王琦森 余 華 李 杰 董 超 季 飛 陳焱琨

①(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院 廣州 510640)

②(自然資源部海洋環(huán)境探測(cè)技術(shù)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣州 510300)

③(華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院 廣州 510640)

④(國(guó)家海洋局南海調(diào)查技術(shù)中心 廣州 510300)

1 引言

波達(dá)方向(Direction-Of-Arrival, DOA)估計(jì)，廣泛應(yīng)用于聲吶、雷達(dá)和無(wú)線通信等許多領(lǐng)域[1]。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，出現(xiàn)了有超分辨能力的子空間類方法， 如MUSIC[2]等。然而在低信噪比等環(huán)境中，這類算法的性能會(huì)明顯降低。

近年來(lái)的稀疏重構(gòu)類算法克服了子空間類方法的缺點(diǎn)。 ?p范數(shù)法是經(jīng)典的稀疏類方法之一，其代表是?1范 數(shù)。文獻(xiàn)[3]首次把DOA估計(jì)轉(zhuǎn)化為?1范數(shù)問(wèn)題，提出了奇異值分解的L1范數(shù)重構(gòu)算法(L1 reconstruction-Singular Value Decomposition, L1-SVD)，并利用網(wǎng)格細(xì)分法來(lái)提升精度。然而 ?p范數(shù)類算法對(duì)信號(hào)的重構(gòu)并不準(zhǔn)確[4]，其正則化因子難以確定，網(wǎng)格細(xì)分策略會(huì)使得基之間的相關(guān)性增強(qiáng)而導(dǎo)致性能的降低[3]。

稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning,SBL)算法最初作為機(jī)器學(xué)習(xí)在文獻(xiàn)[5]中提出，隨后被引入稀疏信號(hào)處理領(lǐng)域[4,6]，表明了SBL相對(duì)于?p范數(shù)法具有更好的重構(gòu)性能。文獻(xiàn)[7]把SBL用于DOA估計(jì)，提出了相關(guān)向量機(jī)方法(Relevance Vector Machine, RVM)，該方法利用期望最大化(Expectation Maximization, EM)對(duì)信號(hào)后驗(yàn)概率密度函數(shù)進(jìn)行最大化來(lái)完成信號(hào)空間功率的估計(jì)，并提出了一種后處理高精度算法來(lái)實(shí)現(xiàn)離格(offgrid)DOA估計(jì)，相比網(wǎng)格細(xì)分方法提高了計(jì)算效率和精度。文獻(xiàn)[8]用泰勒展開(kāi)把離格DOA誤差引入陣列流形矩陣，提出離格稀疏貝葉斯推斷 (Off-Grid Sparse Bayesian Inference, OGSBI)，能在稀疏的網(wǎng)格下實(shí)現(xiàn)較準(zhǔn)確的估計(jì)；文獻(xiàn)[9,10]使用了一種線性插值方法進(jìn)行離格DOA建模，其效果和文獻(xiàn)[8]類似；文獻(xiàn)[11]基于文獻(xiàn)[8]的泰勒展開(kāi)模型提出了網(wǎng)格自適應(yīng)方法，使用分布式傳感器對(duì)室內(nèi)近場(chǎng)信號(hào)進(jìn)行2維定位；文獻(xiàn)[12,13]提出求根稀疏貝葉斯(root-Sparse Bayesian Learning, root-SBL)，即基于SBL理論使用多項(xiàng)式求根法在每次迭代里解得離格誤差，相比文獻(xiàn)[8]提高了計(jì)算效率和對(duì)網(wǎng)格間距的穩(wěn)健性。文獻(xiàn)[14]把SBL應(yīng)用于海洋匹配場(chǎng)處理進(jìn)行聲學(xué)探測(cè)。近年來(lái)，SBL還廣泛應(yīng)用于MIMO信道估計(jì)[15]、互質(zhì)陣列[16]和寬帶測(cè)向[17]。其中文獻(xiàn)[16]使用變分貝葉斯(Variational Bayesian Inference, VBI)，針對(duì)協(xié)方差向量使用泰勒展開(kāi)模型進(jìn)行離格DOA估計(jì)。

但是，對(duì)于空間緊鄰信號(hào)的DOA，密集的網(wǎng)格點(diǎn)提高了算法的估計(jì)精度卻增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，而稀疏的網(wǎng)格點(diǎn)減小了計(jì)算負(fù)擔(dān)的同時(shí)以犧牲估計(jì)性能為代價(jià)。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的空間緊鄰DOA估計(jì)算法，包括3個(gè)步驟：(1)超參數(shù)的預(yù)估計(jì)；(2)網(wǎng)格插值優(yōu)化和超參數(shù)的二次估計(jì)；(3)改進(jìn)的離格DOA估計(jì)。第(1)步通過(guò)最大化陣列輸出的邊緣似然函數(shù)，推導(dǎo)了信號(hào)在拉普拉斯先驗(yàn)分布下的不動(dòng)點(diǎn)迭代公式，相比其他SBL算法有著更快的收斂速度，并通過(guò)計(jì)算信號(hào)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素而比其他SBL算法具有更低的計(jì)算復(fù)雜度；第(2)步使用最大似然方法2次估計(jì)噪聲方差，并根據(jù)譜峰特征對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行插值優(yōu)化，在新網(wǎng)格點(diǎn)集的基礎(chǔ)上2次估計(jì)信號(hào)功率；第(3)步推導(dǎo)了信號(hào)在拉普拉斯先驗(yàn)分布下的邊緣似然函數(shù)關(guān)于角度的最大化公式以進(jìn)行離格DOA搜索。仿真表明本文所提算法比其他經(jīng)典SBL算法具有以下優(yōu)勢(shì)：(1)對(duì)空間緊鄰信號(hào)的DOA具有更高的估計(jì)精度和分辨率；(2)低信噪比下的估計(jì)性能和計(jì)算效率更好；(3)可以使用大迭代門(mén)限取得更高的估計(jì)精度。

2 信號(hào)模型及稀疏表示

假設(shè)有 K 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)同時(shí)入射到具有 M個(gè)陣元的均勻線陣，定義方位角θ =[θ1,θ2,··· ,θK]為信號(hào)入射直線與陣列法線的夾角，則陣列在 t時(shí)刻的輸出數(shù)據(jù)為

其 中， yt=[y1,t,y2,t,···,yM,t]T是 陣 列 接 收 數(shù) 據(jù)；xt=[x1,t,x2,t,···,xK,t]T是 K 個(gè) 信 號(hào) 在t 時(shí) 刻 的 波形； AK(θ)=[a(θ1),a(θ2),···,a(θK)] 是 K個(gè)信號(hào)的陣 列 流 形 矩 陣；a(θk)=[ej2πfτk,1,ej2πfτk,2,···,ej2πfτk,M]T是第k 個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的陣列流形向量，其中f 是信號(hào)頻率，τk,m=Dmsin θk/c 是第k 個(gè)信號(hào)在第m個(gè)陣元到參考陣元間的時(shí)延，c 是信號(hào)傳播速度， Dm是 第m 個(gè)陣元到參考陣元的距離；vt是高斯白噪聲向量，其方差為σ2。考慮把整個(gè)空域角度范圍均勻劃分成 N個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)代表一個(gè)可 能 的 入 射 方 向，即 Θ =[?1,?2,···,?N]，并 有K <

其中，過(guò)完備陣列流形矩陣A(Θ)=[a(?1),a(?2),···,a(?N)]∈CM×N可以簡(jiǎn)化為 A ，是稀疏向量，里大多數(shù)元素為0、只有少數(shù)元素不為0，中非0元素的位置代表信號(hào)的估計(jì)DOA，如果有 L個(gè)快拍，式(2)的單快拍模型就變?yōu)槎嗫炫哪Ｐ停纯梢匝由鞛閇3]

3 稀疏貝葉斯概率分布模型

稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)首先要建立促進(jìn)稀疏的先驗(yàn)分布[4,5]。假設(shè)信號(hào)的各個(gè)元素相互獨(dú)立，各列服從均值為0、方差為 γ =[γ1,γ2,···,γN]T的復(fù)高斯分布，則幅度的概率密度函數(shù)為

由貝葉斯原理可得源信號(hào)關(guān)于陣列接收數(shù)據(jù)的后驗(yàn)概率為

4 改進(jìn)算法

為了提高DOA估計(jì)的精度并降低計(jì)算復(fù)雜度，本文提出一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計(jì)改進(jìn)算法，主要包括3個(gè)步驟。首先是超參數(shù)的預(yù)估計(jì)，此部分利用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的快速收斂特性預(yù)估信號(hào)的空間功率譜，并通過(guò)估計(jì)信號(hào)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素而避免了估計(jì)整個(gè)協(xié)方差矩陣來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度；其次，根據(jù)上一步功率譜的譜峰特征進(jìn)行網(wǎng)格點(diǎn)的插值優(yōu)化，并對(duì)噪聲方差和信號(hào)功率進(jìn)行2次估計(jì)，從而提高對(duì)空間緊鄰DOA的分辨能力；最后通過(guò)推導(dǎo)似然函數(shù)關(guān)于角度的最大化表達(dá)式來(lái)進(jìn)行離格DOA搜索，進(jìn)一步提升估計(jì)精度。

4.1 超參數(shù)的預(yù)估計(jì)

4.2 網(wǎng)格插值優(yōu)化及超參數(shù)2次估計(jì)

由于譜峰之間保留的網(wǎng)格點(diǎn)可能有重疊，所以Θnew網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的最大值為7 K。與文獻(xiàn)[3]中提出的網(wǎng)格細(xì)分方法不同，本文方法進(jìn)一步利用了SBL算法的功率譜峰包含兩較大幅值的譜峰特征，且沒(méi)有對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行多級(jí)細(xì)分。如圖1所示，粗短線代表原始網(wǎng)格點(diǎn)，豎直點(diǎn)劃線是第 k個(gè)信號(hào)的實(shí)際DOA，豎線代表能量幅值，三角形為插入的網(wǎng)格點(diǎn)，使用這樣的網(wǎng)格點(diǎn)插值優(yōu)化方法的好處在于：增強(qiáng)了2次估計(jì)后的空間譜對(duì)空間緊鄰信號(hào)DOA的分辨率，同時(shí)提高了計(jì)算效率。

圖1 網(wǎng)格點(diǎn)插值優(yōu)化

隨后進(jìn)行噪聲方差的2次估計(jì)，這是因?yàn)闇?zhǔn)確的噪聲方差可以提供更好的稀疏重構(gòu)效果[7]。由文獻(xiàn)[7,18]可以得到最大似然方法的噪聲方差估計(jì)

4.3 改進(jìn)的離格DOA估計(jì)

2次估計(jì)后仍然存在DOA和網(wǎng)格點(diǎn)的失配誤差，這里參考文獻(xiàn)[7]的高精度DOA估計(jì)。相比文獻(xiàn)[7]的方法，改進(jìn)之處是推導(dǎo)了拉普拉斯先驗(yàn)分布下的邊緣似然函數(shù)關(guān)于角度的最大化表達(dá)式，保證性能的同時(shí)降低了計(jì)算量。

4.4 算法流程和運(yùn)算復(fù)雜度分析

本文所提算法簡(jiǎn)稱為網(wǎng)格插值-多快拍稀疏貝葉斯學(xué)習(xí) (Grid Interpolation-Multiple snapshot Sparse Bayesian Learning, GI-MSBL)，流程總結(jié)如下：

步驟 1 信號(hào)功率的預(yù)估計(jì)。

5 仿真分析

表1 算法的計(jì)算復(fù)雜度

5.1 空間功率譜圖對(duì)比

兩個(gè)獨(dú)立等功率的隨機(jī)信號(hào)DOA為–3.05°和1.57°，信噪比均取10 dB，進(jìn)行150次隨機(jī)試驗(yàn)，得到空間譜如圖2 所示。圖2 的點(diǎn)劃線為真實(shí)DOA，實(shí)線為空間譜，為了清晰展示取–20°～20°的方位角范圍。對(duì)GI-MSBL算法，結(jié)合式(21)，在插入網(wǎng)格點(diǎn)集 ΘIT后 ，總的網(wǎng)格點(diǎn)集Θtotal等 于 原 始 網(wǎng) 格 點(diǎn) 集 Θ 與ΘIT取 并 集：Θtotal=Θ ∪ΘIT，記Θtotal包含的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為Ntotal，注意Θnew是Θtotal的一個(gè)子集，把Θnew里網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的信號(hào)空間功率值賦值給Θtotal里對(duì)應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)處的功率，再把網(wǎng)格點(diǎn)集 Θtotal里除網(wǎng)格點(diǎn)集Θnew以外的信號(hào)功率置0，作圖時(shí)，橫坐標(biāo)為 Ntotal個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)Θtotal對(duì)應(yīng)的方位角，縱坐標(biāo)是歸一化信號(hào)功率幅值，從而得到圖2(a)的空間譜。從圖2可以看出GIMSBL比iRVM-DOA的譜峰波動(dòng)更小，這是因?yàn)榫W(wǎng)格優(yōu)化插值方法以及超參數(shù)的2次估計(jì)增強(qiáng)了對(duì)緊鄰DOA的分辨率。這里只選取iRVM-DOA進(jìn)行對(duì)比 ，其余算法與之類似，受篇幅所限不在此一一列出。

圖2 算法的空間譜對(duì)比

5.2 不同信噪比下的估計(jì)精度和運(yùn)算效率比較

兩個(gè)獨(dú)立等功率的隨機(jī)信號(hào)角度為(? 3+u)°和(3 +u )°，u 從角度范圍[-GRI,GRI]內(nèi)隨機(jī)選取(避免固定角度的影響)，信噪比從–6～20 dB變化，每個(gè)信噪比下做150次隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)圖3(a)。低信噪比下，GI-MSBL0和GI-MSBL的誤差都小于其他算法，這是因?yàn)槌瑓?shù)的2次估計(jì)增強(qiáng)了低信噪比的稀疏恢復(fù)能力。GI-MSBL算法在高信噪比下精度更高，這是網(wǎng)格插值方法帶來(lái)的性能提升。由于所提不動(dòng)點(diǎn)迭代公式(17)具有很快的收斂速度，且不同于其他SBL算法估計(jì)整個(gè)信號(hào)協(xié)方差矩陣，所提算法只估計(jì)信號(hào)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素，所以圖3(b)的GI-MSBL方法有著優(yōu)于其他SBL類方法的運(yùn)算效率。

5.3 不同DOA間隔下的分辨能力比較

固定信噪比5 dB，兩個(gè)獨(dú)立信號(hào)的DOA分別為( ?3+u )°和(3 +?θ+u) °，DOA間隔? θ從3°到11°變化，每個(gè)? θ下做150次隨機(jī)試驗(yàn)，見(jiàn)圖4。圖4(a)中，在間隔3.5°到5.5°的范圍內(nèi)，GI-MSBL誤差最小 。圖4(b)中GI-MSBL在? θ＜4.5°時(shí)分辨概率最高。

5.4 不同迭代門(mén)限下的估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度比較

信噪比固定為5 dB，迭代門(mén)限ε 從0.001到0.1變化，其余條件同5.2節(jié)，每個(gè) ε下做150次隨機(jī)試驗(yàn)，見(jiàn)圖5。圖5(a)中，所提算法在迭代門(mén)限較大時(shí)估計(jì)誤差最小。圖5(b)中根據(jù)表1的平均復(fù)數(shù)乘法次數(shù)來(lái)衡量計(jì)算復(fù)雜度，GI-MSBL0以及GI-MSB L平均復(fù)數(shù)乘法次數(shù)最少。

6 結(jié)束語(yǔ)

為了改進(jìn)對(duì)空間緊鄰信號(hào)DOA估計(jì)的精度和計(jì)算復(fù)雜度，本文提出一種基于網(wǎng)格插值的多快拍稀疏貝葉斯學(xué)習(xí) (GI-MSBL) 算法，改進(jìn)算法比其他經(jīng)典的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法具有以下優(yōu)勢(shì)：(1)對(duì)空間緊鄰DOA具有更好的估計(jì)效果；(2)低信噪比下估計(jì)性能更好，計(jì)算效率更高；(3)能使用大迭代門(mén)限取得更高的估計(jì)精度。另外，對(duì)于水下寬帶信號(hào)，通過(guò)傅里葉變換在頻域?qū)γ總€(gè)頻段即可以使用所提算法。

圖3 不同信噪比下的估計(jì)性能和運(yùn)算效率

圖4 不同DOA間隔下的分辨能力比較

圖5 不同迭代門(mén)限下的估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度