張振虎

上?？辈煸O(shè)計研究院（集團）有限公司 上海 200082

引言

隨著科技的發(fā)展、信息技術(shù)的進步，以及精密工程技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了很多新的測量技術(shù)，三維測量建模技術(shù)就是時代的產(chǎn)物。在核電廠、光源儲存環(huán)、離子加速器實驗裝置等項目建造過程中，三維設(shè)計、設(shè)備制造、核心設(shè)備精密安裝及重要設(shè)備在線監(jiān)測均進行了大量建模，建模技術(shù)的采用促使高精度測量工作日益轉(zhuǎn)向可視化、智能化及精密化。逆向建模作為一種最常用的建模方法得到了越來越廣泛的應(yīng)用，它主要通過激光掃描、激光跟蹤或攝影測量等技術(shù)，獲得目標物體的三維測量數(shù)據(jù)，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)構(gòu)建三維高精度模型。以核電廠為例，其在建造過程中采用了激光跟蹤技術(shù)對一回路主要設(shè)備，如反應(yīng)堆壓力容器、蒸汽發(fā)生器、主泵、主管道及波動管等進行了精密建模，這些設(shè)備的接口多為圓形，而這些設(shè)備接口的圓形并不在嚴格的水平面上，因此，對這些設(shè)備建模通常需要對空間圓進行擬合。

1 數(shù)學模型及算法

空間圓無直接公式描述，基于公式擬合的方法很難實施，故空間圓參數(shù)擬合一般采取間接方式進行。根據(jù)參考文獻[1-5]，擬合空間圓主要采用平面與圓球相截法。由圓球性質(zhì)可以得知，任何一個平面與圓球相截得到的截面均為圓形，故平面與圓球相截法是通過擬合平面與圓球得到空間圓參數(shù)。其中，文獻[1-4]采取擬合平面和一個圓球中心位于擬合平面上的圓球得到空間圓參數(shù)；文獻[5]也采取擬合平面和圓球方式進行，該方法不要求圓球圓心位于擬合平面上，在平面和圓球擬合后將球心投影到擬合平面上以得到圓心，過程較文獻[1-4]復雜。擬合空間圓需要確定7個參數(shù)，包括空間圓所在平面的法向量(a，b， c)、空間圓的圓心(x0， y0， z0)和空間圓的半徑R。本文通過擬合平面求取平面法向量，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣，然后將空間圓擬合問題轉(zhuǎn)化為平面圓擬合問題。在工程實例中，圓形截面的特征數(shù)據(jù)采集通常采用全站儀、激光掃描儀或激光跟蹤儀完成。部分物體圓形截面因受視線阻隔往往難以一次測量就采集到所有特征數(shù)據(jù)，通常需要轉(zhuǎn)站1～2次完成。轉(zhuǎn)站需要進行大角度坐標轉(zhuǎn)換，故在擬合空間圓前需要將多站的采集數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到同一個坐標系中。

綜上，本文算法主要分為以下五步：①大角度坐標轉(zhuǎn)換；②擬合空間圓所在平面求取平面法向量；③根據(jù)平面法向量構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣；④將擬合坐標點旋轉(zhuǎn)，求取平面圓圓心和半徑；⑤平面圓圓心旋轉(zhuǎn)得到空間圓圓心。

1.1 大角度坐標轉(zhuǎn)換

坐標轉(zhuǎn)換模型可表示為：

其中，（X'、Y'、Z'）為轉(zhuǎn)換前坐標，（X、Y、Z）為轉(zhuǎn)換后坐標，λ為尺度系數(shù)，R為含三個旋轉(zhuǎn)角α、β、γ的旋轉(zhuǎn)矩陣，△X、△Y、△Z為平移參數(shù)。R=RxRyRz，Rx是把原坐標繞X軸旋轉(zhuǎn)α角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，Ry是把原坐標繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，Rz是把原坐標繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，α、β、γ均為繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)。

整理以后，旋轉(zhuǎn)矩陣R為以下形式：

兩坐標系之間轉(zhuǎn)換需要求取7個轉(zhuǎn)換參數(shù)，一般需要三個以上的公共點坐標來進行轉(zhuǎn)換。

為便于數(shù)據(jù)處理，一般需要對所使用的公共點坐標進行重心化處理，將兩套坐標系的坐標均轉(zhuǎn)化為重心化坐標。根據(jù)參考文獻[8]，重心化坐標計算公式如下：

將公共點的中心化坐標代入式（1），可得：

從上式可以看出，坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)計算時需要先計算尺度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣，然后代入式（8）就可以得到平移參數(shù)。

根據(jù)參考文獻[9]，對式（7）兩邊取2-范數(shù)，由于R為正交矩陣，及λ＞0，可得

式（7）變化為以下形式：

求取正交矩陣R，使A-λRB的Frobenius范數(shù)最小時所得的R即為最佳轉(zhuǎn)換矩陣，即求解以下問題：

將上式進行跡函數(shù)計算并展開，得：

根據(jù)參考文獻[6]，當且僅當R =VUT時，式（14）得到極小值。得到旋轉(zhuǎn)矩陣后，將旋轉(zhuǎn)矩陣代入到公式（8），就可以得到平移參數(shù)。

1.2 平面法向量計算

將所有坐標采集數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至同一坐標系后，就可以開始計算空間圓所在平面的法向量計算。

平面方程一般可表示為：

為減少參數(shù)的計算，可以將方程簡化，兩側(cè)同除以D（D≠0），方程可以簡化為：

因方程的三個參數(shù)之間存在著線性關(guān)系，故可以采用求解線性方程組參數(shù)的方法進行結(jié)算。假設(shè)空間圓上的n個觀測點為( xi， yi， zi)（1≤i≤n），以矩陣形式表示如下：

上式可以簡化為：

其最小二乘解為：

上述算法為擬合平面最常用算法，但該算法并未考慮系數(shù)矩陣N 中存在的誤差，且造成了固定項l 中數(shù)據(jù)的改動，得到的結(jié)果必然不是最優(yōu)的。

假設(shè)系數(shù)矩陣N中存在獨立同分布誤差，根據(jù)參考文獻[6]，其參數(shù)求解可以采用以下算法。

將( xi， yi， zi)重心化，得到重心坐標重心化公式如下：

最小奇異值所對應(yīng)的V向量[ a 'b ' c ']T即為平面方程中參數(shù)A、B、C的值。平面方程中常數(shù)項的值可按下式計算：

根據(jù)文獻[7]研究，基于奇異值分解的擬合平面方法與基于正交距離擬合平面的方法是等價的，其求得的平面參數(shù)可以使點到平面的距離平方和最小，其比式(18)—(21)采用的擬合平面常用算法更為精確。

1.3 求取圓心和半徑

（1）構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣

假設(shè)空間圓的圓心坐標為( x0， y0， z0)，其應(yīng)位于擬合的平面上，故有：

應(yīng)用羅德里格旋轉(zhuǎn)公式矩陣形式，將平面法向量旋轉(zhuǎn)至與Z軸平行，其構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

其旋轉(zhuǎn)公式表達為：

（2）擬合平面圓

平面圓方程可以用下式表示：

采用最小二乘法可以得到E、F、G的值，平面圓圓心及半徑值計算如下：

（3）解算空間圓圓心

1.4 擬合空間圓效果評價

計算擬合點到空間圓的法向偏差：

計算擬合點到擬合圓的徑向偏差：

計算擬合點到擬合圓的空間偏差：

計算RMSE（均方根誤差）：

2 工程算例

某設(shè)備中部的法蘭需要與其他設(shè)備法蘭進行精密對接，為檢測設(shè)備的匹配性，需要在安裝前進行模擬對接。為精確模擬，采用激光跟蹤儀對設(shè)備的法蘭圓面進行了測量。因視線阻擋，難以在一站就完成所有數(shù)據(jù)的采集，故法蘭圓面的測量采取了轉(zhuǎn)站測量的方式，兩站之間采用公共點進行連接。采集的原始數(shù)據(jù)請見下表1。

表1 某設(shè)備中部法蘭圓第一站測量數(shù)據(jù)（單位：mm）

表2 某設(shè)備中部法蘭圓第二站測量數(shù)據(jù)（單位：mm）

表3 公共點測量數(shù)據(jù)（單位：mm）

表4 坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

采用本文坐標轉(zhuǎn)換算法，計算第二站轉(zhuǎn)入第一站的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。因激光跟蹤儀的精度很高，且測量距離較短，其坐標轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)可視為1。計算出來的旋轉(zhuǎn)矩陣及平移參數(shù)請見表4。

利用表4的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)將第二站的測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)入到第一站測量坐標系中，并計算擬合圓的參數(shù)。根據(jù)本文算法，對空間圓的數(shù)據(jù)進行了擬合，擬合后的平面方程單位法向量為（0.93393557，-0.357440912，0.000587606），平面方程常數(shù)項為-3541.36949，空間圓圓心坐標為（2605.2329，-3100.094608，253.8655206），半徑為589.6816919mm。根據(jù)擬合結(jié)果計算出的擬合后各點的法向偏差、徑向偏差及空間偏差見表5。

表5 某設(shè)備端面圓擬合后偏差統(tǒng)計（單位：mm）

采用式(40)，根據(jù)表5中所示的各點的法向偏差、徑向偏差及空間偏差計算均方根誤差（RMSE）。經(jīng)計算，法向偏差RMSE為0.042167mm，徑向偏差RMSE為0.409195mm，空間偏差RMSE為0.411362mm，說明擬合圓的各項偏差均很小，空間圓參數(shù)解算較準確。

為驗證本文中算法，使用文獻[2]中的算法對本文數(shù)據(jù)進行擬合。為便于擬合后參數(shù)的對比，本文將采用文獻[2]中算法解算出的平面法向量進行了單位化。文獻[2]中算法和本文算法解算的結(jié)果如表6所示。

表6 文獻[2]算法和本文算法解算結(jié)果（單位：mm）

通過表6可發(fā)現(xiàn)，本文所述算法擬合空間圓后法向偏差RMSE和文獻[2]中使用的算法結(jié)果基本一致，但徑向偏差RMSE及空間偏差RMSE均略優(yōu)于文獻[2]中使用的算法，說明本文算法可行，精度較高。

3 結(jié)束語

本文通過奇異值分解法擬合平面，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣化空間圓擬合為平面圓擬合，原理清晰，不用進行迭代，且有利于編程計算，并通過實踐證實，該方法實用且可靠。適合用于核電廠、光源存儲環(huán)實驗裝置、直線加速器實驗裝置、飛機、造船、汽車、航空航天等行業(yè)大型設(shè)備模型構(gòu)建過程中圓形截面的擬合。