成為熱點(diǎn)問(wèn)題。對(duì)于亞微米級(jí)尺寸的研究，一些團(tuán)隊(duì)也給出了相關(guān)介紹[8-11]。研究發(fā)現(xiàn)，雙極結(jié)構(gòu)(bipolar structure)、徑向結(jié)構(gòu)(radial structure)是液晶微滴中最為常見(jiàn)的兩種結(jié)構(gòu)，其中，雙極結(jié)構(gòu)在幾微米甚至幾十微米情況下都可以穩(wěn)定存在。對(duì)于徑向結(jié)構(gòu)， 早期Schopohl和Sluckin等人[12]解釋為在球中心處有一個(gè)各向同性點(diǎn)；Penzenstadler等人[13]通過(guò)研究提出各向同性點(diǎn)實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是分裂后的小的+1/2缺陷環(huán)(ring)；隨后Sonnet等人[14]通過(guò)模擬計(jì)算驗(yàn)證了Penzenstadler等人的猜想。近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，人們的研究重點(diǎn)逐漸趨于更小尺寸。Gupta等人在實(shí)驗(yàn)上能夠制備出直徑從700 nm到8 μm的液晶微滴[15-16]；Bacchiocchi等人進(jìn)一步在一系列不同的實(shí)驗(yàn)中制備出直徑從50 nm到300 nm的液晶微滴[17]。

Prishchepa等人通過(guò)改變邊界條件(由沿面錨定條件轉(zhuǎn)變?yōu)榇姑驽^定條件)，發(fā)現(xiàn)液滴中的雙極結(jié)構(gòu)會(huì)變?yōu)閺较蚪Y(jié)構(gòu)[18]。Gupta等人發(fā)現(xiàn)當(dāng)液晶微滴直徑由3 μm減小到1 μm時(shí)，雙極結(jié)構(gòu)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)轭A(yù)徑向結(jié)構(gòu)(pre-radial structure)，繼續(xù)減小直徑，當(dāng)其約為700 nm時(shí)，變?yōu)閺较蚪Y(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象的出現(xiàn)是由于隨著直徑減小，表面能作用相對(duì)增強(qiáng)，鞍形彈性常數(shù)k24(saddle-splay)項(xiàng)在與表面能、本體能和彈性能的相互競(jìng)爭(zhēng)中逐漸發(fā)揮著不可或缺的作用。研究還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不考慮k24項(xiàng)作用時(shí)，隨著尺寸的逐漸減小，雙極結(jié)構(gòu)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚪Y(jié)構(gòu)[15]。對(duì)于圓柱中雙扭曲結(jié)構(gòu)(double-twist structure)，Davidson等人發(fā)現(xiàn)由于k24彈性項(xiàng)作用，使得邊界附近指向矢更易沿曲率最大的方向排列[19]。Zumer等人[20]的研究結(jié)果表明，在球形液滴中，由于k24彈性項(xiàng)作用于表面上，因此很難區(qū)分k24作用和邊界錨定作用，在此情況下，即使無(wú)邊界錨定作用，k24也可以穩(wěn)定球形液滴內(nèi)部的指向矢結(jié)構(gòu)，因此，此時(shí)k24作用可以部分代替邊界錨定作用。

Mkaddem等人[21]在垂面強(qiáng)錨定條件下發(fā)現(xiàn)3種結(jié)構(gòu)：徑向結(jié)構(gòu)、環(huán)結(jié)構(gòu)和分裂核結(jié)構(gòu)，而對(duì)于分裂核結(jié)構(gòu)(split-core structure)，其總是以亞穩(wěn)態(tài)的方式存在。An等人[8]分別在垂面強(qiáng)錨定邊界條件和鏡像-垂面(mirror-homeotropic)邊界條件下研究了分裂核結(jié)構(gòu)和-1分裂核結(jié)構(gòu)。對(duì)于上述有關(guān)分裂核結(jié)構(gòu)的研究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其總是以亞穩(wěn)態(tài)形式存在，而這也是本文的重點(diǎn)研究問(wèn)題?；贚andau-de Gennes理論，本文主要從弱錨定邊界條件出發(fā)，通過(guò)考慮k24彈性項(xiàng)的作用，研究亞微米級(jí)尺寸下分裂核結(jié)構(gòu)成為穩(wěn)態(tài)的存在范圍。

2 幾何模型

圖1 球狀結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of spherical structure

3 理論方法

3.1 序參數(shù)張量Q與雙軸性參數(shù)β2

液晶的研究理論方法一般為Frank理論與Landau-de Gennes理論。Frank彈性理論對(duì)于描述液晶連續(xù)體更有優(yōu)勢(shì)；而對(duì)于存在缺陷的液晶系統(tǒng)，Landau-de Gennes理論既保持了棒狀液晶分子的首尾不變性又能夠利用雙軸性來(lái)具體描述缺陷的狀態(tài)，所以本文選取Landau-de Gennes理論進(jìn)行研究。在主軸系中，序參數(shù)張量Q可以表示為[22]：

(1)

序參數(shù)張量Q為對(duì)稱無(wú)跡張量，它滿足Qij=Qji，trQ=0。液晶系統(tǒng)處于各向同性相時(shí)，Q=0，此時(shí)3個(gè)本征值都為0，液晶分子處于完全無(wú)序狀態(tài)。當(dāng)液晶系統(tǒng)中有兩個(gè)本征值相等且不等于0時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)為單軸態(tài)。單軸序參數(shù)張量Q表示為：

(2)

(3)

由于序參數(shù)張量Q為對(duì)稱無(wú)跡張量，所以存在關(guān)系Qρφ=Qφρ，Qρz=Qzρ，Qφz=Qzφ，Qρρ+Qφφ+Qzz=0。當(dāng)序參數(shù)張量Q的3個(gè)本征值互不相等時(shí)，此時(shí)液晶系統(tǒng)處于雙軸態(tài)。利用雙軸性參數(shù)β2定義雙軸性：

(4)

雙軸性參數(shù)β2的取值范圍為[0,1]。當(dāng)β2=0時(shí)，系統(tǒng)處于單軸態(tài)，當(dāng)β2=1時(shí)，系統(tǒng)具有最大的雙軸性。由于存在tr(Q3)=3detQ，當(dāng)β2=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的detQ=0，這表明液晶系統(tǒng)擁有最大雙軸性時(shí)，序參數(shù)張量Q的3個(gè)本征值至少有一個(gè)為0。

3.2 柱坐標(biāo)系下的Landau-de Gennes理論

無(wú)外加場(chǎng)作用下，液晶系統(tǒng)中Landau-de Gennes理論的總自由能密度表示為：

F(Q)=Fbulk+Felastic

(5)

其中：Fbulk為本體自由能密度，F(xiàn)elastic為彈性自由能密度。對(duì)于本體自由能密度Fbulk，其只依賴序參數(shù)張量Q并不依賴坐標(biāo)系的位置選取，具體形式表示為：

(6)

Felastic為液晶取向序的不均勻引起的彈性自由能密度，依賴于序參數(shù)張量Q的空間變化率，只考慮Q及其導(dǎo)數(shù)的二次項(xiàng)，F(xiàn)elastic具體表示為：

(7)

Li與Frank理論中的展曲彈性常數(shù)k11、扭曲彈性常數(shù)k22、彎曲彈性常數(shù)k33之間存在關(guān)系為[23]:

(8)

其中：k24是鞍形彈性常數(shù),根據(jù)Ericksen[24]、Beris和Edwards[25]等人得出的關(guān)于Frank理論的彈性常數(shù)k11，k22，k33，k24滿足的不等式：

k11≥ 0，k22≥ 0，k33≥ 0

(9)

-k22≤k24≤ min(2k11-k22,k22)

(10)

(11)

(12)

利用張量Q無(wú)跡處理和泛函的約束變分得到平衡態(tài)的歐拉方程[20]。在柱坐標(biāo)系下為：

(13)

本文使用松弛迭代方法對(duì)液晶系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，在此動(dòng)力學(xué)方程中，序參數(shù)張量Q是時(shí)間t的函數(shù)，給定初始條件后將得到其隨時(shí)間演化的平衡態(tài)結(jié)果。動(dòng)力學(xué)方程如下：

(14)

其中：Γ=6D*/[1-3tr(Q2)]2，D*為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)。約化后的動(dòng)力學(xué)方程為：

(15)

3.3 邊界條件及參數(shù)選取

當(dāng)系統(tǒng)不存在外場(chǎng)的作用下，液晶系統(tǒng)的邊界條件會(huì)對(duì)內(nèi)部液晶分子的排列方式產(chǎn)生重要影響。本文需要考慮液晶微滴的弱錨定邊界情況，所以給出表面能密度的具體表達(dá)形式：

(16)

其中Qs為表面易取向的序參數(shù)張量，僅描述邊界指向矢的空間變化，具體可表示為：

(17)

(18)

弱錨泊的邊界條件方程為：

(19)

上式約化得到的方程為：

(20)

對(duì)于球形液滴可以表示為：

(21)

其中：式(21)是在柱坐標(biāo)系下寫(xiě)出的表達(dá)形式，νρ和νz分別是沿外法線的ρ分量和z分量。

本文模擬過(guò)程中選取了液晶材料5CB[22]的各項(xiàng)系數(shù)：A0=0.195×106J/m3K，B=7.155×106J/m3，C=8.82×106J/m3，D*= 0.35 m2N-1s-1，引入的相干長(zhǎng)度ξ為2.64 nm，約化溫度設(shè)定為則序參數(shù)約化后為：

4 結(jié)果與討論

4.1 強(qiáng)錨定下徑向、環(huán)和分裂核結(jié)構(gòu)

錨定條件的變化、彈性各向異性、尺寸效應(yīng)、溫度都會(huì)對(duì)液晶微滴內(nèi)部指向矢結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。首先我們研究當(dāng)邊界條件強(qiáng)錨定時(shí)，單一常數(shù)近似與彈性各向異性兩種情況下尺寸效應(yīng)對(duì)徑向、環(huán)和分裂核結(jié)構(gòu)的影響。根據(jù)Mkaddem等人對(duì)于徑向結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的精細(xì)研究[21]，在強(qiáng)錨定、單一常數(shù)近似且溫度相對(duì)較高時(shí)，存在兩種結(jié)構(gòu)：徑向結(jié)構(gòu)和環(huán)結(jié)構(gòu)，并給出在尺寸很小時(shí)，只存在徑向結(jié)構(gòu)的相圖。分別選取r=50ξ、r=150ξ的液滴進(jìn)行研究。在強(qiáng)錨定、單一常數(shù)近似下，發(fā)現(xiàn)液滴內(nèi)部存在兩種結(jié)構(gòu)：徑向結(jié)構(gòu)和環(huán)結(jié)構(gòu)。如圖2和表1所示，當(dāng)半徑r=50ξ時(shí)，對(duì)比能量，發(fā)現(xiàn)徑向結(jié)構(gòu)為能量最低態(tài)。

(a) 徑向結(jié)構(gòu)指向矢圖(a)Profiles of the director of the radial configuration

(b) 中間部分沿ρ軸的本征值，其中λ2 = λ3。(b)Eigenvalues at the center along ρ axis, λ2 = λ3.

(c) 環(huán)結(jié)構(gòu)指向矢圖(c) Profiles of the director of the ring configuration

(d) 中間部分沿ρ軸的本征值(d)Eigenvalues at the center along ρ axis圖2 半徑為50ξ時(shí)徑向結(jié)構(gòu)與環(huán)結(jié)構(gòu)指向矢圖Fig.2 Profiles of the director of the radial configuration and the ring configuration when the radius is equal to 50ξ

表1 強(qiáng)錨定下徑向結(jié)構(gòu)與環(huán)結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比Tab.1 Difference of energy between the radial structure and the ring structure under strong anchoring

圖2(a)、(c)為球半截面的指向矢示意圖，藍(lán)色圓圈代表缺陷的位置分布，可以看出徑向結(jié)構(gòu)的缺陷位于球中心處。圖2(b)是中間部分沿ρ軸的本征值圖，中心處為各向同性點(diǎn)，此時(shí)3個(gè)本征值相同且為0。環(huán)結(jié)構(gòu)最先被Penzenstadler和Trebin等人預(yù)測(cè)[4]，圖2(d)是中間部分沿ρ軸的本征值圖，此時(shí)環(huán)缺陷位置距中心約為16ξ。當(dāng)半徑r=150ξ時(shí)，對(duì)比能量，環(huán)結(jié)構(gòu)為能量最低態(tài)。通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r≤100ξ時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)，r≥100ξ時(shí)，環(huán)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。當(dāng)半徑足夠小時(shí)，只存在徑向結(jié)構(gòu)，而環(huán)結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定，此結(jié)論與 Mkaddem等人的結(jié)論一致。

接著，我們探究了在強(qiáng)錨定、彈性各向異性下徑向結(jié)構(gòu)和環(huán)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)變化。選取小半徑的尺寸r=50ξ(132 nm)、r=60ξ(158 nm)、r=70ξ(185 nm)進(jìn)行研究。當(dāng)半徑為r=50ξ、L2/L1=1.7，對(duì)應(yīng)k11/k22=1.85時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定存在，而是轉(zhuǎn)變?yōu)榉至押私Y(jié)構(gòu)，因此隨著k11的增大，液晶系統(tǒng)更難發(fā)生展曲形變，而在徑向結(jié)構(gòu)中展曲形變占主導(dǎo)作用，所以此時(shí)徑向結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定存在。在彈性各向異性下會(huì)出現(xiàn)分裂核結(jié)構(gòu)，下文將不再詳細(xì)論述。根據(jù)An等人以及Mkaddem等人的研究：在強(qiáng)錨定、單一常數(shù)近似且溫度較低的情況下，分裂核結(jié)構(gòu)可以存在，但總為亞穩(wěn)態(tài)[8,21]。通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)錨定、彈性各向異性時(shí)分裂核結(jié)構(gòu)可以存在，并在相同條件下也發(fā)現(xiàn)了環(huán)結(jié)構(gòu)，對(duì)比能量環(huán)結(jié)構(gòu)為能量最低態(tài)。圖3(a)、(b)為半徑r=50ξ、L2/L1=1.7的分裂核結(jié)構(gòu)指向矢圖和沿z軸的本征值圖。根據(jù)Mkaddem等人對(duì)分裂核結(jié)構(gòu)的特征描述，其內(nèi)部存在一條較短的沿對(duì)稱軸分布的向錯(cuò)線且兩端端點(diǎn)為各向同性點(diǎn)，而中間部分為負(fù)序參數(shù)單軸態(tài)。如圖3(b)所示，在z=64ξ和z=66ξ處，3個(gè)本征值相同且為0，因此在我們模擬得到的分裂核結(jié)構(gòu)中，其內(nèi)部的向錯(cuò)線長(zhǎng)度為2ξ。

(a) 分裂核結(jié)構(gòu)指向矢圖(a)Profiles of the director of the split-core configuration

(b)中心軸的本征值，其中λ2=λ3。(b)Eigenvalues at the center axis, λ2=λ3.圖3 半徑為50ξ時(shí)分裂核結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Profiles of the director of the split-core configuration when the radius is equal to 50ξ

當(dāng)半徑r=60ξ、L2/L1=2.2時(shí)，出現(xiàn)分裂核和環(huán)結(jié)構(gòu)。對(duì)比能量發(fā)現(xiàn)環(huán)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)；而當(dāng)半徑r=70ξ，L2/L1=2.9時(shí)，出現(xiàn)分裂核和環(huán)結(jié)構(gòu)，且分裂核結(jié)構(gòu)始終為亞穩(wěn)態(tài)。表2給出了分裂核和環(huán)結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比。

表2 強(qiáng)錨定不同半徑下分裂核結(jié)構(gòu)與環(huán)結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比Tab.2 Difference of energy between the split-core structure and the ring structure at different radius under strong anchoring

對(duì)于選取的小尺寸情況下的球形液滴，在強(qiáng)錨定邊界條件下，當(dāng)彈性常數(shù)L2/L1達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定，而是轉(zhuǎn)變?yōu)榉至押私Y(jié)構(gòu)，但分裂核結(jié)構(gòu)始終為亞穩(wěn)態(tài)。

4.2 弱錨定下分裂核的穩(wěn)定性——不考慮K24作用

上文研究了在強(qiáng)錨定邊界條件下的徑向結(jié)構(gòu)、環(huán)結(jié)構(gòu)與分裂核結(jié)構(gòu)，下面從弱錨定邊界條件的角度出發(fā)，固定邊界錨定強(qiáng)度為w=10-4J/m2進(jìn)行分析。

首先選取液晶微滴的半徑為r=50ξ，在單一常數(shù)近似下，出現(xiàn)3種結(jié)構(gòu)：徑向結(jié)構(gòu)、環(huán)結(jié)構(gòu)和均勻結(jié)構(gòu)。圖4為均勻結(jié)構(gòu)的指向矢圖。如表3所示，徑向結(jié)構(gòu)仍然為能量最低態(tài)，根據(jù)Tomar等人的研究[9]，我們對(duì)此現(xiàn)象解釋為此時(shí)的錨定強(qiáng)度較大，邊界的指向矢仍然沿法線排列，更易形成徑向結(jié)構(gòu)，這里不再給出徑向結(jié)構(gòu)和環(huán)結(jié)構(gòu)的指向矢圖，只給出均勻結(jié)構(gòu)的指向矢圖。

圖4 半徑為50ξ時(shí)均勻結(jié)構(gòu)指向矢圖Fig.4 Profiles of the director of the uniform configuration when the radius is equal to 50ξ

表3 弱錨定且彈性各向同性下3種結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比Tab.3 Difference of energy among three configurations under the isotropic elastic and weak anchoring mechanism

在彈性各向同性條件下，弱錨定邊界條件機(jī)制使得小半徑的球形液滴出現(xiàn)均勻結(jié)構(gòu)，對(duì)于彈性各向異性，我們也做出了相應(yīng)的模擬計(jì)算。

對(duì)于相同半徑r=50ξ，當(dāng)L2/L1增加時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象。如表4所示，當(dāng)L2/L1的值等于0.5時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)4種結(jié)構(gòu)同時(shí)存在：徑向結(jié)構(gòu)、環(huán)結(jié)構(gòu)、均勻結(jié)構(gòu)和-1分裂核結(jié)構(gòu)[8]。通過(guò)對(duì)比能量，發(fā)現(xiàn)均勻結(jié)構(gòu)的能量最低，為穩(wěn)態(tài)，其他3種結(jié)構(gòu)均為亞穩(wěn)態(tài)。當(dāng)L2/L1的值等于0.7時(shí)，發(fā)現(xiàn)缺陷環(huán)的半徑逐漸變大，徑向結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定，而是轉(zhuǎn)變?yōu)榉至押私Y(jié)構(gòu)。當(dāng)L2/L1=0.9時(shí)，環(huán)結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定存在而是轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚪Y(jié)構(gòu)。當(dāng)L2/L1>2時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定存在，所以在0.7≤L2/L1≤2范圍內(nèi)，分裂核結(jié)構(gòu)可以穩(wěn)定存在，但總是為亞穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)能量最低，為穩(wěn)態(tài)。

表4 弱錨定且彈性各向異性下不同結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比,其中L24/L1=0Tab.4 Difference of energy among different configurations under the elastic anisotropy and weak anchoring mechanism, L24/L1=0

固定錨定強(qiáng)度為w=10-4J/m2，選取彈性常數(shù)L2/L1=1.5、L24/L1=0，改變半徑，發(fā)現(xiàn)分裂核結(jié)構(gòu)在r=40ξ～100ξ范圍內(nèi)存在分裂核結(jié)構(gòu)且為亞穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。

4.3 弱錨定下分裂核的穩(wěn)定性——考慮K24作用

首先選取半徑r=50ξ進(jìn)行研究，在單一常數(shù)近似下且不考慮k24作用即k24=0時(shí)，發(fā)現(xiàn)徑向結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。根據(jù)前文研究，發(fā)現(xiàn)k24項(xiàng)可以作為表面項(xiàng)起作用[20]。如表5所示，當(dāng)L24/L1達(dá)到Ericksen不等式最大值即L24/L1=2時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)仍然為穩(wěn)態(tài)。

在彈性各向異性下，我們對(duì)半徑r=50ξ的液晶微滴做出了一系列模擬計(jì)算。對(duì)于分裂核結(jié)構(gòu)，當(dāng) 0.7≤L2/L1≤2時(shí)(此時(shí)L24/L1的取值限制在Ericksen不等式理論最大值范圍內(nèi)，即L24/L1≤2)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)0.7≤L2/L1<0.9，無(wú)論L24/L1取何值，環(huán)結(jié)構(gòu)能量總是低于分裂核結(jié)構(gòu)能量，即分裂核結(jié)構(gòu)始終為亞穩(wěn)態(tài)；當(dāng)0.9≤L2/L1≤2時(shí)，環(huán)結(jié)構(gòu)將不再穩(wěn)定，而是轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚪Y(jié)構(gòu)；當(dāng)L24/L1達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)成為能量最低態(tài)，而均勻結(jié)構(gòu)成為亞穩(wěn)態(tài)，這是在之前的研究中都未曾發(fā)現(xiàn)的。另外，對(duì)于-1分裂核結(jié)構(gòu)，無(wú)論是否考慮k24作用，其始終為能量最高的態(tài)，因此不再詳細(xì)論述。

表5 弱錨定且彈性各向異性下3種結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比，其中L24/L1=2Tab.5 Difference of energy among three configurations under the elastic anisotropy and weak anchoring mechanism, L24/L1=2

圖5給出在Frank彈性常數(shù)中k22/k11與k24/k11之間的關(guān)系。藍(lán)色區(qū)域內(nèi)是分裂核結(jié)構(gòu)可以存在的范圍，而紅色區(qū)域內(nèi)是分裂核結(jié)構(gòu)成為穩(wěn)態(tài)的范圍。黑色線為Ericksen不等式最大值時(shí)k22/k11與k24/k11之間的關(guān)系。

圖5 分裂核結(jié)構(gòu)存在時(shí)k22/k11與k24/k11的關(guān)系Fig.5 Relationship between k22/k11 and k24/k11 when the split-core configuration exists

其次，固定錨定強(qiáng)度w=10-4J/m2，選取彈性常數(shù)L2/L1=1.5、L24/L1=2(Ericksen不等式最大值)，改變半徑，發(fā)現(xiàn)在r=40ξ～65ξ范圍內(nèi)分裂核結(jié)構(gòu)成為能量最低態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為亞穩(wěn)態(tài)。此基礎(chǔ)上又模擬計(jì)算了在w=10-4J/m2，r=40ξ～65ξ條件下，改變L24/L1，得到了分裂核結(jié)構(gòu)和均勻結(jié)構(gòu)的半徑與能量相圖，如圖6所示。通過(guò)相圖可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于L24/L1=0，當(dāng)r=40ξ～65ξ時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)為亞穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。對(duì)于L24/L1=0.5，當(dāng)40ξ≤r≤46ξ時(shí)，均勻結(jié)構(gòu)為能量最低態(tài)；當(dāng)46ξ≤r≤65ξ時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。而對(duì)于L24/L1=1、L24/L1=2這兩種情況，當(dāng)r=40ξ～65ξ時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為亞穩(wěn)態(tài)。

圖6 分裂核結(jié)構(gòu)與均勻結(jié)構(gòu)的能量對(duì)比。(a) L24/L1=0；(b) L24/L1=1；(c) L24/L1=2。Fig.6 Difference of energy between the split-core structure and the ring structure； (a) L24/L1=0；(b) L24/L1=1；(c) L24/L1=2.

5 結(jié) 論

基于Landau-de Gennes理論，本文分別在強(qiáng)錨定和弱錨定邊界條件下研究了徑向、環(huán)、分裂核以及均勻結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。首先在強(qiáng)錨定、溫度一定且單一常數(shù)近似下，對(duì)于半徑r=50ξ(132 nm)，同時(shí)存在徑向和環(huán)結(jié)構(gòu)，徑向結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)；對(duì)于半徑r=150ξ(396 nm)，環(huán)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)，徑向結(jié)構(gòu)為亞穩(wěn)態(tài)；并發(fā)現(xiàn)在r≥100ξ時(shí)，環(huán)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)，且當(dāng)半徑足夠小時(shí)，只存在徑向結(jié)構(gòu)。其次在強(qiáng)錨定下，彈性各向異性使得徑向結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變。選取r=50ξ、r=60ξ、r=70ξ的小尺寸液晶微滴進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)L2/L1的值分別為1.7、2.2、2.9時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榉至押私Y(jié)構(gòu)，但分裂核結(jié)構(gòu)總是為亞穩(wěn)態(tài)，環(huán)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)。

對(duì)于弱錨定邊界條件下，固定邊界錨定強(qiáng)度為w=10-4J/m2，首先選取半徑為r=50ξ進(jìn)行研究，在不考慮k24作用即本文中Landau-de Gennes理論彈性常數(shù)取值為L(zhǎng)24/L1=0時(shí)，單一常數(shù)近似下出現(xiàn)徑向、環(huán)和均勻結(jié)構(gòu)，此時(shí)徑向結(jié)構(gòu)仍為穩(wěn)態(tài)；在彈性各向異性下，當(dāng)L2/L1=0.5時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)、環(huán)結(jié)構(gòu)、均勻結(jié)構(gòu)和-1分裂核結(jié)構(gòu)同時(shí)存在，此時(shí)均勻結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)；隨著L2/L1的取值增大，環(huán)結(jié)構(gòu)中的缺陷逐漸向赤道表面靠近，當(dāng)L2/L1=0.7時(shí)，徑向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榉至押私Y(jié)構(gòu)，此時(shí)Frank理論的彈性常數(shù)k11/k22的比值大于1，即展曲彈性常數(shù)k11的值變大，使得系統(tǒng)中更難形成展曲形變，由于徑向結(jié)構(gòu)具有良好的展曲形變，所以此時(shí)徑向結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定存在。當(dāng)L2/L1=0.9時(shí)，環(huán)結(jié)構(gòu)不在穩(wěn)定存在，而是轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚪Y(jié)構(gòu)。當(dāng)L2/L1=2時(shí)，繼續(xù)增加取值分裂核結(jié)構(gòu)不再穩(wěn)定，因此分裂核結(jié)構(gòu)穩(wěn)定存在的范圍為0.7≤L2/L1≤2，此條件下對(duì)比能量發(fā)現(xiàn)分裂核結(jié)構(gòu)始終為亞穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)，對(duì)于出現(xiàn)的-1分裂核結(jié)構(gòu)，由于其能量始終最高并伴隨其他態(tài)共存，這里不再詳細(xì)介紹。對(duì)于固定L2/L1=1.5，改變不同半徑，發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=40ξ～100ξ時(shí)分裂核結(jié)構(gòu)可以存在且為亞穩(wěn)態(tài)。

本文首次探究并給出了在弱錨定邊界條件且考慮k24項(xiàng)作用(即L24/L1≠0)時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)可以成為能量最低態(tài)。首先選取半徑r=50ξ進(jìn)行研究，對(duì)于單一常數(shù)近似，L24/L1的取值達(dá)到Ericksen不等式理論最大值時(shí)(L24/L1=2)，徑向結(jié)構(gòu)為穩(wěn)態(tài)；對(duì)于彈性各向異性，當(dāng)0.7≤L2/L1<0.9時(shí)，無(wú)論L24/L1取何值，分裂核結(jié)構(gòu)始終為亞穩(wěn)態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)成為穩(wěn)態(tài)；對(duì)于0.9≤L2/L1≤2，當(dāng)L24/L1達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)成為能量最低態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)成為亞穩(wěn)態(tài)。固定L2/L1=1.5、L24/L1=2，改變不同半徑，發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=40ξ～65ξ時(shí)，分裂核結(jié)構(gòu)成為能量最低態(tài)，均勻結(jié)構(gòu)為亞穩(wěn)態(tài)，并通過(guò)改變L24/L1，得到了分裂核結(jié)構(gòu)成為能量最低態(tài)的范圍。